人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念学案，文件包含711数系的扩充和复数的概念解析版docx、711数系的扩充和复数的概念原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。

编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.
【自主学习】
知识点1 复数的引入
在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，
所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为 .
知识点2 复数的概念、分类
1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做 .a叫做复数的 ，b叫做复数的 .
(2)复数的表示方法：复数通常用字母 表示，即 .
(3)复数集定义： 所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.
2.复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))
(2)集合表示：
知识点3 复数相等
复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔ 即它们的实部与虚部分别对应相等.

【合作探究】
探究一 复数的概念
【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.
①2＋3i；②－3＋eq \f(1,2)i；③eq \r(2)＋i；④π；⑤－eq \r(3)i；⑥0.
归纳总结：
【练习1】下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3
探究二 复数的分类
【例2】设z＝ (m－1)＋ilg2(5－m)(m∈R).
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值.
归纳总结：
【练习2】实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.
探究三 两个复数相等
【例3】(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.
(2)关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
归纳总结：
【练习3】已知复数z＝eq \r(3x－1)－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A.－i B.i C.－1 D.1
2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
3.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )
A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.∅
4.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.eq \r(2)，1 B.eq \r(2)，5
C.±eq \r(2)，5 D.±eq \r(2)，1
5.以－eq \r(5)＋2i的虚部为实部，以eq \r(5)i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A.2－2i B.－eq \r(5)＋eq \r(5)i
C.2＋i D.eq \r(5)＋eq \r(5)i
6.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.eq \f(1,2) B.2
C.0 D.1
7.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A.1 B.0
C.－1 D.－1或1
二、填空题
8.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是 .
9.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为 .
10.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实数m的值为 .
11.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝ .
三、解答题
12.当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋eq \f(m2－7m＋12,m＋3)是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
B组 能力提升
一、选择题
1.若sin 2θ－1＋i(eq \r(2)cs θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A.2kπ－eq \f(π,4)(k∈Z) B.2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋iB．3－i
C．－3－iD．－3＋i
3．(多选题)下列命题正确的是( )
A．1＋i2＝0
B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i
C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D．两个虚数不能比较大小
二、填空题
4.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为 .
5.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为 .
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根.
6．(一题两空)定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3x＋2y i,－y 1))，则实数x＝________，y＝________.
三、解答题
7．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cs θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
8.已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，，z1＝z2，求λ的取值范围.
9.已知关于m的一元二次方程m2＋m＋2mi－eq \f(1,2)xy＋(x＋y)i＝0(x，y∈R).当方程有实根时，试确定点(x，y)所形成的轨迹.