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湖南省怀化市洪江实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份湖南省怀化市洪江实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省怀化市洪江实验中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．已知ab＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线y＝ax+b不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
3．如图，已知点A是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，点B在x轴负半轴上，且OA＝OB，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
4．如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1）
5．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．已知函数y＝的图象如图，当x≥﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．y＜﹣1 B．y≤﹣1 C．y≤﹣1或y＞0 D．y＜﹣1或y≥0
7．若方程（m﹣2）+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝1或3 D．m＝3
8．若x2﹣6x+11＝（x﹣m）2+n，则m，n的值分别是（ ）
A．m＝3，n＝﹣2 B．m＝3，n＝2 C．m＝﹣3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
9．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，其中真命题有（ ）
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
10．已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程2x2﹣9x+8＝0的两根，则此三角形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（每题4分，共32分）
11．任意写出一个经过二、四象限的反比例函数图象的表达式 ．
12．如图，设直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则5x1y2﹣3x2y1的值为 ．
13．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会 ．
14．方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
15．方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x1＝ ，x2＝ ．
16．若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0的根的情况是 ．
17．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
18．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则m2+n2的值是 ．
三、解答题：（共8道题，共计78分）
19．（20分）解下列方程：
（1）（2x+1）2＝4
（2）2x2﹣7x﹣2＝0
（3）x2+2x﹣2＝0（用配方法解）
（4）3x2+2x＝0．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0．
（1）若方程有实数根时，求m的取值范围；
（2）若方程有2个实数根时，求m的取值范围；
（3）当方程没有实数根时，求出m的最小正整数的值．
21．阅读下面的材料：
ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为，．
∴，．
综上所述得，设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则有：．
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若x2+bx+c＝0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）设方程2x2+3x+1＝0的根为x1、x2，求x12+x12的值．
22．如图是反比例函数的图象的一个分支．
（1）比例系数k的值是 ；
（2）写出该图象的另一个分支上的2个点的坐标： 、 ；
（3）当x在什么范围取值时，y是小于3的正数？
（4）如果自变量x取值范围为2≤x≤3，求y的取值范围．
23．反比例函数的图象在第一象限如图所示，A点的坐标为（2，2）在双曲线上，是否存在一点B，使△ABO的面积为3？若存在，请求出点B的坐标．
24．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
（3）该种材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间有多长？
参考答案
一、选择题：（每题4分，共40分）
1．已知ab＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线y＝ax+b不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】点P（a、b）在反比例函数的图象上，b＝1，可知a＜0，继而即可判断．
解：∵点P（a、b）在反比例函数的图象上，
代入求得：b＝1，
又ab＜0，∴a＜0，
y＝ax+b＝ax+1经过一、二和四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系及反比例函数图象上点的坐标特征，难度不大，同时注意数形结合思想的应用．
2．如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|可知，S△AOC＝S△BOD＝|k|，再根据反比例函数的对称性可知，O为DC中点，则S△AOD＝S△AOC＝|k|，S△BOC＝S△BOD＝|k|，进而求出四边形ADBC的面积．
解：∵A，B是函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行于y轴，
∴S△AOC＝S△BOD＝，
假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），
则OC＝OD＝x，
∴S△AOD＝S△AOC＝，S△BOC＝S△BOD＝，
∴四边形ABCD面积＝S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD＝×4＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，难易程度适中．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|．
3．如图，已知点A是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，点B在x轴负半轴上，且OA＝OB，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
【分析】本题可以先求出A点坐标，再由OA＝OB求出B点坐标，则S△AOB＝|xB||yA|即可求出．
解：点A是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，
则x＝，x＝2，A（2，2），
又∵OA＝OB＝，
∴B（﹣，0），
则S△AOB＝|xB||yA|＝××2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了由函数图象求交点坐标，并求点之间连线所围成图形的面积的方法．
4．如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为（2，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数．
5．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系即可．
解：∵反比例函数中k＝﹣4＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∴在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴0＜y1＜y2，
∵x3＞0，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象在二、四象限是解答此题的关键．
6．已知函数y＝的图象如图，当x≥﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．y＜﹣1 B．y≤﹣1 C．y≤﹣1或y＞0 D．y＜﹣1或y≥0
【分析】根据反比例函数的性质，再结合函数的图象即可解答本题．
解：根据反比例函数的性质和图象显示可知：
此函数为减函数，x≥﹣1时，在第三象限内y的取值范围是y≤﹣1；
在第一象限内y的取值范围是y＞0．
故选：C．
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
反比例函数y＝的图象是双曲线，
当k＞0时，图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；
当k＜0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
7．若方程（m﹣2）+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝1或3 D．m＝3
【分析】本题根据一元二次方程的一般形式，即可得到m2﹣3m+4＝2，并且m﹣2≠0，即可求得m的范围．
解：由一元二次方程的特点得，解得：m＝1．故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
8．若x2﹣6x+11＝（x﹣m）2+n，则m，n的值分别是（ ）
A．m＝3，n＝﹣2 B．m＝3，n＝2 C．m＝﹣3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
【分析】已知等式左边配方后即可求出出m与n的值．
解：x2﹣6x+11＝x2﹣6x+9+2＝（x﹣3）2+2＝（x﹣m）2+n，
得到m＝3，n＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，其中真命题有（ ）
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】①a+b+c＝0，即系数和为0，说明原方程有一根是1，a≠0，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△≥0；
②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
③判断方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
解：①若a+b+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有一根为1，又a≠0，则b2﹣4ac≥0，正确；
②由两根关系可知，﹣1×2＝，整理得：2a+c＝0，正确；
③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，正确．
正确命题有三个，故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．
10．已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程2x2﹣9x+8＝0的两根，则此三角形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用根与系数的关系得出两直角边长的乘积为4，再乘即是三角形的面积．
解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，是方程2x2﹣9x+8＝0的两根，
则ab＝4，
所以三角形的面积为ab＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
二、填空题：（每题4分，共32分）
11．任意写出一个经过二、四象限的反比例函数图象的表达式 y＝，答案不唯一 ．
【分析】根据反比例函数的性质可知，反比例函数过二、四象限则比例系数为负数，据此即可写出函数解析式．
解：由于反比例函数图象经过二、四象限，
所以比例系数为负数，
故解析式可以为y＝．答案不唯一．
故答案为：y＝，答案不唯一．
【点评】此题考查了反比例函数的图象和性质，难度不大，但具有开放性．
12．如图，设直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则5x1y2﹣3x2y1的值为 10 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标并结合函数图象上点的坐标特征来解答即可．
解：根据题意，x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，并且x1y1＝x2y2＝﹣5，
所以x1y2＝﹣x1y1，x2y1＝﹣x1y1，
5x1y2﹣3x2y1＝﹣5x1y1+3x1y1＝﹣5×（﹣5）+3×（﹣5）＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性，重点是两点关于原点成中心对称．
13．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会 减小 ．
【分析】因为△OAB的OA长度已经确定，所以只要知道点B到OA边的距离d就可知道△OAB的面积变化情况，而点B到OA边的距离d即为点B的纵坐标，根据点B是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，在（x＞0）第一象限y随x的增大y值越来越小，即d值越来越小，故△OAB 的面积减小．
解：设B（x，y）．
∴S△OAB＝0A•y；
∵OA是定值，点B是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，
又∵当点B的横坐标x逐渐增大时，点B的纵坐标y逐渐减小，
∴S△OAB＝0A•y会随着x的增大而逐渐减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
14．方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m＝± ．
【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣1＝2，且m﹣1≠0，再解即可．
解：由题意得：m2﹣1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝±，
故答案为：m＝±．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
15．方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x1＝ ﹣1+ ，x2＝ ﹣1﹣ ．
【分析】先观察再确定方法解方程，此题首先要化简，然后选择配方法较简单，因为二次项的系数为1．
解：化简得，
x2+2x﹣16＝0
∴x2+2x＝16
∴（x+1）2＝17
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】解此题的关键是先化简，再选择适宜的解题方法．求根公式法和配方法适用于任何一元二次方程，配方法对于二次项的系数为1方程要简单些．
16．若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0的根的情况是 没有实数根 ．
【分析】根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况．
解：∵5k+20＜0，即k＜﹣4，
∴Δ＝16+4k＜0．
故答案为：没有实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
17．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
【分析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2﹣代入计算即可．
解：设方程的另一根为x1，又∵x＝2﹣，
由根与系数关系，得x1+2﹣＝4，解得x1＝2+．
【点评】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解．
18．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则m2+n2的值是 6 ．
【分析】根据题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，所以利用根与系数的关系来求m2+n2的值．
解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则m+n＝2，mn＝﹣1．
所以，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝2×2﹣2×（﹣1）＝6．
故答案是：6．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
三、解答题：（共8道题，共计78分）
19．（20分）解下列方程：
（1）（2x+1）2＝4
（2）2x2﹣7x﹣2＝0
（3）x2+2x﹣2＝0（用配方法解）
（4）3x2+2x＝0．
【分析】（1）直接开方求得方程的解；
（2）利用公式法求得方程的解；
（3）利用配方法求得方程的解；
（4）利用因式分解法求得方程的解．
解：（1）（2x+1）2＝4
2x+1＝±2
2x+1＝2，2x+1＝﹣2
解得：x1＝，x2＝﹣．
（2）2x2﹣7x﹣2＝0
b2﹣4ac＝49+16＝65，
x＝
解得：x1＝，x2＝．
（3）x2+2x﹣2＝0
x2+2x＝2
x2+2x+1＝3
（x+1）2＝3
x+1＝±
x+1＝，x+1＝﹣
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．
（4）3x2+2x＝0
x（3x+2）＝0
x＝0，3x+2＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0．
（1）若方程有实数根时，求m的取值范围；
（2）若方程有2个实数根时，求m的取值范围；
（3）当方程没有实数根时，求出m的最小正整数的值．
【分析】（1）讨论：当m﹣1＝0时，即m＝1，方程为一元一次方程，有一个解；当m﹣1≠0，利用根的判别式的意义得到Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）≥0，解得m≤且m≠1，然后综合两种情况得到m的取值范围；
（2）利用根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（3）利用根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）＜0，解得m≥，然后在取值范围内找出最小正整数即可．
解：（1）当m﹣1＝0时，即m＝1，2x+4＝0，解得x＝﹣2；
当m﹣1≠0，Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）≥0，解得m≤且m≠1，
综上所述，m的取值范围为m≤；
（2）根据题意得m﹣1≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）≥0，
解得m≤且m≠1，
即m的取值范围为m≤且m≠1；
（3）根据题意得m﹣1≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）＜0，
解得m≥，
所以m最小正整数的值为2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
21．阅读下面的材料：
ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为，．
∴，．
综上所述得，设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则有：．
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若x2+bx+c＝0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）设方程2x2+3x+1＝0的根为x1、x2，求x12+x12的值．
【分析】（1）根据材料中的，将题目中两根为1和3，代入可得b和c的值；
（2）根据材料中的，可得x1+x2与x1x2的值，而x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，代入可得答案．
解：（1）根据材料中的，
可得b＝﹣（3+1）＝﹣4，c＝3×1＝3；
故b＝﹣4，c＝3；
（2）根据题意，可得x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝；
又x12+x12＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝﹣2×＝
答：x12+x22＝．
【点评】主要考查了根的判别式和根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2＝﹣，x1x2＝．把所求的代数式变形成x1+x2，x1x2的形式再整体代入是常用的方法之一．
22．如图是反比例函数的图象的一个分支．
（1）比例系数k的值是 12 ；
（2）写出该图象的另一个分支上的2个点的坐标： （﹣2，﹣6） 、 （﹣3，﹣4）等 ；
（3）当x在什么范围取值时，y是小于3的正数？
（4）如果自变量x取值范围为2≤x≤3，求y的取值范围．
【分析】（1）根据图象过点（2，6），即可得出k的值；
（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象上点的坐标；
（3）根据y＝＜3求出x的取值范围即可；
（4）根据当x＝2时，y＝6，当x＝3时，y＝4，得出y的取值范围即可．
解：（1）∵图象过点（2，6），
∴k＝xy＝12；
故答案为：12；
（2）（﹣2，﹣6），（﹣3，﹣4）答案不确定；
故答案为：（﹣2，﹣6），（﹣3，﹣4）等；
（3）当y＝＜3时，则x＞4；
（4）当x＝2时，y＝6，当x＝3时，y＝4，
故2≤x≤3时，则4≤y≤6．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及不等式解法等知识，根据不等式的性质得出x与y的取值范围是解题关键．
23．反比例函数的图象在第一象限如图所示，A点的坐标为（2，2）在双曲线上，是否存在一点B，使△ABO的面积为3？若存在，请求出点B的坐标．
【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，连接OB，根据反比例函数系数的几何意义可得S△AOE＝S△BOF＝2，然后求出梯形AEFB的面积＝△AOB的面积，然后列式求解即可．
解：存在．
设在双曲线y＝上存在点B（m，），
作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，连接OB，
则S△AOE＝S△BOF＝2，
∵S△AOB＝S四边形OABF﹣S△OBF，
S梯形AEBF＝S四边形OABF﹣S△AOE，
∴S△AOB＝S梯形AEFB＝3
如图1，＝3，
即m2﹣3m﹣4＝0，
解得，m1＝4，m2＝﹣1（舍去），
∴B点坐标（4，1），
如图2，＝3，
即m2+3m﹣4＝0，
解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，
∴点B坐标为（1，4），
∴点B坐标为（4，1）或（1，4）．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本题求出S△AOB＝S梯形AEFB是解题的关键．
24．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
（3）该种材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间有多长？
【分析】（1）分成0≤x≤5和x＞5两种情况，利用待定系数法即可求解；
（2）在当x＞5时的函数解析式中，求得y＝15时对应的自变量x的取值即可；
（3）在两个函数解析式中求得y＝40时对应的自变量的值，求差即可．
解：（1）当0≤x≤5时，
设函数的解析式是y＝kx+b，则，
解得：
则函数的解析式是：y＝9x+15；
当x＞5时，设y＝，则m＝5×60＝300，
∴y＝；
（2）把y＝15代入，得，x＝20；
经检验：x＝20是原方程的解．
则当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了20分钟；
（3）把y＝40代入y＝9x+15得x＝；把y＝40代入得x＝7.5，
所以材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间为7.5﹣＝（分钟）．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
2022-2023学年湖南省怀化市洪江实验中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．已知ab＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线y＝ax+b不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
3．如图，已知点A是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，点B在x轴负半轴上，且OA＝OB，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
4．如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1）
5．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．已知函数y＝的图象如图，当x≥﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．y＜﹣1 B．y≤﹣1 C．y≤﹣1或y＞0 D．y＜﹣1或y≥0
7．若方程（m﹣2）+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝1或3 D．m＝3
8．若x2﹣6x+11＝（x﹣m）2+n，则m，n的值分别是（ ）
A．m＝3，n＝﹣2 B．m＝3，n＝2 C．m＝﹣3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
9．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，其中真命题有（ ）
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
10．已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程2x2﹣9x+8＝0的两根，则此三角形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（每题4分，共32分）
11．任意写出一个经过二、四象限的反比例函数图象的表达式 ．
12．如图，设直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则5x1y2﹣3x2y1的值为 ．
13．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会 ．
14．方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
15．方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x1＝ ，x2＝ ．
16．若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0的根的情况是 ．
17．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
18．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则m2+n2的值是 ．
三、解答题：（共8道题，共计78分）
19．（20分）解下列方程：
（1）（2x+1）2＝4
（2）2x2﹣7x﹣2＝0
（3）x2+2x﹣2＝0（用配方法解）
（4）3x2+2x＝0．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0．
（1）若方程有实数根时，求m的取值范围；
（2）若方程有2个实数根时，求m的取值范围；
（3）当方程没有实数根时，求出m的最小正整数的值．
21．阅读下面的材料：
ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为，．
∴，．
综上所述得，设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则有：．
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若x2+bx+c＝0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）设方程2x2+3x+1＝0的根为x1、x2，求x12+x12的值．
22．如图是反比例函数的图象的一个分支．
（1）比例系数k的值是 ；
（2）写出该图象的另一个分支上的2个点的坐标： 、 ；
（3）当x在什么范围取值时，y是小于3的正数？
（4）如果自变量x取值范围为2≤x≤3，求y的取值范围．
23．反比例函数的图象在第一象限如图所示，A点的坐标为（2，2）在双曲线上，是否存在一点B，使△ABO的面积为3？若存在，请求出点B的坐标．
24．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
（3）该种材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间有多长？
参考答案
一、选择题：（每题4分，共40分）
1．已知ab＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线y＝ax+b不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】点P（a、b）在反比例函数的图象上，b＝1，可知a＜0，继而即可判断．
解：∵点P（a、b）在反比例函数的图象上，
代入求得：b＝1，
又ab＜0，∴a＜0，
y＝ax+b＝ax+1经过一、二和四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系及反比例函数图象上点的坐标特征，难度不大，同时注意数形结合思想的应用．
2．如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|可知，S△AOC＝S△BOD＝|k|，再根据反比例函数的对称性可知，O为DC中点，则S△AOD＝S△AOC＝|k|，S△BOC＝S△BOD＝|k|，进而求出四边形ADBC的面积．
解：∵A，B是函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行于y轴，
∴S△AOC＝S△BOD＝，
假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），
则OC＝OD＝x，
∴S△AOD＝S△AOC＝，S△BOC＝S△BOD＝，
∴四边形ABCD面积＝S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD＝×4＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，难易程度适中．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|．
3．如图，已知点A是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，点B在x轴负半轴上，且OA＝OB，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
【分析】本题可以先求出A点坐标，再由OA＝OB求出B点坐标，则S△AOB＝|xB||yA|即可求出．
解：点A是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，
则x＝，x＝2，A（2，2），
又∵OA＝OB＝，
∴B（﹣，0），
则S△AOB＝|xB||yA|＝××2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了由函数图象求交点坐标，并求点之间连线所围成图形的面积的方法．
4．如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为（2，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数．
5．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系即可．
解：∵反比例函数中k＝﹣4＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∴在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴0＜y1＜y2，
∵x3＞0，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象在二、四象限是解答此题的关键．
6．已知函数y＝的图象如图，当x≥﹣1时，y的取值范围是（ ）
A．y＜﹣1 B．y≤﹣1 C．y≤﹣1或y＞0 D．y＜﹣1或y≥0
【分析】根据反比例函数的性质，再结合函数的图象即可解答本题．
解：根据反比例函数的性质和图象显示可知：
此函数为减函数，x≥﹣1时，在第三象限内y的取值范围是y≤﹣1；
在第一象限内y的取值范围是y＞0．
故选：C．
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
反比例函数y＝的图象是双曲线，
当k＞0时，图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；
当k＜0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
7．若方程（m﹣2）+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝1或3 D．m＝3
【分析】本题根据一元二次方程的一般形式，即可得到m2﹣3m+4＝2，并且m﹣2≠0，即可求得m的范围．
解：由一元二次方程的特点得，解得：m＝1．故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
8．若x2﹣6x+11＝（x﹣m）2+n，则m，n的值分别是（ ）
A．m＝3，n＝﹣2 B．m＝3，n＝2 C．m＝﹣3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
【分析】已知等式左边配方后即可求出出m与n的值．
解：x2﹣6x+11＝x2﹣6x+9+2＝（x﹣3）2+2＝（x﹣m）2+n，
得到m＝3，n＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，其中真命题有（ ）
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】①a+b+c＝0，即系数和为0，说明原方程有一根是1，a≠0，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△≥0；
②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
③判断方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
解：①若a+b+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有一根为1，又a≠0，则b2﹣4ac≥0，正确；
②由两根关系可知，﹣1×2＝，整理得：2a+c＝0，正确；
③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，正确．
正确命题有三个，故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．
10．已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程2x2﹣9x+8＝0的两根，则此三角形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用根与系数的关系得出两直角边长的乘积为4，再乘即是三角形的面积．
解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，是方程2x2﹣9x+8＝0的两根，
则ab＝4，
所以三角形的面积为ab＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
二、填空题：（每题4分，共32分）
11．任意写出一个经过二、四象限的反比例函数图象的表达式 y＝，答案不唯一 ．
【分析】根据反比例函数的性质可知，反比例函数过二、四象限则比例系数为负数，据此即可写出函数解析式．
解：由于反比例函数图象经过二、四象限，
所以比例系数为负数，
故解析式可以为y＝．答案不唯一．
故答案为：y＝，答案不唯一．
【点评】此题考查了反比例函数的图象和性质，难度不大，但具有开放性．
12．如图，设直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则5x1y2﹣3x2y1的值为 10 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标并结合函数图象上点的坐标特征来解答即可．
解：根据题意，x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，并且x1y1＝x2y2＝﹣5，
所以x1y2＝﹣x1y1，x2y1＝﹣x1y1，
5x1y2﹣3x2y1＝﹣5x1y1+3x1y1＝﹣5×（﹣5）+3×（﹣5）＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性，重点是两点关于原点成中心对称．
13．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会 减小 ．
【分析】因为△OAB的OA长度已经确定，所以只要知道点B到OA边的距离d就可知道△OAB的面积变化情况，而点B到OA边的距离d即为点B的纵坐标，根据点B是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，在（x＞0）第一象限y随x的增大y值越来越小，即d值越来越小，故△OAB 的面积减小．
解：设B（x，y）．
∴S△OAB＝0A•y；
∵OA是定值，点B是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，
又∵当点B的横坐标x逐渐增大时，点B的纵坐标y逐渐减小，
∴S△OAB＝0A•y会随着x的增大而逐渐减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
14．方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m＝± ．
【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣1＝2，且m﹣1≠0，再解即可．
解：由题意得：m2﹣1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝±，
故答案为：m＝±．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
15．方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x1＝ ﹣1+ ，x2＝ ﹣1﹣ ．
【分析】先观察再确定方法解方程，此题首先要化简，然后选择配方法较简单，因为二次项的系数为1．
解：化简得，
x2+2x﹣16＝0
∴x2+2x＝16
∴（x+1）2＝17
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】解此题的关键是先化简，再选择适宜的解题方法．求根公式法和配方法适用于任何一元二次方程，配方法对于二次项的系数为1方程要简单些．
16．若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0的根的情况是 没有实数根 ．
【分析】根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况．
解：∵5k+20＜0，即k＜﹣4，
∴Δ＝16+4k＜0．
故答案为：没有实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
17．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
【分析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2﹣代入计算即可．
解：设方程的另一根为x1，又∵x＝2﹣，
由根与系数关系，得x1+2﹣＝4，解得x1＝2+．
【点评】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解．
18．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则m2+n2的值是 6 ．
【分析】根据题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，所以利用根与系数的关系来求m2+n2的值．
解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则m+n＝2，mn＝﹣1．
所以，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝2×2﹣2×（﹣1）＝6．
故答案是：6．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
三、解答题：（共8道题，共计78分）
19．（20分）解下列方程：
（1）（2x+1）2＝4
（2）2x2﹣7x﹣2＝0
（3）x2+2x﹣2＝0（用配方法解）
（4）3x2+2x＝0．
【分析】（1）直接开方求得方程的解；
（2）利用公式法求得方程的解；
（3）利用配方法求得方程的解；
（4）利用因式分解法求得方程的解．
解：（1）（2x+1）2＝4
2x+1＝±2
2x+1＝2，2x+1＝﹣2
解得：x1＝，x2＝﹣．
（2）2x2﹣7x﹣2＝0
b2﹣4ac＝49+16＝65，
x＝
解得：x1＝，x2＝．
（3）x2+2x﹣2＝0
x2+2x＝2
x2+2x+1＝3
（x+1）2＝3
x+1＝±
x+1＝，x+1＝﹣
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．
（4）3x2+2x＝0
x（3x+2）＝0
x＝0，3x+2＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0．
（1）若方程有实数根时，求m的取值范围；
（2）若方程有2个实数根时，求m的取值范围；
（3）当方程没有实数根时，求出m的最小正整数的值．
【分析】（1）讨论：当m﹣1＝0时，即m＝1，方程为一元一次方程，有一个解；当m﹣1≠0，利用根的判别式的意义得到Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）≥0，解得m≤且m≠1，然后综合两种情况得到m的取值范围；
（2）利用根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（3）利用根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）＜0，解得m≥，然后在取值范围内找出最小正整数即可．
解：（1）当m﹣1＝0时，即m＝1，2x+4＝0，解得x＝﹣2；
当m﹣1≠0，Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）≥0，解得m≤且m≠1，
综上所述，m的取值范围为m≤；
（2）根据题意得m﹣1≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）≥0，
解得m≤且m≠1，
即m的取值范围为m≤且m≠1；
（3）根据题意得m﹣1≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣1）（m﹣3）＜0，
解得m≥，
所以m最小正整数的值为2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
21．阅读下面的材料：
ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为，．
∴，．
综上所述得，设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则有：．
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若x2+bx+c＝0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）设方程2x2+3x+1＝0的根为x1、x2，求x12+x12的值．
【分析】（1）根据材料中的，将题目中两根为1和3，代入可得b和c的值；
（2）根据材料中的，可得x1+x2与x1x2的值，而x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，代入可得答案．
解：（1）根据材料中的，
可得b＝﹣（3+1）＝﹣4，c＝3×1＝3；
故b＝﹣4，c＝3；
（2）根据题意，可得x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝；
又x12+x12＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝﹣2×＝
答：x12+x22＝．
【点评】主要考查了根的判别式和根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2＝﹣，x1x2＝．把所求的代数式变形成x1+x2，x1x2的形式再整体代入是常用的方法之一．
22．如图是反比例函数的图象的一个分支．
（1）比例系数k的值是 12 ；
（2）写出该图象的另一个分支上的2个点的坐标： （﹣2，﹣6） 、 （﹣3，﹣4）等 ；
（3）当x在什么范围取值时，y是小于3的正数？
（4）如果自变量x取值范围为2≤x≤3，求y的取值范围．
【分析】（1）根据图象过点（2，6），即可得出k的值；
（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象上点的坐标；
（3）根据y＝＜3求出x的取值范围即可；
（4）根据当x＝2时，y＝6，当x＝3时，y＝4，得出y的取值范围即可．
解：（1）∵图象过点（2，6），
∴k＝xy＝12；
故答案为：12；
（2）（﹣2，﹣6），（﹣3，﹣4）答案不确定；
故答案为：（﹣2，﹣6），（﹣3，﹣4）等；
（3）当y＝＜3时，则x＞4；
（4）当x＝2时，y＝6，当x＝3时，y＝4，
故2≤x≤3时，则4≤y≤6．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及不等式解法等知识，根据不等式的性质得出x与y的取值范围是解题关键．
23．反比例函数的图象在第一象限如图所示，A点的坐标为（2，2）在双曲线上，是否存在一点B，使△ABO的面积为3？若存在，请求出点B的坐标．
【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，连接OB，根据反比例函数系数的几何意义可得S△AOE＝S△BOF＝2，然后求出梯形AEFB的面积＝△AOB的面积，然后列式求解即可．
解：存在．
设在双曲线y＝上存在点B（m，），
作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，连接OB，
则S△AOE＝S△BOF＝2，
∵S△AOB＝S四边形OABF﹣S△OBF，
S梯形AEBF＝S四边形OABF﹣S△AOE，
∴S△AOB＝S梯形AEFB＝3
如图1，＝3，
即m2﹣3m﹣4＝0，
解得，m1＝4，m2＝﹣1（舍去），
∴B点坐标（4，1），
如图2，＝3，
即m2+3m﹣4＝0，
解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，
∴点B坐标为（1，4），
∴点B坐标为（4，1）或（1，4）．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本题求出S△AOB＝S梯形AEFB是解题的关键．
24．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
（3）该种材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间有多长？
【分析】（1）分成0≤x≤5和x＞5两种情况，利用待定系数法即可求解；
（2）在当x＞5时的函数解析式中，求得y＝15时对应的自变量x的取值即可；
（3）在两个函数解析式中求得y＝40时对应的自变量的值，求差即可．
解：（1）当0≤x≤5时，
设函数的解析式是y＝kx+b，则，
解得：
则函数的解析式是：y＝9x+15；
当x＞5时，设y＝，则m＝5×60＝300，
∴y＝；
（2）把y＝15代入，得，x＝20；
经检验：x＝20是原方程的解．
则当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了20分钟；
（3）把y＝40代入y＝9x+15得x＝；把y＝40代入得x＝7.5，
所以材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间为7.5﹣＝（分钟）．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
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