湖南省长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次数学月考试卷

这是一份湖南省长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次数学月考试卷，共23页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
长郡双语初三数学月考
姓名__________


一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．x5•x＝x6 C．（xy2）3＝xy6 D．x2+x2＝2x4
3．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外
4．如右图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝50°，则∠BAC的度数是（　　）
A．50° B．30° C．25° D．20°
5．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
6．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（　　）
A．35元 B．45元 C．55元 D．65元
7．如右图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝+5的一部分，则杯口的口径AC为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如下图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（　　）
A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）
9．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如下图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
T8 T9 T10
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论．
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0；⑤（a+c）2＜b2．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（本题共6题，每小题3分，共18分）
11．某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按4：3：3计入总成绩，则他的总成绩为 　 　分．
12．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值是　 　
13．将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的表达式为　 　．
14．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是27cm2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝　 　cm．
T14 T15 T16
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交⊙O于点E，连接BE，若∠A＝100°，∠E＝60°，则∠OCD的大小为 　 　°．
16．在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为　 　．

三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19每小题6分，第20、21题8分，第22、23每小题9分，第24、25每小题10分，共72分）
17．计算： (2024－π）0＋×(－)＋|1－|＋()－2




18． 先化简：，再取一个你认为合理的x值，代入求原式的值．





19．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，写出A1点的坐标；
（2）求△ABC的面积


20．如图，点D是等边△ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：EB＝DC；
（2）连接DE，若∠BED＝50°，求∠ADC．


21．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．



22．某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元，若购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．
（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2）该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，根据市场行情，销售电脑机箱，液晶显示器一台分别可获得10元和160元的利润，该经销商希望销售完这两种商品，所获得利润不少于4100元，试问：该经销商有几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？






23．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，AB⊥CM于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
M


24．综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；
（2）当△CDB是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；
（3）直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

























25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，圆心P带x轴的距离始终小于半径；
（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN是以AM为底边的等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

第一次作业精选模拟练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．x5•x＝x6
C．（xy2）3＝xy6 D．x2+x2＝2x4
【解答】解：A．x+y）2＝x2+2xy+y2，故本选项不合题意；
B．x5•x＝x6，故本选项符合题意；
C．（xy2）3＝x3y6，故本选项不合题意；
D．x2+x2＝2x2，故本选项不合题意．
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外
【解答】解：∵点P的坐标是（4，3），
∴OP＝＝5，
而⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
4．如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝50°，则∠BAC的度数是（　　）

A．50° B．30° C．25° D．20°
【解答】解：∵AB∥OC，∠OBA＝50°，
∴∠BOC＝∠OBA＝50°，
∵∠BAC与∠BOC所对的弧都是，
∴∠BAC＝．
故选：C．
5．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点坐标（1，0），对称轴x＝1，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，抛物线的顶点在x轴上，
∴A、B、C正确，
故选：D．
6．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（　　）
A．35元 B．45元 C．55元 D．65元
【解答】解：设最大利润为w元，
则w＝（x﹣30）（100﹣x）＝﹣（x﹣65）2+1225，
∵﹣1＜0，0＜x＜100，
∴当x＝65时，二次函数有最大值1225，
∴定价是65元时，利润最大．
故选：D．
7．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝+5的一部分，则杯口的口径AC为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：OD为14，14＝x2+5，解得x＝±，
∴A（﹣，14），C（，14），
∴AC＝﹣（﹣）＝9，
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（　　）

A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）
【解答】解：作CM⊥x轴于M，
∵点B的坐标为（6，0），
∴BC＝OB＝6，
∵∠OBC＝60°，
∴BM＝，CM＝＝3，
∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，
∴C（3，3）．
故选：B．

9．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．
故选：B．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论．
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0；⑤（a+c）2＜b2．
其中，正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0，故①正确；
抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴交在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，又对称轴x＝﹣＝1，即，b＝﹣2a，所以8a+c＞0，故③正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，因此④正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，即（a+c）2﹣b2＞0，也就是（a+c）2＞b2，故⑤错误，
综上所述，正确结论有：①②③④
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按4：3：3计入总成绩，则他的总成绩为 　79　分．
【解答】解：70×+80×+90×＝79（分），
故答案为：79．
12．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值是
【解答】解：抛物线的对称轴是直线x＝1，
当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．

13．将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的表达式为　y＝3x2　．
【解答】解：∵将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝3（x﹣2+2）2+1﹣1，即y＝3x2．
故答案为y＝3x2．
14．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是27cm2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝　3　cm．

【解答】解：作DF⊥BC于F，

设DE为x，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝x，
∴×AB×DE+×BC×DF＝27，
即4x+5x＝27，
解得x＝3，
故答案为：3．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交⊙O于点E，连接BE，若∠A＝100°，∠E＝60°，则∠OCD的大小为 　50　°．

【解答】解：∵EC是⊙O的直径，
∴∠EBC＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠E＝30°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠OCD＝∠BCD﹣∠BCE＝50°，
故答案为：50．
16．在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为　2　．

【解答】解：连接OC，
∵在⊙O中，直径AB＝4，
∴OC＝AB＝2，
∴弦CD⊥AB于P，OP＝，
∴CP＝＝＝，
∴CD＝2CP＝2．
故答案为：2．

三．解答题（共10小题）
18．先化简：，再取一个你认为合理的x值，代入求原式的值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当x＝2时，
原式＝．
说明：x除不能取0，1，﹣1外，取其它值均可．
19．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，写出A1点的坐标；
（2）求点C到点C1经过的路径．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1点的坐标为（2，1）；

（2）∵OC＝＝3，∠COC1＝90°，
∴点C到点C1经过的路径为：＝π．
20．如图，点D是等边△ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：EB＝DC；
（2）连接DE，若∠BED＝50°，求∠ADC．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD；
（2）∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
∵∠BED＝50°，
∴∠AEB＝110°，
∵△EAB≌△DAC
∴∠AEB＝∠ADC＝110°．
21．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点的坐标为（1，﹣4）；

（2）∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
设P点坐标为（t，t2﹣2t﹣3），
∵S△PAB＝10，
∴×4×|t2﹣2t﹣3|＝10，
当t2﹣2t﹣3＝5，解得t1＝﹣2，t2＝4，此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
当t2﹣2t﹣3＝﹣5，方程没有实数解，
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
22．某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元，若购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．
（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2）该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，根据市场行情，销售电脑机箱，液晶显示器一台分别可获得10元和160元，该经销商希望销售完这两种商品，所获得利润不少于4100元，试问：该经销商有几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每台电脑机箱进价为x元、每台液晶显示器的进价为y元．
根据题意得：，
解得：．
答：设每台电脑机箱进价为60元、每台液晶显示器的进价为800元．
（2）设购买电脑机箱a台，则购买液晶显示器（50﹣a）台．
根据题意得：，
解得：24≤a≤26．
经销商共有三种进货方案：①购买电脑机箱24台，购买液晶显示器26台；②购买电脑机箱25台，购买液晶显示器25台；③购买电脑机箱26台，购买液晶显示器24台．
第①种进货方案获利最大，最大利润＝10×24+160×26＝4400元．
23．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；

（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，
∴CE＝＝＝．
24．综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；
（2）当△CDB是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；
（3）直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当y＝0时，＝0，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
设直线AC的解析式为y＝kx+6，
∴﹣2k+6＝0，
解得k＝3，
∴直线AC的解析式为y＝3x+6，
设直线BC的解析式为y＝k'x+6，
∴8k'+6＝0，
解得k'＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵＝﹣（x﹣3）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴E（3，），
平移后的直线解析式为y＝﹣x+6﹣n，
∴D（3，﹣n），
∴CD2＝9+（n+）2，BD2＝25+（﹣n）2，BC2＝100，
∵△CDB是以BC为斜边的直角三角形，
∴100＝9+（n+）2+25+（﹣n）2，
解得n＝或n＝（舍）；
（3）存在点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形，理由如下：
当3x+6＝﹣x+6﹣n时，解得x＝﹣n，
∴F（﹣n，﹣n+6），
当EF、FD为邻边时，ED与FP为菱形的对角线，
∴ED⊥FP，
∴FP∥x轴，
∴P（6+n，﹣n+6），
∴﹣n+6＝﹣（6+n）+6，
解得n＝，
∴P（8，0）；
当EF为菱形的对角线时，FP∥ED，
∴P（﹣n，n+6），
∵PE＝ED＝n，
∴E点向左平移n个单位，向上平移n个单位得到P点，
∴P（3﹣n，+n），
∴﹣n＝3﹣n，
解得n＝，
∴P（﹣，）；
综上所述：P点坐标为（8，0）或（﹣，）．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

【解答】方法一：
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，
∴抛物线的一般式为：y＝ax2，
∴＝a（）2，
解得：a＝±，
∵图象开口向上，
∴a＝，
∴抛物线解析式为：y＝x2，
故a＝，b＝c＝0；

（2）设P（x，y），⊙P的半径r＝，
又∵y＝x2，则r＝，
化简得：r＝＞x2，
∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设P（a，a2），
∵PA＝，
作PH⊥MN于H，
则PM＝PN＝，
又∵PH＝a2，
则MH＝NH＝＝2，
故MN＝4，
∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），
∴AM＝，AN＝，
当
当AN＝MN时，＝4，
解得：a＝﹣2±2，则a2＝4±2；
综上所述，P的纵坐标为：4+2或4﹣2．
方法二：
（3）设P（t，t2），
∵r2﹣y2＝4，
∴MH＝NH＝2，
∴M（t﹣2，0），N（t+2，0），A（0，2），
∵△AMN为等腰三角形，
AN＝MN，
（t+2）2+（2﹣0）2＝42，∴t＝﹣2±2，
当t＝﹣2±2时，PY＝（2±2）2＝4±2，∴P的纵坐标为4±2，
综上所述，P的纵坐标为：4+2或4﹣2．

声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/24 10:51:11；用户：冒敏娟；邮箱：cjsy248@xyh.com；学号：26529189