2021-2022学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷 word，解析版

这是一份2021-2022学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分）
1．（4分）下列函数不是反比例函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．xy＝5 C．y＝ D．y＝
2．（4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的二次项系数是（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．3
3．（4分）2cos60°的值是（　　）
A． B． C． D．1
4．（4分）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
5．（4分）如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（　　）

A．都相似
B．都不相似
C．只有甲中两个三角形相似
D．只有乙中两个三角形相似
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．
7．（4分）若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
8．（4分）如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于B，S△AOB＝3，则k的值为（　　）

A．不能确定 B．3 C．18 D．6
9．（4分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　）cm．

A． B． C． D．
10．（4分）函数y＝kx﹣3与y＝（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）
11．（4分）若点A（x，y）在反比例函数y＝的图象上，则代数式xy的值为 　 　．
12．（4分）已知＝2，那么＝　 　．
13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　 　．
14．（4分）已知x＝1是方程x2﹣ax+6＝0的一个根，则a＝　 　，另一个根为 　 　．
15．（4分）计算：2cos45°﹣（+1）0＝　 　．
16．（4分）如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点A2020的坐标为　 　．

三、解答题（本题共计8小题，共计86分）
17．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝1﹣x．
18．（10分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：

第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
19．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．

20．（10分）为了进一步了解某校初中学生的体质健康状况，对八年级的部分学生进行了体质监测，同时统计了每个人的得分．体质检测的成绩分为四个等级：优秀（45≤x≤50）、良好（40≤x＜45）、合格（30≤x＜40）、不合格（0≤x＜30）．根据调查结果绘制了下列两福不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：

（1）补全上面的扇形统计图和条形统计图；
（2）被测试的部分八年级学生的体质测试成绩的中位数落在　 　等级；
（3）若该校八年级有1400名学生，估计该校八年级体质为“不合格”的学生约有多少人？
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E．已知C点的坐标是（6，﹣1），D（n，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

22．（10分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）

23．（12分）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？
24．（14分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数；
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
（3）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．


2021-2022学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分）
1．（4分）下列函数不是反比例函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．xy＝5 C．y＝ D．y＝
【分析】根据反比例函数的定义判断即可．
【解答】解：A．y＝3x﹣1＝，是反比例函数，故A不符合题意；
B．xy＝5，是反比例函数，故B不符合题意；
C．y＝，是正比例函数，故C符合题意；
D．y＝，是反比例函数，故D不符合题意；
故选：C．
2．（4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的二次项系数是（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．3
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可判断．
【解答】解：方程x2﹣2x+3＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣2，常数项为3，
故选：A．
3．（4分）2cos60°的值是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根据cos60°＝，计算即可．
【解答】解：∵cos60°＝，
∴2cos60°＝1，
故选：D．
4．（4分）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
【分析】根据根与系数的关系得出方程的两根之和为﹣，再代入求出答案即可．
【解答】解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为﹣＝﹣＝6，
故选：B．
5．（4分）如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（　　）

A．都相似
B．都不相似
C．只有甲中两个三角形相似
D．只有乙中两个三角形相似
【分析】在图甲中，根据三角形内角和定理求出∠C，根据两角对应相等的两个三角形相似证明；在图乙中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明．
【解答】解：在图甲中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
则∠A＝∠D，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△DFE；
在图乙中，＝，＝＝，
∴＝，
又∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC∽△DOB，
故选：A．

6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理，得
BC＝＝＝4．
cosB＝＝，
故选：B．
7．（4分）若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
故选：B．
8．（4分）如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于B，S△AOB＝3，则k的值为（　　）

A．不能确定 B．3 C．18 D．6
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后解绝对值方法即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：∵AB⊥x轴于B，
∴S△AOB＝|k|，
即|k|＝3，
而k＞0，
∴k＝6．
故选：D．
9．（4分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　）cm．

A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义解答，即可得出答案．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×8＝4﹣4（cm），
故选：B．
10．（4分）函数y＝kx﹣3与y＝（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据当k＞0、当k＜0时，y＝kx﹣3和y＝（k≠0）经过的象限，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：∵当k＞0时，y＝kx﹣3过一、三、四象限，反比例函数y＝过一、三象限，
当k＜0时，y＝kx﹣3过二、三、四象限，反比例函数y＝过二、四象限，
∴B正确；
故选：B．
二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）
11．（4分）若点A（x，y）在反比例函数y＝的图象上，则代数式xy的值为 　4　．
【分析】把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案．
【解答】解：∵点A（x，y）在反比例函数y＝的图象上，
∴xy＝4，
故答案为：4．
12．（4分）已知＝2，那么＝　3　．
【分析】根据比例的性质求出a＝2b，把a＝2b代入，即可求出答案．
【解答】解：∵＝2，
∴a＝2b，
∴＝＝＝3，
故答案为：3．
13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　3150　．
【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．
【解答】解：8400×＝3150．
答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150．
故答案为：3150．
14．（4分）已知x＝1是方程x2﹣ax+6＝0的一个根，则a＝　7　，另一个根为 　6　．
【分析】将x＝1代入原方程可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值，再根据两根之积等于6，即可求出方程的另一个根为6．
【解答】解：将x＝1代入原方程得1﹣a+6＝0，
解得：a＝7．
方程的另一个根为6÷1＝6．
故答案为：7；6．
15．（4分）计算：2cos45°﹣（+1）0＝　﹣1　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×﹣1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（4分）如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点A2020的坐标为　（﹣674，﹣）　．

【分析】先根据等边三角形的性质和已知条件得出A1的坐标，根据每一个三角形有三个顶点确定出A2020所在的三角形，再求出相应的三角形的边长及A2020的横纵坐标，即可得解．
【解答】解：如图，

∵△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，
它们的边长依次是2，4，6，…，2n，
过点A1 作A1B⊥x轴于点B，连接OA1，
∵点O是所有等边三角形的中心，
∴∠A1OB＝30°，
∵A1A2＝2，
∴OB＝A1A2＝1，
∴A1 B＝OBtan30°＝1×＝，
∴A1 （﹣1，﹣），
同理，A4A5＝4，
则第二个三角形第1个顶点A4（﹣2，﹣），
同理第三个三角形第1个顶点A7（﹣3，﹣），
∵2020÷3＝673…1，
∴点A2020是第674个等边三角形的第1个顶点，位于第三象限，
∴点A2020的坐标为：（﹣674，﹣）．
故答案为：（﹣674，﹣）．
三、解答题（本题共计8小题，共计86分）
17．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝1﹣x．
【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到3x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2+2x＝1，
x2+2x＝1＝2，
（x+1）2＝2，
x+1＝±，
所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）3x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+1）＝0，
x﹣1＝0或3x+1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣．
18．（10分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：

第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
【分析】（1）由表中数据得出xy＝6000，即可得出结果；
（2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验．
【解答】解：（1）由表中数据得：xy＝6000，
∴y＝，
∴y是x的反比例函数，
故所求函数关系式为y＝；
（2）由题意得：（x﹣120）y＝3000，
把y＝代入得：（x﹣120）•＝3000，
解得：x＝240；
经检验，x＝240是原方程的根；
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
19．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．

【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．
（2）设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴＝，
设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，
∵AE＝4，AC＝9，
∴＝，
解得：x＝（负值舍去），
∴BD的长是．
20．（10分）为了进一步了解某校初中学生的体质健康状况，对八年级的部分学生进行了体质监测，同时统计了每个人的得分．体质检测的成绩分为四个等级：优秀（45≤x≤50）、良好（40≤x＜45）、合格（30≤x＜40）、不合格（0≤x＜30）．根据调查结果绘制了下列两福不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：

（1）补全上面的扇形统计图和条形统计图；
（2）被测试的部分八年级学生的体质测试成绩的中位数落在　合格　等级；
（3）若该校八年级有1400名学生，估计该校八年级体质为“不合格”的学生约有多少人？
【分析】（1）利用百分比的和为1，求出合格人数的百分比，再求出总人数求出不合格的人数即可解决问题．
（2）根据中位数的定义判断即可．
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）合格占1﹣32%﹣16%﹣12%＝40%．
总人数＝8÷16%＝50．不合格的人数＝50×32%＝16（人），
扇形统计图，条形统计图如图所示：


（2）中位数落在合格等级里．
故答案为合格．

（3）1400×＝448（人），
答：估计该校八年级体质为“不合格”的学生约有448人．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E．已知C点的坐标是（6，﹣1），D（n，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

【分析】（1）把C点坐标代入求得m的值，得到反比例函数的解析式；再求出D点坐标，然后将C、D两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）观察函数图象，找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）把C（6，﹣1）代入，得m＝6×（﹣1）＝﹣6，
则反比例函数的解析式为y＝﹣，
把y＝3代入y＝﹣，得x＝﹣2，
∴D点坐标为（﹣2，3）．
将C（6，﹣1）、D（﹣2，3）代入y＝kx+b，
得，解得，
则一次函数的解析式为y＝﹣x+2；

（2）根据函数图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值．
22．（10分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）

【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB，然后根据BE﹣AE＝50就能求得河宽．
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，
在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x
在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，
∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.30．
答：河宽为68.30米．

23．（12分）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？
【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2＝4月份的盈利额列出方程求解即可．
（2）5月份盈利＝4月份盈利×（1+增长率）．
【解答】解：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：
2400（1+x）2＝3456，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
（2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为：
3456×（1+20%）＝4147.2（元）．
答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%．
（2）5月份盈利为4147.2元．
24．（14分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数；
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
（3）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ACD＝44°，再根据相似三角形的性质得到∠BCD＝∠A，计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得到∠ACB＝80°，进而判断出△ABC不是等腰三角形，根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝44°，得到△ACD为等腰三角形和△BCD∽△BAC，根据三角形的完美分割线证明结论；
（3）根据题意求出AD，再根据△BCD∽△BAC，求出BD，再根据△BCD∽△BAC，求出CD．
【解答】（1）解：∵AD＝CD，∠A＝44°，
∴∠ACD＝∠A＝44°，
∵CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝44°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝88°；
（2）证明：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线；
（3）解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，
∴AC＝AD，
∵AC＝2，
∴AD＝2，
∵CD是△ABC的完美分割线，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴BC2＝BA•BD，
设BD＝x，则AB＝AD+BD＝2+x，
∴（）2＝x（x+2），
∴x＝±﹣1，
∵x＞0，
∴x＝﹣1，
∴BD＝﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴CD＝﹣．