【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第3课时-等腰三角形-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

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第三课时——等腰三角形（答案卷）

知识点一：等腰三角形：
1. 等腰三角形的概念：
有两条边 相等 的三角形叫做等腰三角形。
2. 等腰三角形的相关概念：
等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，另一边叫做
等腰三角形的 底 。两腰之间的夹角叫做等腰三角形的 顶角 ，腰与底的夹角叫做等腰三角形的 底角 。
3. 等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。
②等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。【简称底边上
三线合一】即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。
特别说明：①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线这四个元素中，其中两个成立，则另两个一定成立。

【类型一：熟悉等腰三角形的性质】
1．下列叙述正确的语句是（　　）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．顶角相等的两个等腰三角形全等
D．两腰相等的两个等腰三角形全等
【分析】根据三角形的面积，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、根据三角形的面积两腰相等，所以腰上的高相等，故本选项正确；
B、必须是等腰三角形底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线互相重合，故本选项错误；
C、顶角相等，但腰长不一定相等，所以三角形不一定相等，故本选项错误；
D、两腰相等，但顶角不一定相等，故本选项错误．
故选：A．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．
故选：D．
【类型二：求周长】
3．等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．10 D．12或15
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．
故选：B．
4．已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（　　）
A．16 B．20 C．16或20 D．14
【分析】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以4为底边和腰两种情况考虑：若4为腰，则另外一腰也为4，底边就为8，根据4+4＝8，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若4为底边，腰长为8，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可．
【解答】解：若4为腰，8为底边，此时4+4＝8，不能构成三角形，故4不能为腰；
若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为4+8+8＝20，
综上三角形的周长为20．
故选：B．
5．已知等腰三角形中的一边长为5cm，另一边长为9cm，则它的周长为（　　）
A．14cm B．23cm C．19cm D．19cm或23cm
【分析】因为是等腰三角形所以另一边必须为5或9，由于5或9都不违背三角形的任意两边之和大于第三边，所以都符合题意．
【解答】解：∵三角形为等腰三角形
∴三角形所以另一边必须为5或9
∵5或9都不违背三角形的任意两边之和大于第三边
∴它的周长为5+5+9＝19或5+9+9＝23．
故选：D．
6．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△AMN的周长为（　　）

A．30 B．36 C．39 D．42
【分析】先根据角平分线的性质和平行线判断出OM＝BM、ON＝CN，也就得到三角形的周长就等于AB与AC的长度之和．
【解答】解：如图，∵OB、OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
又∵MN∥BC，
∴∠2＝∠5，∠6＝∠4，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴BM＝MO，NO＝CN，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝MA+AN+MO+ON＝AB+AC，
又∵AB＝12，AC＝18，
∴△AMN的周长＝12+18＝30．
故选：A．

7．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（　　）
A．11cm B．7.5cm
C．11cm或7.5cm D．以上都不对
【分析】分边11cm是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①11cm是腰长时，腰长为11cm，
②11cm是底边时，腰长＝（26﹣11）＝7.5cm，
所以，腰长是11cm或7.5cm．
故选：C．
8．等腰△ABC中，AC＝2BC，周长为60，则BC的长为（　　）
A．15 B．12
C．15或12 D．以上都不正确
【分析】题目没有明确AC是腰还是底边，要分解答：当AC＝AB或当BC＝AB两种情况．
【解答】解：当AC＝AB时，2BC+2BC+BC＝60，则BC＝12；
当BC＝AB时，BC＝15，但BC+AB＝AC＝30，故构不成三角形．
故选：B．
9．等腰三角形的周长为16，其一边长为4．那么它的底边长为（　　）
A．5 B．4 C．8 D．4或8
【分析】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．
【解答】解：①4是底边时，腰长为（16﹣4）＝6，
此时，三角形的三边分别为4、6、6，
能组成三角形，
②4是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
此时，三角形的三边分别为8、4、4，
不能组成三角形，
综上所述，底边为4．
故选：B．
【类型三：求边长和线段长度】
10．等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】连接AP，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根据AB＝AC即可求出PE+PF．
【解答】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．
求：PE+PF的值．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB•PE+AC•PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，
故选：B．
11．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC的长是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．14
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，进而根据等腰三角形的性质可得出结论．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD．
∵△BCD的周长是14，BC＝6，
∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，
∵AB＝AC，
∴AC＝8．
故选：B．
【类型四：求角度】
12．若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（　　）
A．20° B．50° C．80° D．100°
【分析】由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的一个底角为（180°﹣80°）÷2＝50°．
故选：B．
13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，AD＝AE．则∠CDE＝（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD＝40°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝＝70°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝90°﹣70°＝20°．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，
∠ADC＝90°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝＝70°，
∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
14．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B＝　 　°．

【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．
【解答】解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝105°，
∴∠DAC＝105°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+105°﹣＝180°，
解得：α＝50°，
∴∠B＝∠BAD＝＝25°，
故答案为：25．
15．△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（　　）
A．67.5° B．22.5°
C．45° D．67.5°或22.5°
【分析】根据题意，应该考虑两种情况，①CD在△ABC内部；②CD在△ABC外部．分别结合已知条件进行计算即可．
【解答】解：①如右图所示，CD在△ABC内部，
∵AB＝AC，CD为AB上的高，
∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°；
②如右图所示，CD在△ABC外部，
∵AB＝AC，CD为AB上的高，
∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝×45°＝22.5°，
∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝22.5°+45°＝67.5°；
故答案是22.5°或67.5°．
故选：D．
16．如图，已知∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEG的度数为　 　度．

【分析】由已知许多线段相等，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得许多角的关系，利用这些关系即可求得∠FEG的度数．
【解答】解：∵∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF
∴∠CBD＝∠BAC+∠BCA＝30°
∴∠BCD＝120°
∴∠DCE＝∠CED＝180°﹣15°﹣120°＝45°
∴∠EDF＝∠A+∠AED＝15°+45°＝60°
∴△DEF是等边三角形
∴∠FEG＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故填75．




知识点一：等腰三角形的判定：
1. 判定定理一：
一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对
等边）则这个三角形是等边三角形。、
2. 判定定理二：
若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰
三角形。

【类型一：等腰三角形的判定】
17．下列能判定三角形是等腰三角形的是（　　）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
【分析】根据三角形内角和定理可求得第三个角的度数，再根据有两个角相等的三角形是等腰三角形进行判定．
【解答】解：A，因为有两个角为30°、60°，则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B，因为有两个角为40°、80°，则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C，因为有两个角为50°、80°，则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D，因为100°+120°＞180°，所以此选项不正确；
故选：C．
18．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．

【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．
【解答】证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°．
∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED＝∠CEF，
∴∠D＝∠CEF．
∴∠A＝∠C．
∴△ABC为等腰三角形．
19．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF＝BE+CF．

【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，解出△BED和△CFD是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵EF∥BC，∴∠2＝∠3，∠4＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，
根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE＝ED，DF＝FC，故EF＝ED+DF＝BE+CF．

20．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠C，BE平分∠ABC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AC＝BC，∠C＝32°，求∠AEF的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABE＝∠CBE，根据三角形的外角性质得出∠AFE＝∠ABE+∠BAD，∠AEB＝∠CBE+∠C，求出∠AFE＝∠AEB即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC和∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠CBE的度数，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠ABE+∠BAD＝∠CBE+∠C，
∵∠AFE＝∠ABE+∠BAD，∠AEB＝∠CBE+∠C，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴AE＝AF；
（2）解：∵∠C＝32°，
∴∠CBA+∠CAB＝180°﹣∠C＝148°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝＝74°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝ABC＝37°，
∴∠AEF＝∠C+∠CBE＝32°+37°＝69°．
21．如图所示，已知Rt△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．
求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD＝2CE．

【分析】根据已知利用AAS判定△BEF≌△BEC，从而得到BF＝BC，即△BCF等腰三角形；
由已知可得CF＝2CE＝2EF，利用AAS判定△ABD≌△ACF，从而得到BD＝CF＝2CE．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠CBE．
∵CE⊥BD，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEF≌△BEC，
∴BF＝BC，即△BCF等腰三角形．
（2）∵BF＝BC，CE⊥BD，
∴CF＝2CE＝2EF，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ABD+∠AFE＝90°，
∴∠ADB＝∠BFE，
又∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF＝2CE．

知识点一：等边三角形：
1. 等边三角形的定义：
三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。
2. 等边三角形的性质：
①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °。
②等边三角形三条边都存在 三线合一 。
③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。
特别说明：等边三角形三边上都存在三线合一，且他们所在的直线就是等边三角形的对
称轴。所有的等边三角形都是等腰三角形，但是等腰不一定是等边。
3. 含30°的直角三角形中，30°角所对直角边与斜边的关系：
如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。
∵AD⊥BC

∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30°
BD＝CD＝ BC
∴BD＝ AB
结论：在含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。

【类型一：利用等边三角形求角度】
22．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（　　）

A．105° B．95° C．85° D．75°
【分析】先根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC可得∠CAD＝30°，再由AD＝AE可知∠ADE＝∠AED，根据三角形内角和定理即可求出∠AED的度数，故可得出∠DEC的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝30°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠DEC＝105°．
故选：A．
23．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】先根据等腰三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线，得出∠ABC＝∠ACD，∠ABE＝∠ACE．可求出∠ABE的值．
【解答】解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴AD是BC的线段垂直平分线，
∵E是AD上一点，
∴EB＝EC，
∴∠EBD＝∠ECD，
∵∠CED＝50°，
∴∠ECD＝40°，
又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
故选：C．
24．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠1＝∠CBE，根据∠2＝∠1+∠ABE可以求得∠2的度数，即可解题．
【解答】解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故选：D．
25．如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为（　　）

A．15° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，∠CBD＝30°，再根据等边对等角的性质求出∠E＝∠CDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到∠E的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，
∴∠ACB＝60°，∠CBD＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠BCD＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
故选：C．
26．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是　 　．

【分析】根据正五边形和等边三角形的性质得到∠EAF＝108°﹣60°＝48°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠EAB＝＝108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝（180°﹣48°）＝66°，
故答案为：66°
【类型一：利用等边三角形求线段长度】
27．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为　 　．

【分析】先由∠B＝∠C＝60°及三角形的内角和，得出∠BAC＝60°，从而△ABC为等边三角形，再由等腰三角形的“三线合一”性质，得出BD＝CD，而已知AB＝8，则可得答案．
【解答】解∵∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AB＝8，
∴BC＝AB＝8，
∵AD为角平分线，
∴BD＝CD，
∴CD＝4，
故答案为：4．
28．如图：△ABC是等边三角形，CD是∠ACB的平分线，过点D作BC的平行线交AC于点E，已知△ABC的边长为3，则EC的长为　 　．

【分析】由△ABC是等边三角形，CD是∠ACB的平分线，利用三线合一的性质，可得AD＝BD，又由DE∥BC，可得DE是△ABC的中位线，即可求得DE的长，易证得△DCE是等腰三角形，则可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，CD是∠ACB的平分线，
∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD，
∵DE∥BC，
∴DE＝BC＝×3＝1.5，∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴EC＝DE＝×3＝1.5．
故答案为1.5
29．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　 　．

【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝4，
∴DE＝．
故答案为：2．
【类型一：含30°的直角三角形】
30．已知Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝2BC，则∠A＝　 　．
【分析】根据直角三角形的性质得出即可．
【解答】解：
∵Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝2BC，
∴∠A＝30°，
故答案为：30°．
31．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，如果AB＝6，那么BC＝　 　．

【分析】由Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则可得AB＝2BC，即可求出BC的长；
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵AB＝6，
∴BC＝3．
故答案为：3．
32．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝12cm，则AB＝　 　cm．
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB，
∵AB+BC＝12cm，
∴AB＝8cm，
故答案为：8．
33．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．
【解答】解：作PH⊥MN于H，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝4，
故选：B．

知识点一：等边三角形的判定：
1. 定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。
2. 判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形。或有两个角是 60° 的三角
形是等边三角形。
3. 判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。

【类型一：等边三角形的判定】
34．下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可．
【解答】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意；
所以B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
35．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．

【分析】根据CE⊥AB于点D，且DE＝DC得出BC＝BE，根据角的关系得出∠ECB＝60°，即可证得△CEB为等边三角形．
【解答】证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC，
∴BC＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，
∴∠ECB＝60°，
∴△CEB为等边三角形．
36．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【解答】解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
37．如图，△ABC中，∠A＝60°，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D，PD＝DQ，证明：△ABC为等边三角形．

【分析】过P作PE∥BQ交AC于E，证明△EPD≌△CQD，根据全等三角形的性质得到PE＝CQ，根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理证明．
【解答】证明：过P作PE∥BQ交AC于E，
∴∠EPD＝∠Q，
在△EPD和△CQD中，
，
∴△EPD≌△CQD（ASA），
∴PE＝CQ，
∵PA＝CQ，
∴PE＝PA，
∴∠PEA＝∠A＝60°
∵PE∥BQ，
∴∠PEA＝∠ACB＝60°
∴∠A＝∠ACB＝∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
【类型二：等腰或等边三角形的判定与性质】
38．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．

【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBE＝∠CBE，再根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，从而得到结论；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ABC＝75°，再利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠DBC＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
39．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
40．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．

【分析】（1）证明△ACD≌△BCE即可得出答案；
（2）根据△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG，由∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上，得出∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
根据AC＝BC即可证明；
（3）由△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，根据∠ACG＝60°即可证明；
【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；















一、选择题（10题）
1．如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解．
【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；

②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；

③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，

1+1+2＝4，
故选：D．
2．如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（　　）
A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm
【分析】因为题中没有说明已知两边哪个是底，哪个是腰，所以要分情况进行讨论．
【解答】解：当三边是2cm，2cm，5cm时，不符合三角形的三边关系；
当三角形的三边是5cm，5cm，2cm时，符合三角形的三边关系，
此时周长是5+5+2＝12cm．
故选：D．
3．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．30°
【分析】先由AB∥CD，得∠C＝∠ABC＝30°，CD＝CE，得∠D＝∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，从而求出∠D．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．9
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG＝EB，DF＝DC即可求得结果．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4，
故选：B．
5．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【分析】首先根据+（2a+3b﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
6．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【分析】由已知条件根据等边三角形的性质、角平分线的性质求解．
【解答】解：如图，
∵等边三角形ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角的平分线，交于点I，
∴∠1＝∠2＝∠ACB＝30°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠1+∠2）＝120°．
故选：C．

7．在边长为1的等边三角形ABC中，作AM⊥AB交BC的延长线于点M，作AN平行于BM，CN垂直于AC，AN与CN相交于点N，则AN的长为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】根据等边三角形的性质和直角三角形的性质得出边的关系解答．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝1，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵AM⊥AB，
∴∠BAM＝90°，
∴BM＝2AB＝2，
∵AC⊥CN，
∴∠NCM＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∵AN∥BM，
∴∠N＝30°，
∴AN＝2AC＝2，
故选：D．
8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（　　）

A．1m B．2m C．3m D．4m
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，而D是AB中点，可知AB＝BD，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE＝AD：BD，从而有AE＝CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE＝BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
【解答】解：如右图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
∴AE：CE＝AD：BD，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，
∴DE＝2．
故选：B．
9．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　）

A．64 B．32 C．16 D．128
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝30°
∴A1B1＝OA1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△A7B7A8的边长为 26＝64，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确．
故选：C．
二、填空题（6题）
11．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC的大小为　 　．

【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
12．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝　 　cm．

【分析】先证明△ABC是等边三角形，再证明AD是BC的垂直平分线，即可得出BE＝BC＝4cm．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC＝AB＝8cm，
∵DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝BC＝4cm．
故答案为：4．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　．
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝45°，
∴∠A＝45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝135°．
故答案为45°或135°．
14．已知等边△ABC的两个顶点的坐标为A（0，4），B（0，﹣2），则点C的坐标为　 　．
【分析】作CH⊥AB于H，根据点A和B的坐标，得AB＝6．根据等腰三角形的三线合一的性质，得AH＝BH＝3，再根据勾股定理求得CH＝3，从而写出点C的坐标．
【解答】解：作CH⊥AB于H．
∵A（0，4），B（0，﹣2），
∴AB＝6．
∵△ABC是等边三角形，
∴AH＝BH＝3，
AC＝AB＝6，
∴CH＝＝3，
OH＝1，
∴C（3，1）；
同理，当点C在第三象限时，C（﹣3，1）．
故答案为：（3，1）或（﹣3，1）．

15．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 　 　．

【分析】过P作PE垂直与OB，由∠AOP＝∠BOP，PD垂直于OA，利用角平分线定理得到PE＝PD，由PC与OA平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP为角平分线得到一对角相等，等量代换可得∠COP＝∠CPO，又∠ECP为三角形COP的外角，利用三角形外角的性质求出∠ECP＝30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边PC的长求出PE的长，即为PD的长．
【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，

∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠POD，
又∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，
∴PE＝PC＝2，
则PD＝PE＝2．
故答案为：2．
16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是　 　．

【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PC＝PQ，从而得到△CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出AP＝BQ，所以③正确，根据③可推出DP＝EQ，再根据△DEQ的角度关系DE≠DP．
【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①小题正确；

∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在△ACP与△BCQ中，，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小题正确；
∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题（4题）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝45°时，求∠DEF的度数．

【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝45°可求出∠ABC＝∠ACB＝67.5°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣45°）＝67.5°
∴∠1+∠2＝112.5°
∴∠3+∠2＝112.5°
∴∠DEF＝67.5°
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，AM交BE于点G．
（1）求证：∠BAM＝∠C；
（2）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．

【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；
（2）由AD平分∠MAC，得到∠3＝∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD＝∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠C；
（2）BE垂直平分AD，
理由：
∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠BAM+∠3，
∠ADB＝∠C+∠4，
∠BAM＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．
19．已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．

【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．

（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
20．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．
（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为　 　，∠APB的大小为　 　（直接写出结果，不证明）

【分析】（1）①根据已知先证明∠AOC＝∠BOD，再由SAS证明△AOC≌△BOD，所以AC＝BD．
②由△AOC≌△BOD，可得∠OAC＝∠OBD，再结合图形，利用角的和差，可得∠APB＝60°．
（2）由（1）小题的证明可知，AC＝BD，∠APB＝α．
【解答】解：（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
②证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝60°；
（2）AC＝BD，∠APB＝α．