【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第十二章-全等三角形-单元过关检测02-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

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2022—2023学年八年级上学期第一单元过关检测（2）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【解答】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故选：C．
2．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．全等三角形的周长相等
C．所有正方形都是全等图形
D．全等三角形的边相等
【分析】全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析．
【解答】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，错不符合题意；
B、全等三角形的周长相等，正确符合题意；
C、正方形的面积不相等，也不是全等形，错不符合题意；
D、全等三角形的对应边相等，错不符合题意．
故选：B．
3．（4分）如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF，BC＝8，BF＝11.5，则EC的长为（　　）

A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【分析】根据全等三角形的性质求出EF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵BC＝8，BF＝11.5，
∴CF＝BF﹣BC＝3.5，
∵△ABC≌△DEF，BC＝8，
∴EF＝BC＝8，
∴EC＝EF﹣CF＝8﹣3.5＝4.5，
故选：B．
4．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝32°，则∠EAC的度数为（　　）

A．18° B．30° C．32° D．38°
【分析】根据三角形的内角定理可得∠BAC的度数，进一步可得∠BAD的度数，根据全等三角形的性质可得∠EAC＝∠BAD，即可确定∠EAC的度数．
【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝70°，
∵∠DAC＝32°，
∴∠BAD＝38°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠EAC＝∠BAD＝38°，
故选：D．
5．（4分）如图，已知线段AB＝40米，MA⊥AB于点A，MA＝20米，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（　　）

A．8 B．8或10 C．10 D．6或10
【分析】分两种情况考虑：当△APC≌△BQP时与当△APC≌△BPQ时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
【解答】解：当△APC≌△BQP时，AP＝BQ，即40﹣x＝3x，
解得：x＝10；
当△APC≌△BPQ时，AP＝BP＝AB＝20米，
此时所用时间x为20，AC＝BQ＝60米，不合题意，舍去；
综上，出发20后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
故选：C．
6．（4分）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【分析】根据题目中的条件，可以得到OC＝OD，MC＝MD，再根据OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并写出依据即可．
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则下列结论正确的是（　　）

A．2α+∠A＝180° B．α+∠A＝90° C．2α+∠A＝90° D．α+∠A＝180°
【分析】先证明△BDF≌△CED，得∠BFD＝∠CDE，即可推导出α＝∠B＝∠C，由三角形内角和定理得∠B+∠C+∠A＝180°，所以2α+∠A＝180°，可判断A正确；
由2α+∠A＝180°可推出α+∠A＝90°，得α+∠A≠90°，可判断B错误；
由2α+∠A＝180°可得2α+∠A≠90°，可判断C错误；
若α+∠A＝180°，则∠C+∠B+∠A＞180°，与三角形的内角和等于180°相矛盾，可见α+∠A≠180°，可判断D错误．
【解答】解：在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∴α＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠BDF＝∠B＝∠C，
∵∠B+∠C+∠A＝180°，
∴2α+∠A＝180°，
故A正确；
由2α+∠A＝180°得α+∠A＝90°，
∴α+∠A≠90°，
故B错误；
∵2α+∠A＝180°，
∴2α+∠A≠90°，
故C错误；
若α+∠A＝180°，
由∠B+∠A＝180°，
∴∠C+∠B+∠A＞180°，与三角形内角和定理相矛盾，
α+∠A≠180°，
故D错误，
故选：A．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（　　）cm2．

A．27 B．54 C． D．108
【分析】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE，然后根据三角形面积公式得到S△BOC：S△AOB＝BC：AB．
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，
∵OB平分∠ABC，
∴OD＝OE，
∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB，
∴S△BOC＝×18＝27（cm2）．
故选：A．

9．（4分）如图：已知∠ABC＝∠ACB＝50°，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（　　）

A．∠DCP＝65° B．∠BDC＝40° C．∠DBE＝85° D．∠E＝50°
【分析】利用邻补角的定义得到∠ACP＝130°，则根据角平分线的定义得到∠DCP＝65°，则可对A选项进行判断；根据角平分线的定义得到∠DBC＝25°，然后利用三角形外角性质可计算出∠BDC＝40°，则可对B选项进行判断；先利用邻补角的定义和角平分线的定义得到∠CBE＝65°，于是可计算出∠DBE＝90°，则可对C选项进行判断；利用三角形内角和计算出∠E的度数，从而可对D选项进行判断．
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠ACP＝180°﹣∠ACB＝130°，
∵CD平分∠ACP，
∴∠DCP＝∠ACP＝×130°＝65°，所以A选项不符合题意；
∵∠ABC＝50°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝×50°＝25°，
∵∠DCP＝∠BDC+∠DBC，
∴∠BDC＝∠DCP﹣∠DBC＝65°﹣25°＝40°，所以B选项不符合题意；
∵∠CBM+∠ABC＝180°，
∴∠CBM＝180°﹣50°＝130°，
∵BE平分∠MBC，
∴∠CBE＝∠CBM＝65°，
∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝25°+65°＝90°，所以C选项符合题意；
∵∠BCE＝∠DCP＝65°，
∴∠E＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，所以D选项不符合题意．
故选：C．
10．（4分）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据全等三角形的定义画出图形，即可判断．
【解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．

故选：A．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
12．（4分）已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BDC＝∠AED；③AE＝AD＝EC；④S四边形ABCE＝BF×EF．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据由SAS可证△ABD≌△EBC，可判断①选项；由三角形的内角和定理以及角平分线的定义可判断②选项；根据全等三角形的性质可判断③选项；通过证明Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），可得S△BEF＝S△BEG，S△AEF＝S△CEG，可判断④选项．
【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
故①选项正确；
②∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABE），
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠CBD），
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠BDC＝BEA，
即∠BDC＝∠AED，
故②选项正确；
③∵∠BDC＝∠AED，∠BDC＝∠ADE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AE＝AD＝EC，
故③选项正确；
④过点E作EG⊥BC于点G，如图所示：

∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，EF⊥AB，
∴EF＝EG，
∵∠BFE＝∠BGE＝90°，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，S△BEF＝S△BEG，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴S△AEF＝S△CEG，
∴S四边形ABCE＝2S△BEF＝2×BF×EF＝BF×EF，
故④选项正确，
综上所述，正确的选项有4个，
故选：D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC、AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 　 　．

【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，

由基本作图可知，AP平分∠CAB，
∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×5×2＝5，
故答案为：5．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，若点B的坐标为（3，1），则点D的坐标为 　 　．

【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，证明△ODA≌△EAB（AAS），可得OA＝BE＝1，OD＝AE，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵B的坐标为（3，1），
∴OE＝3，BE＝1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠BEA＝90°．
∵OA⊥OD，
∴∠AOD＝∠BEA＝90°．∠DAO+∠ODA＝∠BAE+∠DAO＝90°，
∴∠ODA＝∠BAE，
在△ODA和△EAB中，
，
∴△ODA≌△EAB（AAS），
∴OA＝BE＝1，OD＝AE，
∴OD＝AE＝OE﹣OA＝3﹣1＝2，
∴点D的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝110°，延长BC至点D使CD＝AB，过点C作CE∥AB且使CE＝BC，连接DE并延长DE交AC于点F，交AB于点H．若∠D＝20°，则∠CFE的度数为 　 　度．

【分析】证明△ABC≌△DCE，可得∠A＝∠D＝20°，然后利用三角形内角和可得∠DEC＝∠ACB＝50°，进而可以解决问题．
【解答】解：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D＝20°，
∵∠B＝110°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B+∠A＝50°，
∴∠DEC＝∠ACB＝50°，
∵CE∥AB，
∴∠BHF＝∠DEC＝50°，
∴∠CFE＝∠AFH＝∠BHF﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．
故答案为：30．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．以下结论：
①△ABC≌△EDC；
②∠DHF＝60°；
③若∠A＝60°，则AB∥CE；
④若BE平分∠ABC中，则EB平分∠DEC．
正确的有 　 　．（只填序号）

【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理，三角形的内角和定理以及平行线的判定定理对每个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵CE平分∠ACM，
∴∠ACE＝∠MCE＝∠ACM＝60°，
∴∠ACB＝∠ACE．
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
∴①的结论正确；
在△BCF和△DCG中，
，
∴△BCF≌△DCG（SAS）．
∴∠CBF＝∠CDG．
∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，
∴∠CDG+∠CEB＝60°．
∵∠DCE+∠CDE+∠CED＝180°，∠DCE＝60°，
∴∠CDE+∠CED＝120°，
∴∠HDE+∠HED＝60°，
∴∠DHF＝∠HDE+∠HED＝60°．
∴②的结论正确；
∵∠A＝60°，∠ACE＝60°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AB∥CE，
∴③的结论正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵△BCF≌△DCG，
∴∠CBE＝∠CDG．
∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE．
∵△ABC≌△EDC，
∴∠ABC＝∠CDE，
∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE＝∠EDG．
∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∠DHF＝∠EDG+∠DEB＝60°，
∴∠CBF+∠BEC＝∠EDG+∠DEB，
∴∠BEC＝∠DEB．
即EB平分∠DEC．
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①②③④，
故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）如图，C、E分别在AB、DF上，O是CF的中点，EO＝BO，求证：∠ACE+∠DEC＝180°．
证明：∵O是CF的中点，
∴ 　＝　 　，
在△COB和△FOE中，
．
∴△COB≌△FOE （ 　），
∴∠　 　＝∠　 　，（ 　 　）．
∴AB∥DF，（ 　 　）．
∴∠ACE+∠DEC＝180°．（ 　 　）．

【分析】先通过证明△COB≌△FOE，利用全等三角形的性质得出∠OBC＝∠OEF，再根据内错角相等，两直线平行得出AB∥DF，根据两直线平行，同旁内角互补得出结论．
【解答】证明：∵O是CF的中点，
∴CO＝FO，
在△COB和△FOE中，
，
∴△COB≌△FOE（SAS），
∴∠OBC＝∠OEF（全等三角形对应角相等），
∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠ACE+∠DEC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：CO；FO；SAS；OBC；OEF；全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
18．（8分）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．

【分析】过F作FG⊥AB于G，则四边形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过F作FG⊥AB于G，
则四边形BEFG是矩形，
∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，
∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△AFG与△ECD中，
，
∴△AFG≌△ECD（ASA），
∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），
∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），
答：单元楼AB的高为39米．
19．（10分）如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若PO平分∠EPF，则PO与线段BC有什么关系？为什么？

【分析】（1）根据已知条件证明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）即可得出结论；
（2）根据Rt△ABF≌Rt△DCE可得出∠E＝∠F，即△PEF为等腰三角形，又因为PO平分∠EPF，根据三线合一可知PO垂直平分EF，从而得出PO垂直平分BC．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，BC＝CB，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF与Rt△DCE中，
∵，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠E＝∠F；
（2）解：PO垂直平分BC，
∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠E＝∠F，
∴△PEF为等腰三角形，
又∵PO平分∠EPF，
∴PO⊥BC（三线合一），EO＝FO（三线合一），
又∵EB＝FC，
∴BO＝CO，
∴PO垂直平分BC．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝20，AF＝8，求BE的长．

【分析】（1）由角平分线的性质得出DC＝DE，再由HL证明Rt△DCF≌Rt△DEB即可得证；
（2）由HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，得出AC＝AE，结合（1）中CF＝BE进而得出AB＝AF+BE+BE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，
∴DC＝DE，
又∵DF＝BD，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在Rt△ADC与Rt△ADE中，
∵DE＝CD，AD＝AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∵AB＝AE+BE＝AC+BE，
AC＝AF+CF，
由（1）知，CF＝BE，
∴AB＝AF+BE+BE，
即20＝8+2BE，
∴BE＝6．
21．（12分）在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠ADE；
（2）如图②，若AD平分∠CAE，∠DAE＝30°，点C在线段BE上，则∠D＝　 　度．


【分析】（1）由AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理“SAS”即可证明△ABC≌△ADE，则∠ABC＝∠ADE；
（2）由AC＝AE，AD平分∠CAE得AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，则∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，所以∠D＝∠ABC＝30°．
【解答】（1）证明：如图①，在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ABC＝∠ADE．
（2）解：如图②，设AD与CE交于点F，
∵AC＝AE，AD平分∠CAE，
∴AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴∠ABC＝30°，
由（1）得∠ABC＝∠D，
∴∠D＝30°，
故答案为：30．

22．（12分）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：
方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；
方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．

问：（1）方案①是否可行？请说明理由；
（2）方案②是否可行？请说明理由；
（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要 　 　就可以了，请把小明所说的条件补上．
【分析】（1）根据SAS证明△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据ASA证明△ABC≌△EDC，进一步即可得证；
（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，证明△ABC≌△EDC（ASA）即可得证．
【解答】解：（1）方案①可行，理由如下：
在△DCE和△ACB中，
，
∴△DCE≌△ACB（SAS），
∴DE＝AB，
∴方案①可行；
（2）方案②可行，理由如下：
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB，
故方案②可行；
（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，
证明步骤同（2），
故答案为：AB∥DE．
23．（12分）问题情境：
（1）如图1，∠AOB＝90，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，过点P作PN⊥OA于点N，作PM⊥OB于点M，请写出PE与PF的数量关系 　 ；
变式拓展：
（2）如图2，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F，∠MPN＝∠EPF．
试解决下列问题：
①PE与PF之间的数量关系还成立吗？为什么？
②若OP＝2OM，试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．

【分析】问题情境：（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论；
变式拓展：（2）①过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论；
②结论：OE﹣OF＝OP．证明△POM≌△PON（AAS），推出OM＝ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM＝EN，可得结论．
【解答】问题情境：证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．

∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中，
，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE；
变式拓展：①解：结论：PE＝PF．
理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，

∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∵∠PON＝60°，
∴∠MON＝120°，
∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，
∵∠MPN＝∠EPF＝60°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中，
，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE；
②解：结论：OE﹣OF＝OP．
理由：在△OPM和△OPN中，
，
∴△POM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON，
∵△PMF≌△PNE（ASA），
∴FM＝EN，
∴OE﹣OF＝EN+ON﹣（FM﹣OM）＝2OM，
在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，，
∴∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
∴OE﹣OF＝OP．
24 ．（14分）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．
（1）如图1，若∠AOB＝60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．
①当t＝2秒时，OC　 　∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；
（2）如图2，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转β，且0＜β＜α＜180°，两条射线相交于点C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况？若存在，请求出α与β应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）①当t＝2时，OC在∠AOB内部，且∠BOC＝2×15°＝30°，及知OC是∠AOB的“倍分线”；
②分三种情况：（Ⅰ）当OA在∠BOC内部且∠AOB＝2∠AOC时，t＝90÷15＝6；（Ⅱ）当OA在∠BOC内部且∠AOC＝2∠AOB时，t＝180÷15＝12；（Ⅲ）当OA在∠BOC内部且∠BOC＝2∠AOC＝2∠BOC时，t＝120÷15＝8；
（2）由已知可得：∠BCD＝90°﹣β，∠BCE＝∠ACB＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β，∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝（90°﹣β）﹣（90°﹣α﹣β）＝α﹣β，分三种情况：当∠BCD＝2∠BCE时，90°﹣β＝2（90°﹣α﹣β），可得α＝90°，当∠DCE＝2∠BCE时，α﹣β＝2（90°﹣α﹣β），有3α+β＝360°，当∠BCE＝2∠DCE时，90°﹣α﹣β＝2（α﹣β），可得3α﹣β＝180°．
【解答】解：（1）①当t＝2时，OC在∠AOB内部，且∠BOC＝2×15°＝30°，
∴∠AOB＝2∠BOC，
∴OC是∠AOB的“倍分线”，
故答案为：是；
②（Ⅰ）当OA在∠BOC内部且∠AOB＝2∠AOC时，

∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝90°，
∴t＝90÷15＝6；
（Ⅱ）当OA在∠BOC内部且∠AOC＝2∠AOB时，如图：

∴∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°，
∴t＝180÷15＝12；
（Ⅲ）当OA在∠BOC内部且∠BOC＝2∠AOC＝2∠BOC时，如图：

∴∠BOC＝120°，
∴t＝120÷15＝8，
综上所述，t的值为6或12或8；
（2）存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况，理由如下：
如图：

由已知可得：∠BCD＝90°﹣β，∠BCE＝∠ACB＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝（90°﹣β）﹣（90°﹣α﹣β）＝α﹣β，
当∠BCD＝2∠BCE时，如图：

90°﹣β＝2（90°﹣α﹣β），
∴α＝90°，
当∠DCE＝2∠BCE时，如图：

∴α﹣β＝2（90°﹣α﹣β），
整理得：3α+β＝360°，
当∠BCE＝2∠DCE时，如图：

∴90°﹣α﹣β＝2（α﹣β），
整理得3α﹣β＝180°，
综上所述，α与β应满足的数量关系为：α＝90°或3α+β＝360°或3α﹣β＝180°．