2023-2024学年湖南省长沙市开福区湘一立信中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市开福区湘一立信中学九年级（上）第一次月考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.二次函数的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

5.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.函数中自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8.下列命题中，为真命题的是(    )

A. 六边形的内角和为度 B. 多边形的外角和与边数有关
C. 矩形的对角线互相垂直 D. 三角形两边的和大于第三边

9.如图：一块直角三角板的角的顶点与直角顶点分别在两平行线、上，斜边平分，交直线于点，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在中，按以下步骤作图：
分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点；
作直线交于点；
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，．
若，则的长为(    )
 

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.分解因式： ______ ．

12.不等式组的解集是______．

13.如图，、、是上的三点，，则______度．

14.年月日，第届冬奥会在北京开幕，中国大陆地区观看开幕式的人数约人，请把用科学记数法表示出来______．

15.年月日青海省玉树县发生级大地震后，湘江中学九年级班的名同学踊跃捐款、有人每人捐元、人每人捐元、人每人捐元、人每人捐元．在这次每人捐款的数值中，中位数是______．

16.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给、、三个同学相同数量的扑克牌假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多，然后依次完成以下三个步骤：
第一步，同学拿出二张扑克牌给同学；
第二步，同学拿出三张扑克牌给同学；
第三步，同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学．
请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为______张．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：．

18.本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.本小题分

如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
画出关于轴对称的，写出点的坐标；
画出将绕原点按逆时针旋转所得的，写出点的坐标．

20.本小题分
为了解落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间单位：，按劳动时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
这次抽样调查的样本容量是______ ，组所在扇形的圆心角的大小是______ ；
将条形统计图补充完整；
该校共有名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数．

21.本小题分

如图，在▱中，对角线，相交于点，，，．
求证：四边形是菱形；
过点作于点，求的长．

22.本小题分
今年月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用，两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：

求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
该市后续又筹集了吨生活物资，现已联系了辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？

23.本小题分

如图，已知为的直径，是弦，且于点，连接、、．
求证：；
若，，求的半径．

24.本小题分
复合函数也被称为函数的合成，通俗来说是指将一个函数作为另一个函数的输入，从而将两个或多个函数组合在一起形成一个新的函数，其中每一个函数的输出都是下一个函数的输入．
例如：，，当时，则，将代入，则．
若，，求的取值范围；
若且为常数，，求的最小值；
二次函数经过且，若，，求的取值范围．

25.本小题分
如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为和将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点，旋转后的抛物线与轴相交于，．
若原抛物线过点，求抛物线的解析式；
若，关于点成中心对称，求直线的解析式；
在的条件下，若点是原抛物线上的一动点，点是旋转后的图形的对称轴上一点，为线段的中点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B.此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
C.此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D.此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义分别判断即可．
本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转后能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键．

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】 

【解析】解：因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为．
故选：．
已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相加与第三边作比较。结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中的三边长，即可得出结论。
【解答】
解：、，
该三边不能组成三角形，选项错误；
B、，
该三边能组成三角形，选项正确；
C、，
该三边不能组成三角形，选项错误；
D、，
该三边不能组成三角形，选项错误；
故选B。

5.【答案】 

【解析】【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是进行判断即可．
【解答】
解：点关于原点对称的点的坐标为．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于．
当函数表达式是分式时，函数要有意义，则要使分式的分母不能为．

7.【答案】 

【解析】解：在一次函数中，，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：．
根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：、六边形的内角和为，错误；
B、多边形的外角和与边数无关，都等于，错误；
C、矩形的对角线相等，错误；
D、三角形的两边之和大于第三边，正确；
故选D．
根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．
本题考查命题的真假性，是易错题．
注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握．

9.【答案】 

【解析】解：因为平分，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
故选：．
依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到的度数，进而得出的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

10.【答案】 

【解析】【分析】
根据作图得到是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可得到答案．
【解答】
解：由作图可知，是的垂直平分线，
，，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故选：．
【点评】
本题考查尺规作图中的相关计算问题，解题的关键是根据作图得到是等腰直角三角形．

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，然后利用平方差公式进行二次分解即可
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案是：．
根据圆周角定理即可直接求解．
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：捐款从少到多依次为：人每人捐元、人每人捐元、人每人捐元、人每人捐元，处于中间的是第个和第个数，他们的所绢金额都为元．
所以在这次每人捐款的数值中，中位数是．
故答案为：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．
注意找中位数的时候一定要先排好大小顺序，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了整式的加减法，此题目的关键是注意要表示清同学有张．本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌张，解答时依题意列出算式，求出答案．
【解答】
解：设每人有牌张，同学从同学处拿来二张扑克牌，又从同学处拿来三张扑克牌后，
则同学有张牌，
同学有张牌，
那么给同学后同学手中剩余的扑克牌的张数为：．
故答案为：．

17.【答案】解：原式
． 

【解析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，掌握，是解题的关键．

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

19.【答案】解：如图所示，即为关于轴对称的图形，
点的坐标是；

如图所示，即为绕原点按逆时针旋转的三角形，
点的坐标是． 

【解析】根据网格结构找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；
根据网格结构找出点、、绕点按照逆时针旋转后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标．
本题考查了利用旋转变换与轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．

20.【答案】  ，
组的人数名，
条形统计图如图所示，


名．
答：估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数为． 

【解析】解：这次抽样调查的样本容量是，
组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；


用组的人数所占百分比计算即可，计算组的百分比，用组的百分数乘以即可得出组所在扇形的圆心角的大小；
求出组人数，画出条形图即可；
用，两组的百分数之和乘以即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

21.【答案】证明：在▱中，对角线，相交于点，，，，
，，
，且，
，
是直角三角形，且，
，
四边形是菱形；

解：如图所示：
四边形是菱形，
，
，
，
解得：． 

【解析】利用平行四边形的性质结合勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出四边形是菱形；
利用三角形的面积求法得出的长．
此题主要考查了菱形的判定与性质，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．

22.【答案】解：设种型号货车每辆满载能运吨生活物资，种型号货车每辆满载能运吨生活物资，
依题意，得：，
解得：．
答：种型号货车每辆满载能运吨生活物资，种型号货车每辆满载能运吨生活物资．
设还需联系辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
答：至少还需联系辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地． 

【解析】设种型号货车每辆满载能运吨生活物资，种型号货车每辆满载能运吨生活物资，根据前两批具体运算情况数据表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设还需联系辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送吨生活物资，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23.【答案】证明：为的直径，
，与互余，又与互余，
．
，
．
；
设的半径为，则，
，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得．
答：的半径为． 

【解析】根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为是等腰三角形，即可求证．
根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力，关键是根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相解答．

24.【答案】解：，，
．
，
．
．
；
，，





．
对称轴为，开口向上，且，
当时，即时，
在处取得最小值为：；
当时，即时，
在处取得最小值为：；
当，即时，
在处取得最小值为：．
当时，的最小值为；当时，的最小值为：；当时，的最小值为：；
二次函数经过，则，即，
则，
则，
，，
，
则，
整理得：，
当时，取得最大值，此时，，
当时，取得最小值，此时，，
即． 

【解析】依据题意，首先求出，进而根据，从而可以得解；
确定函数的对称轴为，开口向上，且，再分类求解即可；
由，得到，由，得到，进而求解．
本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象和性质、解不等式等，正确理解题意和分类求解是本题解题的关键．

25.【答案】解：由抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
；
抛物线的解析式为；
连接，设抛物线对称轴交轴于，如图：

将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点，
，，
，
，关于点成中心对称，
是的中点，即在线段上，
，
，
，
，
，
，
，
设直线解析式为，
将，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由知，
把代入得：，
解得，
原抛物线解析式为；
，关于直线对称，
，
，为线段的中点，
，
把原抛物线的对称轴直线绕逆时针方向旋转得直线，
设，，
而，，
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或；
或；
若，为对角线，
，
方程组无实数解；
若，为对称轴，
，
解得或，
或；
综上所述，的坐标为或或或 

【解析】设抛物线的解析式为，把代入得抛物线的解析式为；
连接，设抛物线对称轴交轴于，根据将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点，知，，可得，又，关于点成中心对称，故是的中点，即在线段上，即可得，从而，用待定系数法可得直线解析式为；
把代入得原抛物线解析式为；而，关于直线对称，有，，把原抛物线的对称轴直线绕逆时针方向旋转得直线，设，，分三种情况列方程组可解得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，旋转变换，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用和方程思想的应用．