【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第4课时-最短路径-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

第四课时——最短路径

知识点一：最短路径：

1. 最短路径基本原理：

①两点之间，线段         。

②点到直线的距离          。

③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离          。

2. 基本类型：

类型一：如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小。

    方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段的交点即为要找的点M。

    解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。

证明：∵P与P’关于直线l对称

      ∴直线l是PP’的                 

      ∴MP       MP’

      ∴MP＋MQ＝        ＋MQ＝       。

      ∴MP＋MQ此时有最小值，为        的长度

1．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8km，P，Q两地到l的距离分别为2km，5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是　    　．

      第2题                                             第3题

3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝16，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是　     　．

4．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（　　）

       第4题                                               第5题

A．10 B．11 C．11.5 D．13

5．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为　     　cm时，线段CQ+PQ的和为最小．

6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（　　）

A．15 B．17 C．18 D．20

类型二：如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。

方法点拨：分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。

解：如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的分别交于点A与点B，连接PA、PB以及AB，此时△PAB的周长最小。

证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称

      ∴OM是PP’的              ，PP’’是ON的             。

      ∴AP      AP’，BP      BP’’

      ∴＝        ＋AB＋        ＝       

      ∴△PAB的周长最小。

7．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　）

A． B． 

C． D．

8．如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．

9．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（　　）

      第 9题                                       第10题

A．40° B．100° C．140° D．50°

10．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

11．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，则△PMN周长为（　　）

      第11题                                         第12题

A．4 B．5 C．6 D．7

12．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　     　．

13． 

类型三：如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。

方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。

解：如图，作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。此时四边形PQMN的周长最下。

证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称

      ∴OA是QD的             ，OB是PC的             。

      ∴MD      MQ，NP       NC。

      ＝PQ＋       ＋MN＋       ＝PQ＋      。

          ∴四边形PQMN的周长最小。

13．如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP+PQ+QN最短．

14．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由．