【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第十一章-三角形-单元过关检测01-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

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2022—2023学年八年级上学期第一单元过关检测（1）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
B、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
C、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
D、没有应用到三角形的稳定性，符合题意；
故选：D．
2．（4分）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．14cm
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．
【解答】解：设第三边的长为xcm，
则9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，
∴四根木棒中，长度为5cm的木棒，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，
故选：C．
3．（4分）如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A＝55°，∠B＝45°，则∠DFG的度数是（　　）

A．55° B．45° C．110° D．100°
【分析】先根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得∠ACB＝∠DFE，然后根据三角形的内角和定理及邻补角定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°．
∵△ABC平移后得到△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE＝70°，
∴∠∠DFG＝180°﹣∠DFE＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
4．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠1的度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．72°
【分析】根据正五边形的性质得出AE＝DE和∠E的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AE＝DE，∠E＝＝108°，
∴△AED是等腰三角形，
∴∠1＝∠ADE＝×（180°﹣∠E）＝×（180°﹣108°）＝36°．
故选：B．
5．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠DEA等于（　　）

A．22° B．158° C．68° D．112°
【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数．
【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，
∠DEA＝180°﹣68°＝112°，
故选：D．
6．（4分）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠D+∠E和∠1+∠2的关系，然后即可求得∠D+∠E的度数．
【解答】解：连接BC，如右图所示，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，
∵∠D+∠E＝∠1+∠2，
∴∠D+∠E＝50°，
故选：C．

7．（4分）如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．60°
【分析】根据多边形的外角的定义解决此题．
【解答】解：∵72÷8＝9，
∴360°÷9＝40°．
∴每次旋转的角度α＝40°．
故选：B．
8．（4分）已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（　　）
A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0
【分析】根据三角形三边关系得到a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0，
∴|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|
＝﹣a+b+c﹣c+a﹣b
＝0．
故选：D．
9．（4分）如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线a上，则∠AOB的度数为（　　）

A．108° B．120° C．135° D．144°
【分析】根据正多边形的性质解决此题．
【解答】解：如图．

由题意得，∠1＝∠2＝72°，∠4＝∠5＝108°．
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝36°．
∴∠AOB＝360°﹣∠4﹣∠5﹣∠3＝108°．
故选：A．
10．（4分）如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线的交点，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．若∠ABC＝n°，则∠BOD的度数为（　　）

A．90°+n° B．45°+n° C．90°﹣n° D．90°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝180°﹣n°，根据角平分线的定义得出∠OBC＝ABC＝n°，∠OCA＝BCA，∠OAC＝BAC，求出∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝90°﹣n°，根据三角形内角和定理求出∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+n°，求出∠ODC＝∠AOC＝90°+n°，再根据三角形外角性质得出∠ODC＝∠OBC+∠BOD即可．
【解答】解：∵∠ABC＝n°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝180°﹣n°，
∵O是三个内角的平分线的交点，
∴∠OBC＝ABC＝n°，∠OCA＝BCA，∠OAC＝BAC，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，
∵∠ODC＝∠AOC，
∴∠ODC＝∠AOC＝90°+n°，
∵∠ODC＝∠OBC+∠BOD，∠OBC＝n°，
∴∠BOD＝90°，
故选：D．
11．（4分）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（　　）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】本题是一道关于三角形的题目，回想三角形的中线、角平分线、高线的概念；由∠1＝∠2可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念可知①错误；接下来，根据三角形中线、高线、角平分线的概念试着分析②、③、④，相信你能解答此题了．
【解答】解：对于①，由∠1＝∠2可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念，故①错误；
对于②，BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD内的线段，由三角形中线的概念，故②错误；
对于③，由于CH⊥AD于H，由三角形高线的概念可知CH是△ACD的边AD上的高，故③正确；
对于④，由AH平分∠FAC并且在△ACF内，故AH是△ACF的角平分线．又因为AH⊥CF，所以AH也是△ACF的高，故④正确．
故选：B．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论 ①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；证明∠ADC+∠ACD＝90°，∠GCD+∠BCD＝90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC＝135°，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD，
∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故①正确；
∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，
∴∠GCD+∠BCD＝90°，
∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠GDC，故③正确；
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣（∠ABC+）＝135°，
∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°，
∴∠DFB＝∠A，故④正确；
∵∠BFC＝135°，
∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故⑤正确；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误；
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝　 　．
【分析】设外角为2x，则其内角为3x，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然后利用外角和定理求得边数即可．
【解答】解：设外角为2x，则其内角为3x，
则2x+3x＝180°，
解得：x＝36°，
∴外角为2x＝72°，
∵正n边形外角和为360°，
∴n＝360°÷72°＝5，
故答案为：5．
14．（4分）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝　 　°．

【分析】根据三角形内角和定理得∠ACB＝100°，再由角平分线定义得∠ACE＝50°，利用三角形外角的性质得∠CED＝78°，再利用角的和差关系得出答案．
【解答】解：∵∠A＝28°，∠B＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣28°﹣52°＝100°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CED＝∠A+∠ACE＝28°+50°＝78°，
∵CD是高，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝90°−∠CED＝90°−78°＝12°，
故答案为：12．
15．（4分）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为 　 　．

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而可得出∠A′EF+∠A′FE的度数，根据图形翻折变换的性质得出∠AEF+∠AFE的度数，再由四边形的内角和为360°即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∴∠A′＝30°，
∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，
∵△AFE由△A′FE翻折而成，
∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．
故答案为：60°．
16．（4分）如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝　 　°．

【分析】根据题意可得：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，由三角形的内角和定理可求解∠4的度数，结合平角的定义可求解．
【解答】解：如图，由题意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，

∵∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝50°，
∵∠2+∠4+∠β＝180°，
∴∠β＝65°，
故答案为：65．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）把下面的证明过程补充完整：
如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．求证：CF∥DO．
证明：∵DE⊥AO（已知），
∴　 　＝90°（垂直的定义），
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝　 　（等量代换）
∴　 　（ 　 　）．
∴∠EDO＝　 　（ 　 　）．
又∵∠CFB＝∠EDO
∴∠CFB＝　 　（等量代换），
∴CF∥DO（ 　 　）．
【分析】根据垂直的定义、平行线的判断定理和性质定理解答即可．
【解答】证明：∵DE⊥AO（已知），
∴∠AED＝90°（垂直的定义），
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠AED（等量代换），
∴DE∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠CFB＝∠EDO，
∴∠CFB＝∠BOD（等量代换），
∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠AED，∠AED，DE∥OB，同位角相等，两直线平行，∠BOD，两直线平行，内错角相等，∠BOD，同位角相等，两直线平行．
18．（8分）如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形是 　 　；以AE为角平分线的三角形是 　 　；以AF为高线的钝角三角形有 　 　个；
（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度数．

【分析】（1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
【解答】解：（1）以AD为中线的三角形是△ABC；
以AE为角平分线的三角形是△ABD；
以AF为高线的钝角三角形有△ABE、△ABD、△ADE共3个，
故答案为：△ABC；△ABD；3；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，
∴∠C＝90°﹣35°＝55°，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF＝90°﹣55°＝35°．
19．（10分）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．证明下列结论：
（1）AD∥BC；
（2）∠BDC＝∠BAC．

【分析】（1）证明∠DAC＝∠ACB，可得结论；
（2）设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCF＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组，可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∠EAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
（2）设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCF＝y，
则有，
可得∠BDC＝∠BAC．
20．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．
（1）请说明∠B＝∠EFC的理由；
（2）若∠A＝60°，∠ACB＝76°，求∠CDE的度数．

【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行得AB∥EF，再根据平行线的性质得结论；
（2）先由三角形内角和定理求得∠B，进而求得∠BCD，再证明DE∥BC，再根据平行线的性质求得结果．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC；
（2）解：∵∠A＝60°，∠ACB＝76°，
∴∠B＝44°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝46°，
∵AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
∵∠ADE＝∠EFC，
∴∠DEF＝∠EFC，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠CDE＝46°．
21．（12分）在△ABC中，BC＝8，AB＝1．
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD＝10，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．

22．（12分）按要求完成下列各小题．
（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数．
（2）如图2，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠BAF的度数．

【分析】（1）根据多边形的内角和可得∠DAB和∠DAC的度数，再根据周角是360°可得答案；
（2）根据多边形的内角和可得∠ABC和∠ABF的度数．
【解答】解：（1）∵正方形内角和为360°，
∴其每个内角为360°÷4＝90°．
∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∴其每个内角为720°÷6＝120°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）∵正五边形内角和为540°，
∴其每个内角为540°÷5＝108°．
∵长方形每个内角为90°，
∴∠F＝90°，
∴∠ABC＝108°，∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAF＝180°﹣∠F﹣∠ABF
＝180°﹣90°﹣72°＝18°．

23．（12分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，猜想∠B、∠ACB、∠E的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试从具体的情况开始探索，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．则∠E＝　 　．
（2）小明继续探究，设∠B＝α，∠ACB＝β（B＞α），当点P在线段AD上运动时，求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示）

【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝65°，
∵PE⊥AD，
∴∠E＝90°﹣∠PDE＝25°；
故答案为：25；
（2）数量关系：∠E＝（∠ACB﹣∠B）；理由如下：
设∠B＝α，∠ACB＝β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣α﹣β．
∴∠BAD＝（180°﹣x﹣y）．
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝α+（180°﹣α﹣β）＝90°+（α﹣β），
∵PE⊥AD，
∴∠PDE+∠E＝90°，
∴∠E＝90°﹣[90°+（α﹣β）]＝（β﹣α）．
24．（14分）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，∠CFE与∠CEF的数量关系为 　 　．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E．探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，边AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于E．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系．

【分析】（1）根据三角形的外角的性质证明；
（2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
（3）同（1）、（2）的方法相同．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
故答案为：∠CEF＝∠CFE；
（2）∠CEF＝∠CFE．
理由：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，
又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
（3）如图：

∵C、A、G三点共线   AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．