数学必修 第一册2.2 基本不等式优秀第2课时学案

2.2 基本不等式

第2课时 基本不等式的综合应用

【学习目标】

【自主学习】

一．基本不等式与最值

已知x、y都是正数，

1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．

2.若和 x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．

二．运用基本不等式求最值的三个条件：

1.“一正”：x，y必须是    ；

2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为    ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为     .

3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立。

三．通过变形构造定值的方法

如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1) 任意的正数， 且，都有.(　　)

(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　)

(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　)

(4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　)

2.若x>0，则x＋的最小值是________．

【经典例题】

题型一 利用基本不等式求最值

例1 当x>0时，y＝＋4x的最小值为(　　)

A．4      B．8      C．8 D．16

【跟踪训练】1 已知x<0，求最大值。

思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”、“二定”、“三相等”，现在x<0，

通过变形再利用基本不等式求最值。

题型二  变形构造定值—配项法

点拨：以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x) ＝ax＋b＋的函数求最值时可以考虑配凑法．

例2 当x>1时，求函数y＝x＋最小值。

【跟踪训练】2 若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值为________．

题型三  变形构造定值—配系数法

点拨：求积的最大值时，通过因式中的系数变形，使两个因式的和为定值。变形的过程中要保证恒等变形。

例3 已知0＜x＜，求f(x)＝x(1－2x)的最大值。

【跟踪训练】3 若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为(　　)

A．1       B.         C.     D.

题型四  变形构造定值—分式型基本不等式

点拨：分式型基本不等式有两种形式

当分子次数高于分母次数时，将分母当成整体，将分子改写成含有分母整体的形式，便可构造出积为定值的形式，利用基本不等式求解。

当分子次数低于分母次数时，分子分母同时除以分子，将分子化为常数，分母利用基本不等式求解。

例4 已知x>0，则函数的最小值为_______.

例4-变式 若－4<x<1，则y＝(　　)

A．有最小值1　　B．有最大值1    C．有最小值－1   D．有最大值－1

【跟踪训练】4 已知x＞0，求y＝的最大值．

题型五  变形构造定值—常值代换法“1”的代换

点拨：利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by为定值，求＋的最值”或“已知＋为定值，求cx＋dy的最值” (其中a，b，c，d均为常参数)时可用常值代换处理．

例5 。

例5-变式 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________.

【跟踪训练】5 已知x＞0，y＞0且＋＝1，则x＋y的最小值为________.

题型六  利用基本不等式解决实际问题

例6 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

【跟踪训练】6 某商品进货价为每件50元，经市场调查得知，当销售单价x（元）在区间时，每天售出的件数．若想每天获得的利润最大，销售价格应定为每件多少元？

【当堂达标】

1.已知0<x<1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　　)

A.               B.             C.          D.

2.已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n＞0)．则＋的最小值为(　　)

A．3              B．2         C.       D.

3.已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)

A.10             B.9              C.8                D.7

4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

5.已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.

6.函数y＝(x＞－1)的最小值为________．

7.(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；

(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

【参考答案】

【自主学习】

         正数 定值  定值

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2. 2　解析：x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．

【经典例题】

例1  C 解析：∵x>0，∴>0,4x>0.∴y＝＋4x≥2＝8.当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，∴当x>0时，y的最小值为8.

【跟踪训练】1 解：∵x<0，

∴

通过变形，

∵

∴

当且仅当，即时，等号成立，取得最大值。

例2 解：通过配项得；

当且仅当，即x＝2时，等号成立，取得最小值3.

【跟踪训练】2 －1  解析：∵x<3，∴x－3<0，

∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2 ＋3＝－1，

当且仅当＝3－x，即x＝1时取“＝”号．

∴f(x)的最大值为－1.

例3 解：因为0＜x＜，所以1－2x＞0，f(x)＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，所以f(x)的最大值为.

【跟踪训练】3  C 解析： ∵0＜x＜，

∴1－4x2＞0，

∴x＝×2x≤×＝，

当且仅当2x＝，即x＝时等号成立.

例4  -2  解析：∵x>0，

∴

当且仅当x=1时，等号成立。

例4-变式  D 解析：

∵－4<x<1，

∴x-1<0,

∴

当且仅当，即x＝0时等号成立．

【跟踪训练】4  解： y＝＝.

∵x＞0，

∴x＋≥2＝2，

∴0＜y≤＝1，

当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1.

例5 解：

当且仅当

例5-变式   解析：正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，

则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]

＝≥＝×(5＋4)＝，

当且仅当x＝2y＝时，取得最小值.

【跟踪训练】5  16  解析：法一　(1的代换)：因为＋＝1，

所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.

因为x＞0，y＞0，所以＋≥2＝6，

当且仅当＝，即y＝3x　①时，取“＝”.

又＋＝1，②

解①②可得x＝4，y＝12.

所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.

法二　(消元法)：由＋＝1，得x＝.

因为x＞0，y＞0，所以y＞9.

所以x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝

(y－9)＋＋10.

因为y＞9，所以y－9＞0，

所以(y－9)＋≥2＝6.

当且仅当y－9＝，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，

所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.

例6 解：(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.

设每间虎笼面积为S，则S＝xy.

由于2x＋3y≥2＝2，

∴2≤18，得xy≤，

即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．

由解得

故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．

(2)由条件知S＝xy＝24.

设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.

∵2x＋3y≥2＝2＝24，

∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．

由解得

故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．

【跟踪训练】6 解：设销售价格定为每件x(50≤x≤80)元，每天获得利润为y元，则

，

设x－50＝t，则0≤t≤30，

所以，

当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2500．

若想每天获得的利润最大，销售价格应定为每件60元.

【当堂达标】

1.B 解析：∵0<x<1，∴1－x>0.∴x(1－x)≤2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．

2.C解析：由题意得＋n＝1，所以＋＝(＋)(＋n)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝即m＝n时取等号．故选C.

3. B 解析：因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.

4.20 解析：每年购买次数为次．

∴总费用＝·4＋4x≥2＝160，

当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．

5.36 解析：4x＋≥2＝4.当且仅当4x＝，即4x2＝a时等号成立．由题意得a＝4×32＝36.

6.0 解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，因为x＞－1，所以x＋1＞0，

所以y≥2－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．

7. 解：(1)∵x<3，∴x－3<0.

∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3

＝－＋3

≤－2 ＋3＝－1，

当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，

∴f(x)的最大值为－1.

(2)由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，

∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，

∴x＋y＝x＋＝x＋

＝(x－8)＋＋10

≥2 ＋10＝18.

当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．

∴x＋y的最小值是18.