2022-2023学年北京市丰台二中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市丰台二中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）抛物线y＝（x﹣4）2+1的对称轴是（ ）
A．x＝4B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝﹣4
3．（2分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的一个根为0，则m为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
4．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）
5．（2分）如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．（2分）在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
7．（2分）用配方法解方程x2+4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝2
8．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．a＝2bB．c＞0C．a+b+c＞0D．4a﹣2b+c＝0
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如果点A（3，﹣2）与点B关于原点对称，那么点B的坐标是 ．
10．（2分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为 ．
11．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．（2分）在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是 ．
13．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线．y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1 y2．（选填“＞”“＜或“＝”）
14．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
那么该抛物线的顶点坐标是 ．
15．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE＝110°，∠B＝40°，则∠C的度数为 ．
16．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiā）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.计算下列各题
17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（5分）解方程：2x2﹣9x+10＝0．
19．（5分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求出二次函数图象的顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标；
（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y＜0时，自变量x的取值范围．
20．（5分）已知：如图，A为⊙O上的一点．
求作：过点A且与⊙O相切的一条直线．
作法：
①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知BO＝BA＝BP．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴∠OAP＝90°（ ）（填推理的依据）．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切（ ）（填推理的依据）．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0，1），B（3，4）．求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴．
22．（5分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．若∠DAE＝30°，DE＝2，求EF的长．
23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的取值范围．
24．（6分）学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+40（10＜x＜20），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
25．（6分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，这时水面宽度为10m．
（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣1与y轴交点为A．
（1）求抛物线的对称轴和A的坐标；
（2）横纵坐标都是整数的点叫整点，已知点B（2，0），记抛物线与直线AB所围的封闭区域为图形W（不含边界），
①当m＝1时，直接写出图形W内的整点个数；
②若图形W内恰好有一个整点，结合函数图象，求m的取值范围．
27．（7分）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
28．（7分）点P为平面直角坐标系xOy中一点，点Q为图形M上一点，我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“包容度”．
如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点P（2，3）．
（1）在点P视角下，⊙O的“包容度”为 ，线段AB的“包容度”为 ；
（2）点M（m，0）为x轴上一点，若在点P视角下，线段AM的“包容度”为2，写出m的取值范围．
2022-2023学年北京市丰台二中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题四个选项只有一个是符合题意的.
1．（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）抛物线y＝（x﹣4）2+1的对称轴是（ ）
A．x＝4B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝﹣4
【分析】由抛物线的解析式，直接写出该抛物线的对称轴．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣4）2+1
∴该抛物线的对称轴为直线x＝4，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是掌握抛物线解析式的顶点式．
3．（2分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的一个根为0，则m为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入原方程列出关于m的方程，通过解该方程来求m的值；注意一元二次方程的二次项系数不等于零．
【解答】解：依题意，得
m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义．注意，一元二次方程的二次项系数不为0，这是考试中经常出现的知识点，需要同学们注意．
4．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）
【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线x＝2，
故选：D．
【点评】考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
5．（2分）如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据圆周角定理即可解答．
【解答】解：因为所对的圆心角是∠BOC，所对的圆周角是∠BAC，
所以：∠BAC＝∠BOC＝×120°＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．（2分）在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【分析】连接CO，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，于是得到点C到AB的距离等于⊙C的半径，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：连接CO，
∵CA＝CB，点O为AB中点，
∴OC⊥AB，
∵以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，
∴点C到AB的距离等于⊙C的半径，
∴⊙C与AB的位置关系是相切，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
7．（2分）用配方法解方程x2+4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝2
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：x2+4x＝1，
则x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法﹣﹣配方法，掌握配方法是解本题的关键．
8．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．a＝2bB．c＞0C．a+b+c＞0D．4a﹣2b+c＝0
【分析】由抛物线的对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x＝1判断选项C；根据抛物线的对称性即可判断选项D．
【解答】解：A、对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，故选项A不符合题意；
B、由函数图象知，抛物线交y的负半轴，
∴c＜0，故选项B不符合题意；
C、由图可知：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项C不符合题意；
D、由图可知：对称轴是直线x＝1，图象与x轴的一个交点为（4，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键理解函数图象与不等式之间的关系．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如果点A（3，﹣2）与点B关于原点对称，那么点B的坐标是 （﹣3，2） ．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点（横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数）可得答案．
【解答】解：∵点A（3，﹣2）与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．
10．（2分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为 y＝2x2+3 ．
【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出平移后解析式．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为：y＝2x2+3．
故答案为：y＝2x2+3．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
11．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
12．（2分）在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，共5个球，
∴取出红球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
13．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线．y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1 ＜ y2．（选填“＞”“＜或“＝”）
【分析】将点A，B坐标代入解析式求解．
【解答】解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）代入y＝2x2得y1＝2，y2＝8，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
14．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
那么该抛物线的顶点坐标是 （1，﹣4） ．
【分析】根据抛物线的对称性求解．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，由抛物线的对称性求解．
15．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE＝110°，∠B＝40°，则∠C的度数为 30° ．
【分析】由旋转的性质可得∠DAE＝∠BAC，由三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝110°，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣110°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiā）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．
【解答】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D＝90°，CD＝DE，
∴CE为直径，∠ECD＝45°，
由题意得AB＝2.5，
∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，
∴CD＝CE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．
三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.计算下列各题
17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
18．（5分）解方程：2x2﹣9x+10＝0．
【分析】方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：这里a＝2，b＝﹣9，c＝10，
∵Δ＝（﹣9）2﹣4×2×10＝1＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
19．（5分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求出二次函数图象的顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标；
（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y＜0时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线顶点坐标，将y＝0代入解析式可得抛物线与x轴交点，将x＝0代入解析式可得抛物线与y轴交点．
（2）根据二次函数解析式作出图象，根据图象求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
将y＝0代入y＝x2﹣4x+3得0＝x2﹣4x+3，
解得x1＝3，x2＝1，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0）．
将x＝0代入y＝x2﹣4x+3得y＝3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3）．
（2）如图，
由图象可得1＜x＜3时，y＜0．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
20．（5分）已知：如图，A为⊙O上的一点．
求作：过点A且与⊙O相切的一条直线．
作法：
①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知BO＝BA＝BP．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴∠OAP＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切（ 过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，直线PA即为所求；
（2）连接BA．
由作法可知BO＝BA＝BP．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴∠OAP＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切（过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0，1），B（3，4）．求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴．
【分析】把A、B的坐标代入y＝x2+mx+n，根据待定系数法即可求得一般式，化成顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0，1），B（3，4）；
∴，
解得：，
∴y＝x2﹣2x+1，
∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴函数图象的对称轴为直线x＝1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．
22．（5分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．若∠DAE＝30°，DE＝2，求EF的长．
【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，证出△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE＝2DE＝4，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，
∴AE＝2DE＝4，
∴EF＝＝＝4．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的取值范围．
【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＝a2≥0，则根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝1，x2＝a+1，再根据方程的两个实数根都是正整数得到a+1≥1．所以a≥0且a为整数．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4（a+1）
＝a2+4a+4﹣4a﹣4
＝a2，
∵a2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根；
（2）解：x＝，
∴x1＝1，x2＝a+1，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴a+1≥1．
解a≥0，
∴a的取值范围为a≥0且a为整数．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的意义．
24．（6分）学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+40（10＜x＜20），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；
（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
【解答】解：（1）y＝w（x﹣10）
＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400；
（2）y＝﹣2（x﹣15）2+50，
∵10＜x＜20，a＝﹣2＜0，
∴当x＝15时，y最大值＝50．
答：当销售单价定为每双15元时，每天的利润最大，最大利润为50元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，解题的关键是（1）根据题意得到二次函数；（2）利用二次函数的性质求出最大值．
25．（6分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，这时水面宽度为10m．
（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？
【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），再根据题意得到C（﹣5，﹣1），利用待定系数法即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线解析式计算出A点坐标，进而得到F点坐标，然后计算出EF的长，再算出持续时间即可．
【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），
∵由CD＝10m，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，
则C（﹣5，﹣1），
把C的坐标分别代入y＝ax2得：a＝﹣，
故抛物线的解析式为y＝﹣x2；
（2）∵AB宽20m，
∴设A（﹣10，b），
把A点坐标代入抛物线的解析式为y＝﹣x2中，
解得：b＝﹣4，
∴F（0，﹣4），
∴EF＝3，
∵水位以每小时0.3m的速度上升，
∴3÷0.3＝10（小时），
答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确得到C点坐标，求出抛物线解析式．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣1与y轴交点为A．
（1）求抛物线的对称轴和A的坐标；
（2）横纵坐标都是整数的点叫整点，已知点B（2，0），记抛物线与直线AB所围的封闭区域为图形W（不含边界），
①当m＝1时，直接写出图形W内的整点个数；
②若图形W内恰好有一个整点，结合函数图象，求m的取值范围．
【分析】（1）直接利用对称轴公式计算，即可得出抛物线的对称轴，再令x＝0，即可求出点A的坐标；
（2）①先确定出抛物线解析式，即可得出结论；
②先判断出满足条件的整数点由（1，﹣1），进而抛物线的顶点坐标的范围即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
令x＝0，则y＝﹣1，
∴A（0，﹣1）；
（2）①当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，
由（1）知，A（0，﹣1），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线还经过（2，﹣1），
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∴图形W内的整点只有（1，﹣1）一个；
②如图，
由①知，抛物线过点（0，﹣1），（2，﹣1），
∵图形W内有1个整数点，
∴当m＞0时，则﹣2≤＜﹣1，
当m＜0时，则0＜≤1，
∴0＜m≤1或﹣2≤m＜﹣1．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线对称轴的确定，函数图象的画法，顶点坐标公式，利用数形结合的思想解决问题是解本题的关键．
27．（7分）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED＝∠ODE，即可得出∠AOC＝∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得BO，得到BC＝8，然后根据勾股定理列出关于AC的方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED＝∠AOC，∠ODE＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD．
在△AOD和△AOC中，
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACO．
∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵CE＝6，
∴OE＝OD＝OC＝3．
在Rt△ODB中，BD＝4，OD＝3，
∴BD2+OD2＝BO2，
∴BO＝5，
∴BC＝BO+OC＝8．
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD＝AC．
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即：AC2+82＝（AC+4）2，
解得：AC＝6．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
28．（7分）点P为平面直角坐标系xOy中一点，点Q为图形M上一点，我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“包容度”．
如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点P（2，3）．
（1）在点P视角下，⊙O的“包容度”为 4 ，线段AB的“包容度”为 2 ；
（2）点M（m，0）为x轴上一点，若在点P视角下，线段AM的“包容度”为2，写出m的取值范围．
【分析】（1）连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，利用图形的“包容度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论；
（2）分三种情况讨论解答：当点M在线段AB（不含端点）上时，不合题意；当M点在点B的右侧时，求出PM的范围即可得到结论；当M点在点A的左侧时，利用勾股定理求得BM的大小，从而得到点M的坐标，结论可得；
【解答】解：（1）①连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，如图，
则PE，PF为点P到⊙O的长度的最大值与最小值，
∴在点P视角下，⊙O的“包容度”为PF﹣PE＝EF＝4；
∵⊙O半径为2，与x轴分别交于点A，B，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
∵点P坐标为（2，3），
∴PB⊥AB，PB＝3，AB＝4．
∴PA＝＝＝5．
∴点P到线段AB的最大长度为5，最小值为3，
∴在点P视角下，线段AB的“包容度”为PA﹣PB＝5﹣3＝2；
故答案为；4；2；
（1）由（1）知：PA﹣PB＝2，
当点M在线段AB（不含端点）上时，
∵PM＞PB，
∴PA﹣PM＜2，不合题意；
当M点在点B的右侧时，
∵PB⊥AM，
∴点P到AM的最小距离为3．
当m＞6时，PM＞PA，
∴PM﹣PB＞PA﹣PB＝2，不合题意；
∴2≤m≤6；
当M点在点A的左侧时，
∵PM﹣PA＝2，
∴PM＝7．
∴BM＝＝＝2．
∴OM＝2﹣2，
∴M（2﹣2，0）．
∴m＝2﹣2．
综上，m的取值范围为2≤m≤6或m＝2﹣2．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，勾股定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，本题是新定义型题目，连接并熟练运用新定义是解题的关键．
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