2022-2023学年河北省石家庄四十二中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄四十二中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48分）

1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

2. 在中，，若，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列函数不是反比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为分，分，分，若依次按照，，的百分比确定成绩，则该选手的成绩是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

6. 如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，水平距离，则斜坡的坡度为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，身高为的吴格霆想测量学校旗杆的高度，当她站在处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得，，则旗杆的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下表是求代数式的值的情况，根据表格中的数据可知，方程的解是(    )

A.  B. ，
C.  D. ，

9. 若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 某厂月份生产口罩万箱，第一季度生产口罩共万箱，一位同学根据题意列出了方程，则表示的意义是(    )

A. 该厂二月份的增长率 B. 该厂三月份的增长率
C. 该厂一、二月份平均每月的增长率 D. 该厂二、三月份平均每月的增长率

11. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个

12. 如图，中，，垂足为，，垂足为点，与交于点，则图中相似三角形有几对(    )

A. 对
B. 对
C. 对
D. 对

13. 如图，已知点是线段的黄金分割点，且若表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则与的大小关系为(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

14. 如图，，点在上，与交于点，，，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

15. 如图，沿方向架桥，以桥两端、出发，修公路和，测得，，，则公路的长为(    )

A.  B.  C.  D.

16. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，将绕点顺时针旋转，点落在轴上的点处，得到，交于点，若反比例函数的图象经过点，分别交、于点、，则下列四个结论中：；；；连接、，正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共13分）

17. 如图，小莉用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的面积为，则影子的面积为______．

18. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．
19. 如图，与轴正向的夹角为，已知点的坐标为，将线段绕原点旋转得点，则此时点的坐标为______．

20. 如图，点，点，点，连接，过点作双曲线交线段于点不与点、重合，已知．
    ______；
    若，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共59分）

21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，是正方形网格中的格点三角形顶点在格上，请在正方形网格中按下列要求画一个格点三角形与相似．
    在第二象限中画，使得的面积是的倍．
    在第三象限中画出，使得以点为位似中心，与位似比为：．
    在条件下，若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为______，______

22. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．
    求证：∽；
    若，，，求的长．

23. 已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．
    求：线段的长；
    的值．

24. 如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，、分别表示地面和墙壁的位置，表示垂直于地面的栏杆立柱，、是两段式栏杆，其中段可绕点旋转，段可绕点旋转．图表示栏杆处于关闭状态，此时、、在与地面平行的一直线上，并且点接触到墙壁；图表示栏杆处于打开状态，此时，段与竖直方向夹角为已知立柱宽度为，点在立柱的正中间，，，．
    
    当栏杆打开时，点到地面的距离为______；结果保留根号形式
    为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留的安全距离，问一辆最宽处为，最高处为的货车能否安全通过该入口？请说明理由．本小题中取
25. 一次函数与反比例函数交于点，．
    分别求两个函数的解析式；
    根据图象直接写出，当为何值时，；
    在轴上找一点，使得的面积为，求出点坐标．
     
26. 如图，在矩形中，，，、分别是、中点，连接，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：
    
    当时，______用含有的式子表示
    当点在线段上运动时，若的面积为，求的值；
    当为______时，为等腰三角形？直接写出结果．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项．
将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】
解：方程可化为：，
二次项系数为、一次项系数为、常数项为．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解决问题的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：，是反比例函数，故A不符合题意；
B.，是反比例函数，故B不符合题意；
C.，是正比例函数，故C符合题意；
D.，是反比例函数，故D不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的定义判断即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】
解：，
，
，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分，
故选：．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求，，这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，则斜坡的坡度为：．
故选：．
直接利用坡度的定义得出，斜坡的坡度为：，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设旗杆高度为，
由题意得：，
解得：．
故选：．
因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由表知当和时，，
所以的解为，，
故选：．
由表知当和时，，从而得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
分两种情况：
当，时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合．
当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选B．
根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：依题意可知：该厂月份生产口罩万箱，月份生产口罩万箱，
表示该厂二、三月份平均每月的增长率．
故选：．
根据所列方程，可找出该厂月份生产口罩万箱，月份生产口罩万箱，进而可得出表示该厂二、三月份平均每月的增长率．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据给出的一元二次方程，找出的含义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：直线不经过第二象限，
，
当时，关于的方程是一元一次方程，解为，
当时，关于的方程是一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选D．  

12.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，，
∽，∽，
，，
∽∽∽，
共有对相似三角形，
故选：．
根据相似三角形的判定一一证明即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：是线段的黄金分割点，且，
，
表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，
，，
．
故选：．
根据黄金分割的定义得到，再利用正方形和矩形的面积公式有，，即可得到．
本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
，即，
，得，
解得．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理，得出，，即，将两个式子相加，即可求出的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，
，
，，
又，
，
在中，，，
，
在中，，
，
故选：．
根据三角形内角和定理可求出，的度数，进而求出的度数，在直角三角形中，由特殊锐角三角函数以及直角三角形的边角关系可得答案．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，
绕点顺时针旋转，点落在轴上的点处，得到，
，，，
，，
∽，
，
，
解得，
，
，故错误；
把代入，得故正确；
反比例函数解析式为，
把代入，得，
，
，故正确；
，
直线解析式为，
，
解得负值舍去，
，
，故正确，
正确的有，
故选：．
先根据旋转的性质得到，，，再证明∽，利用相似比计算出，则，进而可以判断错误；然后把点坐标代入中求出的值，可以判断正确；根据反比例函数求出，可得，可以判断正确；然后求出直线解析式为，得，得，再根据三角形面积的和差即可判断正确．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了旋转的性质、矩形的性质和相似三角形的判定与性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，
∽，
，
矩形的面积：矩形的面积，
矩形的面积为，
矩形的面积为．
故答案为：．
易得对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方，据此求解可得．
本题考查中心投影与位似图形的性质，用到的知识点为：位似比为对应点到对应中心的比值，面积比为位似比的平方．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
在每个象限内，随值的增大而增大，
当时，，
，
，
，
故答案为：．
，在每个象限内，随值的增大而增大，在第二象限，，在第四象限，即可解题．
本题考查反比函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比函数的图象与性质是解题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，当线段绕原点，逆时针旋转得点，
，，
点在轴的负半轴上，
，
点的坐标为；
当线段绕原点，顺时针旋转得点，过点作轴，垂足为，
由题意可知，，，
，，
又点在第三象限，
点的坐标为，
所以点的坐标为或，
故答案为：或
分顺时针、逆时针两种情况进行解答，画出相应的图形，根据旋转所引起角度的变化可求出点在轴的负半轴上和在第三象限，根据勾股定理可求出，通过角度的计算以及直角三角形的边角关系可得答案．
本题考查解直角三角形的应用、旋转，理解旋转引起角度的变化以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

20.【答案】   

【解析】解：点在反比例函数图象上，
．
故答案为：．
由，，双曲线交线段于点，
，
，
，
，
当点在反比例函数图象上时，，
，
，且点与、不重合，
．
故答案为：．
将点的坐标代入的值；
由、的坐标先求出反比例函数过中点时的值，然后再求出满足条件的的取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过点求出反比例函数的解析式．
 

21.【答案】   

【解析】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；

若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为．
故答案为：，．
依据的面积是的倍，即可得到它们的相似比为，据此可得．
依据点为位似中心，与位似比为：，即可得到．
依据位似比为：，即可得到变换后点的对应点的坐标．
本题主要考查了位似作图，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
．
，
∽．
解：∽，
，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得出故，再由即可得出结论；
根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：是边上的高，和是直角三角形，
在中，
，，
，
，
，
又，
；

在中，
为斜边的中点，
，
，
． 

【解析】在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长；
根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出的正切值即求出了的值．
此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式，同时还要掌握“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半“等知识点．
 

24.【答案】 

【解析】解：当栏杆打开时，点到地面的距离为，
如图，在中，，，
，
，
故答案为：．
货车不能安全通过该入口．
理由如下：如图，取距地面高为，即，

在中，
，，
，
，
，
货车不能安全通过该入口．
构造直角三角形，在中，根据边角关系求出，进而求出即可；
令距地面为，求出的长，在中，求出，进而求出，得出即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
 

25.【答案】解：把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入得，解得，则，
把，代入得，解得，
一次函数解析式为；
当或时，；
设，
的面积为，
，解得或，
点坐标为或． 

【解析】先把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
利用函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围；
设，利用三角形面积公式得到，然后求出得到点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
 

26.【答案】  或或或 

【解析】解：在矩形中，，，
，
，
、分别是、中点，
，，，
当时，，
故答案为：．
解：过点作交延长线于点，

则，
∽，
，
，
可得，
，
，
，
解得：舍去或，
当时，的面积为；
或或或时，为等腰三角形．理由如下：
当点在上时，如图，，

，
，
当点在上时，
如图，，

，
，
如图，，

，
，
如图，，

，
，
综上所述：或或或时，为等腰三角形．
故答案为：或或或．
根据矩形的性质和勾股定理求出，再根据线段的中点定义即可解决问题；
线判断出∽，进而得出，在利用面积公式建立方程求解即可；
分点在和上，利用相似三角形的性质建立方程求解即可可得出结论．
本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解方程等知识点，掌握动点过程中的图形形状，图形面积的表示方法是解题的关键．