2022-2023学年北京三中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京三中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是( )
A. y=-2(x+1)2+3B. y=-2(x-1)2-3
C. y=-2(x+1)2-3D. y=-2(x-1)2+3
关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0的一个根为0，则m为( )
A. 0B. 1C. -1D. 1或-1
二次函数y=x2-2x-3的最小值为( )
A. 5B. 0C. -3D. -4
如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( )
A. 120°B. 140°C. 150°D. 160°
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为( )
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
如图，点M坐标为(0,2)，点A坐标为(2,0)，以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为( )
A. (0,1+2)B. (1,1+2)C. (2,2)D. (2,4)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
方程x2+2x=0的解为______．
若关于x的一元二次方程x2-3x+2m=0有两个不相等实数根，则m的取值范围是______．
某种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设平均每次降价的百分率为x，则由题意可列方程为______ ．
如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C.若OC=3，则弦AB的长为______．
已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是______．
关于x的二次函数y=x2-kx+k-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式： ．
小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b-3.例如把(2,-5)放入其中，就会得到22+2×(-5)-3=-9，现将实数(m,-3m)放入其中，得到实数4，则m= ______ ．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是(1,0)与(7,0).对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB=45°，则称点P为线段AB的“等角点”.若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x=4上，则点P的坐标为______．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
解方程：x2+2x-8=0．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题5.0分)
二次函数y=x2+bx+3的图象经过点(4,3)．
(1)求b的值；
(2)写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
(本小题5.0分)
已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
(本小题5.0分)
已知二次函数y=x2+4x+3．
(1)将其化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式______；
(2)图象与x轴的交点坐标为______；
(3)用五点法画出二次函数的图象；
(4)当-3(本小题5.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC中点，若∠BAC=70°，求∠C．
下面是小诺的解答过程，请帮她补充完整．
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
∴∠1=∠2．
∵∠BAC=70°，
∴∠2=35°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°(______)(填推理的依据)．
∴∠B=90°-∠2=55°．
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B=180°(______)(填推理的依据)．
∴∠C=180°-∠B=______(填计算结果)．
(本小题5.0分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(-3,3)，B(0,1)，C(-1,-1)．
(1)请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；
(2)四边形AC1A1C的面积为______ ．
(本小题6.0分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC=4，AC=42．
(1)求点O到AC的距离；
(2)直接写出弦AC所对的圆周角的度数．
(本小题6.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当∠BDE=25°时，求∠BEF的度数．
(本小题6.0分)
为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是85米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度52米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少米？
(本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2mx+m2-1．
(1)当m=2时，求抛物线的顶点坐标；
(2)①求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；
②若点(m-1,y1)，(m,y2)，(m+3,y3)都在抛物线y=x2-2mx+m2-1上，则y1，y2，y3的大小关系为______ ；
(3)直线y=x+b与x轴交于点A(-3,0)，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2-2mx+m2-1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
(本小题7.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是线段AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E．
(1)求证：∠CAE=∠CBD．
(2)将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD的延长线交于点F，连接CE．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段EF，CE，BE之间的数量关系，并证明．
(本小题7.0分)
定义：在平面直角坐标系中，点(m,n)是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点(m,n)的“派生函数”．
例如：图①是函数y=x+1的图象，则它关于点(0,1)的“派生函数”的图象如图②所示，且它的“派生函数”的解析式为y=x+1(x≥0)-x+1(x<0)．
(1)直接写出函数y=x+1关于点(1,2)的“派生函数”的解析式．
(2)点M是函数G：y=-x2+4x-3的图象上的一点，设点M的横坐标为m，G'是函数G关于点M的“派生函数”．
①当m=1时，若函数值y'的范围是-1≤y'<1，求此时自变量x的取值范围；
②直接写出以点A(1,1)、B(-1,1)、C(-1,-1)、D(1,-1)为顶点的正方形ABCD与函数G'的图象只有两个公共点时，m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：原抛物线的顶点为(0,0)，向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：(1,3)．
可设新抛物线的解析式为y=-2(x-h)2+k，代入得y=-2(x-1)2+3．
故选：D．
由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
3.【答案】C
【解析】解：依题意，得
m2-1=0，且m-1≠0，
解得m=-1．
故选：C．
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入原方程列出关于m的方程，通过解该方程来求m的值；注意一元二次方程的二次项系数不等于零．
本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义．注意，一元二次方程的二次项系数不为0，这是考试中经常出现的知识点，需要同学们注意．
4.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=x2-2x-3可化为y=(x-1)2-4，
∴最小值是-4．
故选D．
求开口向上的抛物线的最小值即求其顶点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可．
本题考查二次函数的最值问题，把一般式化成顶点式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CB=BD，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°．
故选：B．
利用垂径定理得出CB=BD=BD，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．根据旋转的性质可得出AB=AD、∠BAD=100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数．
【解答】
解：根据旋转的性质，可得：AB=AD，∠BAD=100°，
∴∠B=∠ADB=12×(180°-100°)=40°．
故选B．
7.【答案】A
【解析】解：当a>0时，直线y=ax+1从左至右上升，抛物线y=ax2+bx+1开口向上，
选项A正确，选项B，D错误．
当a<0时，直线y=ax+1从左至右下降，抛物线y=ax2+bx+1开口向下，
选项C错误．
故选：A．
分别讨论a>0与a<0两种情况时一次函数与二次函数的图象的草图，进而求解．
本题考查函数的图象，解题关键是掌握一次函数与二次函数图象与系数的关系．
8.【答案】C
【解析】解：∵OM⊥AB，
∴OA=OB，
∵AD=CD，
∴OD//BC，OD=12BC，
∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，
∵BC为直径，
∴∠CAB=90°，
∴CA⊥x轴，
∵OB=OA=OM，
∴∠ABC=45°，
∵OD//BC，
∴AOD=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD=OA=2，
∴D的坐标为(2,2)，
故选：C．
根据垂径定理得到OA=OB，然后根据三角形中位线定理得到OD//BC，OD=12BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到OD=OA=2，得到D的坐标为(2,2)．
本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键．
9.【答案】0，-2
【解析】解：x2+2x=0
x(x+2)=0
∴x=0或x+2=0
∴x=0或-2
故本题的答案是0，-2．
本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
10.【答案】m<98
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2-3x+2m=0有两个不相等实数根，
∴△=(-3)2-4×1×2m>0．
∴9-8m>0．
∴m<98．
故答案为：m<98．
根据一元二次方程根的判别式与根的关系解决此题．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解决本题的关系．
11.【答案】60(1-x)2=52
【解析】解：设平均每次降价的百分率是x，则第二次降价后的价格为60(1-x)2元，
根据题意得：60(1-x)2=52，
故答案为：60(1-x)2=52．
本题可设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后药价为60(1-x)元，第二次在60(1-x)元的基础之又降低x，变为60(1-x)(1-x)即60(1-x)2元，进而可列出方程，求出答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是利用公式：“a(1±x)n=b”的应用，理解公式是解决本题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：连接OA．

∵OC⊥AB，
∴∠OCA=90°，AB=2AC．
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5．
在Rt△OAC中，OA=5，OC=3，
∴AC=OA2-OC2=52-32=4，
∴AB=2AC=8．
故答案为：8．
先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB=2AC，进而可得出结论．
本题考查了垂径定理及推论、勾股定理，熟练的掌握垂径定理及推论、勾股定理是解题的关键．
13.【答案】-3【解析】解：∵抛物线的对称轴为x=-1.5，
∴点(0,2)关于直线x=-1.5的对称点为(-3,2)，
当-32，
即当函数值y>2时，自变量x的取值范围是-3故答案为：-3利用抛物线的对称性确定抛物线与(0,2)的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
14.【答案】y=x2-3x+1(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0．
与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0，据此求解．
【解答】
解：∵关于x的二次函数y=x2-kx+k-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴k-2>0，
解得：k>2，
所以取k=3，
所以二次函数的表达式为：y=x2-3x+1(答案不唯一)．
故答案为：y=x2-3x+1(答案不唯一)．
15.【答案】7或-1
【解析】
【分析】
根据公式a2+2b-3，可将(m,-3m)代入得出m2+2×(-3m)-3=4，解方程即可．
本题考查了解一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．
【解答】
解：根据题意得，m2+2×(-3m)-3=4，
解得m1=7，m2=-1，
故答案为：7或-1．
16.【答案】(4,32+3)
【解析】解：如图，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，

∵点A与点B的坐标分别是(1,0)与(7,0)，
∴AB=7-1=6，
∵∠APB=45°，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=32，
∴PC=32，
∵点P在直线x=4上，
∴AD=4-1=3，
∴AD=BD，
∵CD⊥AB，
∴CD=AD=3，
∴P(4,32+3)；
故答案为：(4,32+3)；
根据P在直线x=4上画图，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知：AB=6，⊙C的半径为32，最后计算PD的长可得点P的坐标．
此题主要考查坐标和图形的性质，勾股定理等知识，作△APB的外接圆是本题的关键．
17.【答案】解：x2+2x-8=0
(x-2)(x+4)=0
x-2=0，x+4=0
x1=2，x2=-4
【解析】利用因式分解法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵二次函数y=x2+bx+3的图象经过点(4,3)，
∴16+4b+3=3，
解得b=-4．
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴抛物线的顶点坐标为(2,-1)，对称轴x=2．
【解析】(1)利用待定系数法转化为方程组即可解决问题；
(2)利用配方法即可解决问题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象上的点的特征、待定系数法、配方法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)∵△=(m+3)2-4(m+2)=(m+1)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)∵x2-(m+3)x+m+2=0，
∴(x-1)[x-(m+2)]=0，
∴x1=m+2，x2=1．
∵方程两个根的绝对值相等，
∴m+2=±1．
∴m=-3或-1．
【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
(2)根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式△与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键．
20.【答案】y=(x+2)2-1 (-3,0)和(-1,0) -1≤y<3
【解析】解：(1)y=x2+4x+3=x2+4x+4-1=(x+2)2-1，
故答案为：y=(x+2)2-1；
(2)令y=0，则x2+4x+3=0，
解得：x1=-1，x2=-3，
∴图象与x轴的交点坐标为(-3,0)和(-1,0)，
故答案为：(-3,0)和(-1,0)；
(3)由(1)知，图象的顶点为(-2,-1)，与x轴的交点坐标为(-3,0)和(-1,0)，
令x=0，则y=3，
∴图象与y轴的交点为(0,3)，
∵图象对称轴为直线x=-2，
∴(0,3)关于x=-2的对称点为(-4,3)，
用五点法做函数图象如图所示：

(4)由图象知，当-3故答案为：-1≤y<3．
(1)用配方法把函数解析式化为顶点式；
(2)令y=0，解关于x的一元二次方程即可得出结论；
(3)用五点法画出函数图象即可；
(4)结合图象求出当-3本题考查二次函数的图象与x轴的交点，二次函数的性质，五点法作图等知识，关键是用五点法做出函数图象．
21.【答案】直径所对的圆周角是直角 圆内接四边形对角互补 125°
【解析】解：∵D是BC中点，
∴BD=DC，
∴∠1=∠2．
∵∠BAC=70°，
∴∠2=35°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)(填推理的依据)．
∴∠B=90°-∠2=55°．
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B=180°(圆内接四边形对角互补)(填推理的依据)．
∴∠C=180°-∠B=125° (填计算结果)．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补；125°．
根据圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠B即可解决问题．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】16
【解析】解：(1)如图，△A1BC1为所作，点A1，C1的坐标分别为(3,-1)，(1,3)；
(2)∵AB=A1B，CB=C1B，
∴四边形AC1A1C为平行四边形，
∴四边形AC1A1C的面积=4×4=16．
故答案为16．
(1)延长AB到A1使BA1=AB，延长CB到C1，使BC1=BC；
(2)利用平行四边形的面积公式．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23.【答案】解：(1)过点O作OE⊥AC于点E，
则CE=12AC．
∵AC=42，
∴CE=22，
在Rt△OCE中，OC=4，
∴OE=OC2-CE2=42-(22)2=22．
∴点O到AC的距离为22．
(2)连接OA．
∵由(1)知，在Rt△OCE中，CE=OE，
∴∠OCE=∠EOC=45°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°．
∴∠AOC=90°．
∴∠B=45°，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-45°=135°，
∴弦AC所对的圆周角的度数为45°或135°．
【解析】(1)过点O作OE⊥AC于点E，利用勾股定理求解即可．
(2)连接OA，利用圆周角定理求出∠B，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】(1)证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠ACD=∠BCE，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
(2)解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
∵∠BDE=25°，
∴∠BEF=65°．
【解析】(1)由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，可得结论；
(2)由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】解：建立平面直角坐标系，如图所示．
则点A的坐标为(0,85)，顶点为B(3,52).
设抛物线的表达式为y=a(x-3)2+52，
∵点A(0,85)在抛物线上，
∴a(0-3)2+52=85，
解得a=-110．
∴抛物线的表达式为y=-110(x-3)2+52
令y=0，则-110(x-3)2+52=0，
解得x=8或x=-2(不合实际，舍去)．
即OC=8．
答：小丁此次投掷的成绩是8米．
【解析】本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解．
由点A、B的坐标求出函数表达式y=-110(x-3)2+52，令y=0，即可求解．
26.【答案】解：(1)当m=2时，抛物线的解析式为：y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴顶点坐标为(2,-1)；
(2)①∵抛物线y=x2-2mx+m2-1，
∴函数对称轴为x=--2m2×1=m；
②∵函数开口向上，x=m时函数取得最小值，
∴离对称轴距离越远，函数值越大，
∵m-1∴y3>y1>y2；
故答案为：y3>y1>y2；
(3)把点A(-3,0)代入y=x+b的表达式并解得：b=3，
则B(0,3)，直线AB的表达式为：y=x+3，
如图，
在直线x=3上，当∠AOP=90°时，点P与B重合，
当y=3时，y=x2-2mx+m2-1=3，
则x=m±2，
∵点P在对称轴的左侧，
∴x=m+2>m不符合题意，舍去，
则点P(m-2,3)，
当△OAP为钝角三角形时，
则0解得：m>2或m<-1，
∴m的取值范围是：m>2或m<-1．
【解析】(1)先将m=2代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；
(2)①根据函数对称轴为x=-b2a计算可得结论；
②函数开口向上，x=m时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较y1，y2，y3的大小关系；
(3)当△OAP为钝角三角形时，则0-3，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置是关键．
27.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠BDC=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠CAE+∠BDC=90°，
∴∠CAE=∠CBD；
(2)①由题意补全图形如图所示：
②过点C作CG⊥CE交AE于G，
∴∠BCG+∠BCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠ACG=∠BCE，
由(1)知，∠CAE=∠CBD，
在△ACG和△BCE中，∠CAE=∠CBDAC=BC∠ACG=∠BCE，
∴△ACG≌△BCE(ASA)，
∴AG=BE，CG=CE，
在Rt△ECG中，CG=CE，
∴EG=2CE，
∴AE=AG+EG=BE+2CE，
由旋转知，∠EAF=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠F=90°-∠EAF=45°=∠EAF，
∴EF=AE，
∴EF=BE+2CE．
【解析】(1)利用同角的余角即可得出结论；
(2)①根据题意补全图形；
②过点C作CG⊥CE角AE于G，进而判断出∠CAE=∠CBD，即可判断出△ACG≌△BCE(ASA)，得出AG=BE，CG=CE，
进而判断出EG=2CE，得出AE=BE+2CE，再判断出EF=AE，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造出全等三角形是解本题的关键．
28.【答案】解：(1)函数y=x+1在x>1的部分任取一点(2,3)关于直线x=1的对称点为(0,3)，
设函数y=x+1图象关于x=1对称的部分的图象解析式为y=kx+b，
将(1,2)，(0,3)代入解析式，得：k+b=2b=3，
解得：k=-1b=3，
∴“派生函数”的解析式为y=x+1(x≥1)-x+3(x<1)；
(2)①∵当m=1时，图像G：y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1的顶点坐标为(2,1)，
关于直线x=1的对称点坐标为：(0,1)，
∴G：y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1关于直线x=1对称的图像解析式为：y=-x2+1
∴G'的解析式为y=-x2+4x-3(x≥1)-x2+1(x<1)，
令y=-1，-x2+4x-3=-1，
解得：x=2-2或x=2+2，
令y=-1，-x2+1=-1，
解得x=-2或x=2，
当-2≤x<0或0②函数y=-x2+4x-3的顶点为(2,1)，
点(2,1)关于x=m对称的点的坐标为(2m-2,1)，
∴函数y=-x2+4x-3关于x=m对称的函数解析式为y=-(x-2m+2)2+1，
当2m-2>1时，即m>32，
当x=1时，-(3-2m)2+1>-1，即3-22∴32≤m<3+22时G'与正方形ABCD有两个交点；
当x=-1时，-(1-2m)2+1<-1，即m<1-22或m>1+22，
∴m<1-22；
综上所述，32≤m<3+22或m<1-22时G'与正方形ABCD有两个交点．
【解析】(1)根据“派生函数”的定义在x>1的部分任取一点(2,3)关于直线x=1的对称点为(0,3)，运用待定系数法即可得到答案；
(2)①当m=1时，G'的解析式为y=，分别求出x2+4x-3=-1，解得x=2-2或x=2+2；x2+1=-1，解得x=-2或x=2；即可得到当-2≤x<0或0②求出函数y=-x2+4x-3关于x=m对称的函数解析式为y=-(x-2m+2)2+1，再由2m-2>1时，即m>32，当x=1时，-(3-2m)2+1>-1，即3-221+22，可得m<1-22，即可求解．
本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“派生函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．