2022-2023学年北京市燕山区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市燕山区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）平面直角坐标系内，与点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．60°C．40°D．20°
4．（3分）方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根D．无法判断
5．（3分）已知2a2﹣7a﹣1＝0，则代数式a（2a﹣7）+5的值为（ ）
A．6B．5C．4D．﹣4
6．（3分）如图，将Rt△AOB（∠AOB＝90°）绕点O逆时针旋转30°得到Rt△COD，则∠COB＝（ ）
A．30°B．60°C．70°D．90°
7．（3分）将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x+1）2﹣3C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x﹣1）2﹣3
8．（3分）以下对二次函数y＝x2+4x﹣5的图象和性质的描述中，不正确的是（ ）
A．开口向上
B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线x＝2
D．与y轴的交点是（0，﹣5）
9．（3分）某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．48（1+x）2＝36B．48（1﹣x）2＝36
C．36（1+x）2＝48D．36（1﹣x）2＝48
10．（3分）小明用一根长40cm的铁丝围成一个矩形（如图），他发现矩形邻边的长度a，b及面积S是三个变量．有下面三个结论：
①b是a的一次函数；
②S是a的一次函数；
③S是a的二次函数．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 ．
12．（3分）二次函数的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3，顶点坐标是 ．
13．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根为1，那么a的值为 ．
14．（3分）如图，AB为⊙O的弦，点C为⊙O上一点，∠ACB＝55°，则∠AOB＝ °．
15．（3分）写出一个二次函数，其图象开口向上，且与y轴交于点（0，1），这个二次函数的解析式可以是 ．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 ．
17．（3分）小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
该二次函数的解析式是 ．
18．（3分）某件商品的销售利润y（元）与商品单价x（元）之间满足y＝﹣x2+6x﹣7，不考虑其他因素，该商品的单价定为 元时，销售一件该商品获得的利润最大，最大利润为 元．
三、解答题（本题共46分，第19题4分；第20-25题，每题各5分；第26-27题，每题各6分）
19．（4分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
20．（5分）如图，在半径为6的⊙O中，弦AB的长为6，求圆心角∠AOB的度数和点O到AB的距离．
21．（5分）阅读材料，并回答问题：
下面是小明解方程x2+4x﹣2＝0的过程：
解：移项，得
x2+4x＝2．①
配方，得
x2+4x+4＝2，②
（x+2）2＝2．③
由此可得
x+2＝±，④
x1＝﹣2，x2＝﹣．⑤
（1）小明解方程的方法是 ；
A．直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
（2）上述解答过程中，从第 步（填序号）开始出现了错误，原因是 ；
（3）请你写出正确的解答过程．
22．（5分）某二次函数的图象的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该二次函数的图象．
23．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取正整数时，求此时方程的根．
24．（5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF，∠AFD＝∠CDF．
（1）求证：＝；
（2）连接AC，若AB＝12，求AC的长．
25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（m+2）x+2m．
（1）当m＝2时，求抛物线的对称轴；
（2）若点（﹣1，y1），（m，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求m的取值范围．
26．（6分）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．
（1）若点A的坐标为（0，2），点P1（2，2），P2（1，﹣4），P3（﹣，1）中，点A的“等距点”是 ；
（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；
（3）记函数y＝x（x＞0）的图象为L，⊙T的半径为2，圆心坐标为T（0，t）．若在L上存在点M，⊙T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．
2022-2023学年北京市燕山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）平面直角坐标系内，与点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：与点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．60°C．40°D．20°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C的度数，又由∠ABC＝70°，利用直角三角形中两锐角互余，即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用，注意数形结合思想的应用．
4．（3分）方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根D．无法判断
【分析】计算一元二次方程根的判别式，由判别式符号即可得到答案．
【解答】解：在x2﹣x+1＝0中，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴x2﹣x+1＝0没有实数解，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．
5．（3分）已知2a2﹣7a﹣1＝0，则代数式a（2a﹣7）+5的值为（ ）
A．6B．5C．4D．﹣4
【分析】利用单项式乘多项式法则化简，去括号得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2a2﹣7a+5，
由2a2﹣7a﹣1＝0，得到2a2﹣7a＝1，
∴原式＝1+5＝6．
故选：A．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）如图，将Rt△AOB（∠AOB＝90°）绕点O逆时针旋转30°得到Rt△COD，则∠COB＝（ ）
A．30°B．60°C．70°D．90°
【分析】由旋转的性质可得∠BOD＝∠AOC＝30°，即可求解．
【解答】解：∵将Rt△AOB绕点O顺时针旋转30°得到△COD，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7．（3分）将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x+1）2﹣3C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x﹣1）2﹣3
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；
可设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝（x+1）2+3．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
8．（3分）以下对二次函数y＝x2+4x﹣5的图象和性质的描述中，不正确的是（ ）
A．开口向上
B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线x＝2
D．与y轴的交点是（0，﹣5）
【分析】利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9），
∴x＞﹣2时，y随x增大而增大，
当x＝0时，y＝﹣5，
∴与y轴的交点是（0，﹣5），
故选项C不正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
9．（3分）某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．48（1+x）2＝36B．48（1﹣x）2＝36
C．36（1+x）2＝48D．36（1﹣x）2＝48
【分析】设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至48公顷，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
【解答】解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，
依题意，得：36（1+x）2＝48．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）小明用一根长40cm的铁丝围成一个矩形（如图），他发现矩形邻边的长度a，b及面积S是三个变量．有下面三个结论：
①b是a的一次函数；
②S是a的一次函数；
③S是a的二次函数．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】求出相应函数表达式，根据函数定义即可求解．
【解答】解：①由题意得：a+b＝×40＝20，b＝20﹣a，则b是a的一次函数，故①正确，符合题意；
②S＝ab＝a（20﹣a）＝﹣a2+20a，则S是a的二次函数，故②错误，不符合题意；
③S是a的二次函数，由②知S是a的二次函数，故③正确，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查函数、一次函数、二次函数的应用，关键是判断两个变量之间所满足的函数关系．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 x＝±2 ．
【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
【解答】解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
12．（3分）二次函数的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3，顶点坐标是 （﹣1，3） ．
【分析】由已知和抛物线的顶点式，直接判断顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）．
13．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根为1，那么a的值为 ﹣3 ．
【分析】把x＝1代入已知方程可以列出关于a的新方程，通过解新方程即可求得a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根为1，
∴1+2+a＝0，
解得，a＝﹣3．
故答案是：﹣3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．（3分）如图，AB为⊙O的弦，点C为⊙O上一点，∠ACB＝55°，则∠AOB＝ 110 °．
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，
故答案为：110．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理解决问题．
15．（3分）写出一个二次函数，其图象开口向上，且与y轴交于点（0，1），这个二次函数的解析式可以是 y＝x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
且与y轴的交点为（0，1）．
故答案为：y＝x2+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 x1＝﹣1，x2＝3 ．
【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是：x＝1，
（﹣1，0）关于x＝1的对称点是：（3，0），
则抛物线与x轴的交点是：（﹣1，0）和（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．
17．（3分）小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
该二次函数的解析式是 y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5） ．
【分析】根据待定系数法即可求得．
【解答】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（3，﹣4），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0），
将（1，0）代入得4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18．（3分）某件商品的销售利润y（元）与商品单价x（元）之间满足y＝﹣x2+6x﹣7，不考虑其他因素，该商品的单价定为 3 元时，销售一件该商品获得的利润最大，最大利润为 2 元．
【分析】把解析式配成顶点式，即可得到答案．
【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，
而﹣1＜0，
∴当x＝3时，y取最大值2，
∴商品的单价定为3元，销售一件该商品获得的利润最大，最大利润为2元，
故答案为：3，2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，能求抛物线的顶点．
三、解答题（本题共46分，第19题4分；第20-25题，每题各5分；第26-27题，每题各6分）
19．（4分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
【分析】根据配方法可以解答此方程．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0
x2﹣4x+4＝3
（x﹣2）2＝3
x﹣2＝
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法．
20．（5分）如图，在半径为6的⊙O中，弦AB的长为6，求圆心角∠AOB的度数和点O到AB的距离．
【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，由在半径为6的⊙O中，弦AB的长为6，可得△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数，然后由三角函数的性质，求得点O到AB的距离．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA＝OB＝AB＝6，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴OC＝OA•sin60°＝6×＝3．
【点评】此题考查了垂径定理以及等边三角形的判定与性质．注意证得△OAB是等边三角形是关键．
21．（5分）阅读材料，并回答问题：
下面是小明解方程x2+4x﹣2＝0的过程：
解：移项，得
x2+4x＝2．①
配方，得
x2+4x+4＝2，②
（x+2）2＝2．③
由此可得
x+2＝±，④
x1＝﹣2，x2＝﹣．⑤
（1）小明解方程的方法是 B ；
A．直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
（2）上述解答过程中，从第 ② 步（填序号）开始出现了错误，原因是 等式左边加了4，等式右边没有加4 ；
（3）请你写出正确的解答过程．
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法对小明解方程的方法进行判断；
（2）从第②步开始出现了错误，不符合等式的性质；
（3）利用配方法得到（x+2）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）小明解方程的方法是配方法；
故选：B；
（2）上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，原因是等式左边加了4，等式右边没有加4；
故答案为：②；等式左边加了4，等式右边没有加4；
（3）正确解答为：
移项，得x2+4x＝2，
配方，得x2+4x+4＝6，
（x+2）2＝6，
由此可得x+2＝±，
所以x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
22．（5分）某二次函数的图象的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该二次函数的图象．
【分析】（1）此题知道顶点坐标，适合用二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k来解答．
（2）求出与坐标轴的交点坐标，结合已知的顶点坐标，描点、连线．
【解答】解：（1）已知二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），可设解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4
把（0，﹣3）代入上式，得：﹣3＝a﹣4，即a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
故该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当y＝0时，原式化为：x2﹣2x﹣3＝0
即（x+1）（x﹣3）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴与x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
如图：
．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
23．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取正整数时，求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出m＝1，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×3m＞0，
解得：m＜，
∴m的取值范围为m＜；
（2）∵m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝3，x2＝1，
∴当m取正整数时，此时方程的根为3和1．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．
24．（5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF，∠AFD＝∠CDF．
（1）求证：＝；
（2）连接AC，若AB＝12，求AC的长．
【分析】（1）根据垂径定理得出＝，根据圆周角定理得出＝，等量代换即可得解；
（2）根据圆周角定理得出∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，进而得出△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝，
∵∠AFD＝∠CDF，
∴＝，
∴＝；
（2）解：如图，连接OC，
∵＝＝，
∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，
∵DF是直径，
∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝AB＝6．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟记圆周角定理是解题的关键．
25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（m+2）x+2m．
（1）当m＝2时，求抛物线的对称轴；
（2）若点（﹣1，y1），（m，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求m的取值范围．
【分析】（1）由抛物线的对称轴公式即可得出答案；
（2）由二次函数的性质与不等式求解即可．
【解答】解：（1）当m＝2时，抛物线为y＝x2+4x+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2；
（2）y＝x2+（m+2）x+2m，
整理得：y＝（x+2）（x+m），
当x＝﹣1时，y1＝（﹣1+2）（﹣1+m）＝m﹣1，
当x＝m时，y2＝（m+2）（m+m）＝2m2+4m，
当x＝1时，y3＝（1+2）（1+m）＝3m+3，
∵y1＜y2，
∴m﹣1＜2m2+4m，
解得：m＞﹣或m＜﹣1，
∵y2＜y3，
∴2m2+4m＜3m+3，
解得：﹣＜m＜1，
∵y1＜y2＜y3，
∴﹣＜m＜﹣1或﹣＜m＜1，
∴m的取值范围为：﹣＜m＜﹣1或﹣＜m＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及对称轴、不等式等知识，熟练掌握图象上点的坐标特征和二次函数的性质是解题的关键．
26．（6分）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）如图，作DT⊥AP于T．证明△AEB≌△DTA（AAS），四边形DTEF是平行四边形，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示．
（2）结论：EF＝DF+BE．
理由：如图，作DT⊥AP于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵DT⊥AP，BF⊥AP，
∴∠AEB＝∠DTA＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠DAT＝90°，
∴∠ABE＝∠DAT，
在△AEB和△DTA中，
，
∴△AEB≌△DTA（AAS），
∴DT＝AE，AT＝BE，
∵∠EAF＝45°，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∴EA＝EF，
∴DT＝EF，
∵DT∥EF，
∴四边形DTEF是平行四边形，
∴DF＝TE，
∵AE＝AT+TE，EF＝AE，
∴EF＝DF+BE．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．
（1）若点A的坐标为（0，2），点P1（2，2），P2（1，﹣4），P3（﹣，1）中，点A的“等距点”是 P1，P3 ；
（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；
（3）记函数y＝x（x＞0）的图象为L，⊙T的半径为2，圆心坐标为T（0，t）．若在L上存在点M，⊙T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）利用两点间的距离公式求出AP1，AP2，AP3的值，结合点A的坐标及“等距点”的定义，即可得出结论；
（2）由点M，N为点A的等距点可得出AM＝AN，进而可得出点A在线段MN的垂直平分线上，设MN与其垂直平分线交于点C，点A的坐标为（m，n），由点M，N的坐标可得出点C的坐标及AM，CM的长度，利用勾股定理可求出AC的长度，结合点C的坐标即可得出点A的坐标；
（3）设点M的坐标为（a，a）（a＞0），则TM＝，MD＝a，MN＝﹣2，由“等距点”的定义可得出MD＝MN，进而可得出关于a的一元二次方程，由该方程有解可得出关于t的一元二次不等式，解之即可得出t的取值范围，由当t＝﹣2时a2＝0可得出t＝﹣2不合适，此题得解．
【解答】解：（1）∵AP1＝2﹣0＝2，AP2＝＝，AP3＝＝2，
∴点A的“等距点”是P1，P3．
故答案为：P1，P3．
（2）∵点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，
∴AM＝AN，
∴点A在线段MN的垂直平分线上．
设MN与其垂直平分线交于点C，点A的坐标为（m，n），如图1所示．
∵点M（1，2），点N（1，8），
∴点C的坐标为（1，5），AM＝AN＝n＝5，
∴CM＝3，AC＝＝4，
∴m＝1﹣4＝﹣3或m＝1+4＝5，
∴点A的坐标为（﹣3，5）或（5，5）．
（3）设点M的坐标为（a，a）（a＞0），则TM＝，MD＝a，MN＝﹣2．
依题意，得：MD＝MN，即a＝﹣2，
整理，得：a2﹣（t+2）a+t2﹣4＝0，
∵关于a的一元二次方程有解，
∴△＝[﹣（t+2）]2﹣4×1×（t2﹣4）≥0，即t2﹣2t﹣8≤0，
解得：﹣2≤t≤4．
当t＝﹣2时，a2＝0，不合题意，舍去．
∴t的取值范围为﹣2＜t≤4．
【点评】本题考查了两点间的距离、线段的垂直平分线、一次函数的性质、勾股定理以及解一元二次不等式，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式求出AP1，AP2，AP3的值；（2）利用“等距点”的定义找出点A在线段MN的垂直平分线上；（3）由存在“等距点”，找出关于t的一元二次不等式．
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