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【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第4课时-因式分解-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）
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这是一份【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第4课时-因式分解-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习），文件包含第4课时因式分解解析版docx、第4课时因式分解原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
第四课时——因式分解（答案卷）
知识点一：因式分解的概念：
把一个多项式写成几个整式的 积 的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 因式分解 ，也叫做把这个多项式 分解因式 。与整式的乘法互为逆运算。
特别提示：因式分解的三个条件：
①变形后的式子是乘积的形式。加减号必须在括号里面。
②每一个乘积的因式都必须是整式。
③必须分解完全。
【类型一：判断式子变形是不是因式分解】
1．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．ab﹣a2＝a（b﹣2a） B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．x+1＝x（1+） D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
B．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） D．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；
C、没把一个多项式转化成几个整式积，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积，故D正确；
故选：D．
3．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
【分析】因式分解就是要将一个多项式分解为几个整式积的形式．
【解答】解：根据因式分解的概念，A，C答案错误；
根据平方差公式：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2所以D错误；
B答案正确．
故选：B．
知识点一：提公因式分解因式：
1. 公因式的概念：
多项式中各项都有的 因式 叫做这个多项式的公因式。如多项式，各项
都有一个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。
2. 求公因式的方法：
公因式＝系数的 最大公约数 ×相同字母（式子）的 最低次幂 。
特别提示：当多项式的首项为负时。公因式也为负。
3. 每一项剩余部分的求法：
每一项的剩余部分＝多项式的每一项÷ 公因式 。
4. 提公因式分解因式：
一般地，如果多项式的各项都有 公因式 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式
写成 公因式 与另一个因式的 乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
【类型一：判断式子的公因式】
4．多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（ ）
A．a2b B．﹣4a2b2 C．4a2b D．﹣a2b
【分析】利用公因式的确定方法可得答案．
【解答】解：这三项系数的最大公约数是4，三项的字母部分都含有字母a、b，其中a的最低次数是2，b的最低次数是1，因此多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中各项的公因式是4a2b．
故选：C．
5．把10a2（x+y）2﹣5a（x+y）3因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．5a B．（x+y）2 C．5（x+y）2 D．5a（x+y）2
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【解答】解：10a2（x+y）2﹣5a（x+y）3因式分解时，公因式是5a（x+y）2
故选：D．
6．多项式3ma2+12mab的公因式是 ．
【分析】根据公因式的定义，即找出两式中公共的因式即可．
【解答】解：3ma2+12mab中，3与12的公因式是：3，ma2与mab的公因式是：ma，
∴多项式3ma2+12mab的公因式是：3ma，
故答案为：3ma．
7．多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是 ．
【分析】先找到多项式的项，再找到系数的公因数和字母部分的公因式，二者相乘即为多项式的公因式．
【解答】解：∵多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2有三项，
∴﹣3x2y3z，9x3y3z，﹣6x4yz2中系数的公因数是﹣3，
字母部分公因式为x2yz，
故答案为﹣3x2yz．
【类型二：利用公因式法分解因式】
8．把下列各式进行因式分解：
（1）x2+x y； （2）﹣4b2+2ab；
（3）3ax﹣12bx+3x； （4）6ab3﹣2a2b2+4a3b．
【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式﹣2b，进而分解因式得出答案；
（3）直接提取公因式3x，进而分解因式得出答案；
（4）直接提取公因式2ab，进而分解因式得出答案．
【解答】解：（1）x2+xy＝x（x+y）；
（2）﹣4b2+2ab＝﹣2b（2b﹣a）；
（3）3ax﹣12bx+3x
＝3x（a﹣4b+1）；
（4）6ab3﹣2a2b2+4a3b
＝2ab（3b2﹣ab+2a2）．
9．把下列多项式因式分解：
（1）x2﹣x y+x； （2）m2n﹣mn2+m n；
（3）9x3y3﹣21x3y2+12x2y2； （4）x2（x﹣y）+y2（x﹣y）．
【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式mn，进而分解因式得出答案；
（3）直接提取公因式3x2y2，进而分解因式得出答案；
（4）直接提取公因式（x﹣y），进而分解因式得出答案．
【解答】解：（1）x2﹣xy+x＝x（x﹣y+1）；
（2）m2n﹣mn2+mn＝mn（m﹣n+1）；
（3）9x3y3﹣21x3y2+12x2y2
＝3x2y2（3xy﹣7x+4）；
（4）x2（x﹣y）+y2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2+y2）．
知识点一：逆用平方差公式分解因式：
1. 因式分解的平方差公式内容：
两个数的平方差等于这两个数的 和 乘以这两个数的 差 。
即： 。
2. 可以用平方差公式分解的式子特点与结果：
①式子特点：多项式是 2 项，符号 相反 ，每一项的绝对值都可以写成 平方 的形式。
②结果：等于底数的 和 乘底数的 差 。底数的差时用正项底数减负项底数。
【类型一：判断多项式能否用平方差公式分解】
10．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2 B．3x2﹣4y C．﹣+ D．﹣﹣
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．
【解答】解：A、x2+4y2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、3x2﹣4y不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C、﹣+能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D、﹣﹣不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：C．
11．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．﹣（a2+b2） C．﹣b2+a2 D．﹣a2﹣b2
【分析】原式利用平方差公式判断即可．
【解答】解：能用平方差公式分解因式的是﹣b2+a2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
12．下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（ ）
A．﹣x2+y2 B．4a2﹣（a+b）2 C．a2﹣8b2 D．x2y2﹣1
【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可．
【解答】解：下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是a2﹣8b2，
故选：C．
【类型二：利用平方差公式分解因式】
13．把下列各式进行因式分解：
（1）x2﹣； （2）4m2﹣n2；
（3）25﹣4x2y2； （4）49x2﹣36y2
【分析】各式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+）（x﹣）；
（2）原式＝（2m+n）（2m﹣n）；
（3）原式＝（5+2xy）（5﹣2xy）；
（4）原式＝（7x+6y）（7x﹣6y）．
14．把下列各式因式分解：
（1）a2b2﹣m2； （2）（m﹣a）2﹣（n+b）2
（3）x2﹣（a+b﹣c）2 （4）﹣16x4+81y4
【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）a2b2﹣m2
＝（ab+m）（ab﹣m）；
（2）（m﹣a）2﹣（n+b）2
＝（m﹣a+n+b）（m﹣a﹣n﹣b）；
（3）x2﹣（a+b﹣c）2
＝（x+a+b+c）（x﹣a﹣b+c）；
（4）﹣16x4+81y4＝（9y2﹣4x2）（9y2+4x2）
＝（3y+2x）（3y﹣2x）（9y2+4x2）．
知识点一：逆用完全平方公式分解因式：
1. 因式分解的完全平方公式内容：
。
2. 可以用完全平方式分解的式子特点与结果：
①式子特点：多项式是 二次三项式 ，且其中两项的绝对值可以写成 平方 的形
式且这两项符号 相同 ，第三项是平方两项底数乘积的 2 倍。
②结果：等于 底数和 的平方（第三项与平方两项符号相同时）或 底数差 的平方（第三项与平方两项符号不同时）。
特别说明：若平方两项是负的，则需要在整体前面加负号。
【类型一：判断多项式能否用完全平方公式分解】
15．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣x y+y2 D．x2﹣x+
【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、4x2﹣1是两项，不能用完全平方公式，故此选项错误；
B、4x2+4x﹣1，不是两数平方和的形式，不符合完全平方公式，故此选项错误；
C、x2﹣xy+y2，不是x、y的积的2倍，不符合完全平方公式，故此选项错误；
D、x2﹣x+＝（x﹣）2，符合完全平方公式；故此选项正确．
故选：D．
16．下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+1 B．x2+2x+4 C．x2﹣2x+1 D．x2+x+1
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
故选：C．
17．下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②a2+ab+b2；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据完全平方公式进行判断．
【解答】解：在x2﹣2xy+y2；；﹣4ab﹣a2+4b2；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2中，能用完全平方公式分解的有：x2﹣2xy+y2；；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2．
故选：D．
【类型二：利用平方差公式分解因式】
18．把下列各式进行因式分解：
（1）a2+8a+16； （2）m2﹣m+
（3）25m2+30mm+9n2； （4）4x2﹣12xy+9y2．
【分析】各式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（a+4）2；
（2）原式＝（m﹣）2；
（3）原式＝（5m+3n）2；
（4）原式＝（2x﹣3y）2．
19．把下列各式因式分解：
（1）x2﹣12xy+36y2； （2）16a4+24a2b2+9b4；
（3）﹣2xy﹣x2﹣y2； （4）4﹣12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
【分析】（1）（2）（4）直接利用完全平方公式进行分解即可；
（3）首先提取公因子﹣1，再利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣6y）2；
（2）原式＝（4a2+3b2）2；
（3）原式＝﹣（x2+y2+2xy）＝﹣（x+y）2；
（4）原式＝[2﹣3（x﹣y）]2＝（2﹣3x+3y）2．
知识点一：十字相乘法分解二次三项式：
1. 对于一个二次三项式，若存在，，且，那么二次三项式可以分解为：
举例说明：
。∴
2. 对于初中所用的十字相乘法，二次项系数都是等于1的，即。若存在有
，且，则可分解为：
举例说明：
∵且
∴
【类型一：利用十字相乘法分解因式】
20．十字相乘法分解因式：
（1）x2+3x+2 （2）x2﹣3x+2 （3）x2+2x﹣3
（4）x2﹣2x﹣3 （5）x2+5x+6 （6）x2﹣5x﹣6
（7）x2+x﹣6 （8）x2﹣x﹣6 （9）x2﹣5x﹣36
（10）x2+3x﹣18
【分析】根据二次项系数、一次项系数和常数项的数量关系解答．
【解答】解：（1）x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
（2）x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）；
（3）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
（4）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；
（5）x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
（6）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）；
（7）x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；
（8）x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）；
（9）x2﹣5x﹣36＝（x﹣9）（x+4）；
（10）x2+3x﹣18＝（x+6）（x﹣3）；
知识点一：因式分解综合：
1. 因式分解具体步骤：
第一步：观察式子是否有公因式可提。若有公因式，则先用公因式进行因式分解。
第二步：观察式子项数：
①若式子是两项，则观察是否具有平方差公式的特点，若具有平方差公式的特点则用平方差公式分解，若不具有则不能分解。
②若式子是三项，则观察是否具有完全平方公式的特点，如果具有完全平方公式的特点则用完全平方公式分解。若不具有完全平方公式的特点则观察是否可用十字相乘法分解，若能则用十字相乘法分解，若不能用十字相乘法分解则多项式不能分解。
注意：在进行因式分解时一定要分解完全。即分解到不能再用任何方法分解为止。
2. 分组分解法：
分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分
组后能出现 公因式 ，二是分组后能应用 公式 。
举例说明：
①
②
3. 实数范围内分解因式：
一些式子在有理数范围内无法分解，但是可以分解到实数范围，用无理数表示。
【类型一：因式分解】
21．把下列各式进行因式分解：
（1）a3﹣6a2+5a； （2）（x2+x）2﹣（x+1）2； （3）4x2﹣16xy+16y2．
【分析】（1）原式提取a，再利用十字相乘法分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣6a+5）＝a（a﹣1）（a﹣5）；
（2）原式＝（x2+x+x+1）（x2+x﹣x﹣1）＝（x+1）2（x+1）（x﹣1）；
（3）原式＝4（x2﹣4xy+4y2）＝4（x﹣2y）2．
22．因式分解：
（1）x2﹣x﹣6； （2）﹣3ma2+12ma﹣12m．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式；
（2）先提公因式，再利用十字相乘法分解因式．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣3）（x+2）；
（2）原式＝﹣3m（a2﹣4a+4）
＝﹣3m（a﹣2）2．
【类型二：分组因式分解】
23．教你一招：把a2+2ab+b2﹣c2因式分解．
解：原式＝（a2+2ab+b2）﹣c2
＝（a+b）2﹣c2
＝（a+b+c）（a+b﹣c）
请你仔细阅读上述解法后，把下列多项式因式分解：
①x2+4xy+4y2﹣a2； ②1﹣a2+2ab﹣b2； ③a2﹣2ab+b2﹣m2﹣6mn﹣9n2．
【分析】①首先将原式进行分组得到原式＝（x+2y） 2﹣a2，再利用公式法分解因式即可．
②首先将原式进行分组得到原式＝1﹣（a﹣b） 2，再利用公式法分解因式即可．
③首先将原式进行分组得到原式＝（a﹣b）2﹣（m+3n）2，再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：①x2+4xy+4y2﹣a2，
＝（x+2y） 2﹣a2，
＝（x+2y﹣a）（x+2y+a）；
②1﹣a2+2ab﹣b2；
＝1﹣（a﹣b） 2，
＝（1﹣a+b）（1+a﹣b）；
③a2﹣2ab+b2﹣m2﹣6mn﹣9n2，
＝（a﹣b）2﹣（m+3n）2，
＝（a﹣b﹣m﹣3n）（a﹣b+m+3n）．
24．先阅读下列材料，然后回答后面问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
ax+ay+bx+by
＝（ax+ay）+（bx+by）
＝a（x+y）+b（x+y）
＝（x+y）（a+b）
如“3+1”分法：
2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；
（2）分解因式：45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2；
（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1．
【分析】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；
（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；
（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：（1）x2﹣y2﹣x﹣y
＝（x+y）（x﹣y）﹣（x+y）
＝（x+y）（x﹣y﹣1）；
（2）45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2
＝45am2﹣5a（4x2﹣4xy+y2）
＝5a[9m2﹣（2x﹣y）2]
＝5a（3m﹣2x+y）（3m+2x﹣y）；
（3）4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1
＝（4a2+4a+1）﹣b（4a2+4a+1）
＝（2a+1）2（1﹣b）．
25．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
【类型三：在实数范围内分解因式】
26．在实数范围内分解下列因式：
（1）y4﹣6y2+5； （2）x2﹣11；
（3）a2﹣2a+3； （4）5x2﹣2．
【分析】（1）原式先利用十字相乘法分解后，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式利用完全平方公式分解即可；
（4）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（y2﹣1）（y2﹣5）
＝（y+1）（y﹣1）（y+）（y﹣）；
（2）原式＝x2﹣（）2
＝（x+）（x﹣）；
（3）原式＝（a﹣）2；
（4）原式＝（x+）（x﹣）．
【类型四：因式分解的应用】
27．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，定．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱定西 B．爱定西 C．我爱学 D．定西数学
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对这个多项式进行因式分解，从而得到呈现的密码信息．
【解答】解：2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）
＝2（a2﹣1）（x﹣y）
＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y）
＝2（x﹣y）（a+1）（a﹣1），
结果呈现的密码信息可能是：我爱定西，
故选：A．
28．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，a2+b2≠c2，是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】先等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得a2＝b2或c2＝（a2+b2），由a2+b2≠c2，可得a＝b，进而判定三角形的形状．
【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），
∴c2（a2﹣b2）﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0，
∴（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，
∴a2﹣b2＝0或c2﹣（a2+b2）＝0，
∴a2＝b2或c2＝（a2+b2），
∵a2+b2≠c2，
∴a2＝b2，
∴a＝b（舍去负值），
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
29．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣b c﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；
（1）请你检验说明这个等式的正确性．
（2）若a＝2011，b＝2012，c＝2013，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
（3）若a﹣b＝，b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）等式右边中括号中利用完全平方公式展开，合并后去括号得到结果，与左边比较即可得证；
（2）根据（1）中的结论，将a，b，c的值代入右边计算即可求出值；
（3）由题意求出a﹣c的值，所求式子利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）等式右边＝（a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2）＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝左边，得证；
（2）当a＝2011，b＝2012，c＝2013时，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝3；
（3）∵a﹣b＝，b﹣c＝，∴a﹣c＝，
∵a2+b2+c2＝1，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝1﹣（++）＝﹣．
30．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；
（3）先因式分解已知等式，找到a，b，c之间的关系即可．
【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝x2+2x+1﹣1﹣8
＝（x+1）2﹣9
＝（x+1﹣3）（x+1+3）
＝（x﹣2）（x+4）；
（2），
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2﹣7≥﹣7，
∴多项式x2+4x﹣3的最小值为﹣7；
（3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25﹣9﹣16﹣25+50＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12．
第四课时——因式分解（答案卷）
知识点一：因式分解的概念：
把一个多项式写成几个整式的 积 的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 因式分解 ，也叫做把这个多项式 分解因式 。与整式的乘法互为逆运算。
特别提示：因式分解的三个条件：
①变形后的式子是乘积的形式。加减号必须在括号里面。
②每一个乘积的因式都必须是整式。
③必须分解完全。
【类型一：判断式子变形是不是因式分解】
1．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．ab﹣a2＝a（b﹣2a） B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．x+1＝x（1+） D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
B．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） D．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；
C、没把一个多项式转化成几个整式积，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积，故D正确；
故选：D．
3．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
【分析】因式分解就是要将一个多项式分解为几个整式积的形式．
【解答】解：根据因式分解的概念，A，C答案错误；
根据平方差公式：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2所以D错误；
B答案正确．
故选：B．
知识点一：提公因式分解因式：
1. 公因式的概念：
多项式中各项都有的 因式 叫做这个多项式的公因式。如多项式，各项
都有一个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。
2. 求公因式的方法：
公因式＝系数的 最大公约数 ×相同字母（式子）的 最低次幂 。
特别提示：当多项式的首项为负时。公因式也为负。
3. 每一项剩余部分的求法：
每一项的剩余部分＝多项式的每一项÷ 公因式 。
4. 提公因式分解因式：
一般地，如果多项式的各项都有 公因式 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式
写成 公因式 与另一个因式的 乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
【类型一：判断式子的公因式】
4．多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（ ）
A．a2b B．﹣4a2b2 C．4a2b D．﹣a2b
【分析】利用公因式的确定方法可得答案．
【解答】解：这三项系数的最大公约数是4，三项的字母部分都含有字母a、b，其中a的最低次数是2，b的最低次数是1，因此多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中各项的公因式是4a2b．
故选：C．
5．把10a2（x+y）2﹣5a（x+y）3因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．5a B．（x+y）2 C．5（x+y）2 D．5a（x+y）2
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【解答】解：10a2（x+y）2﹣5a（x+y）3因式分解时，公因式是5a（x+y）2
故选：D．
6．多项式3ma2+12mab的公因式是 ．
【分析】根据公因式的定义，即找出两式中公共的因式即可．
【解答】解：3ma2+12mab中，3与12的公因式是：3，ma2与mab的公因式是：ma，
∴多项式3ma2+12mab的公因式是：3ma，
故答案为：3ma．
7．多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是 ．
【分析】先找到多项式的项，再找到系数的公因数和字母部分的公因式，二者相乘即为多项式的公因式．
【解答】解：∵多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2有三项，
∴﹣3x2y3z，9x3y3z，﹣6x4yz2中系数的公因数是﹣3，
字母部分公因式为x2yz，
故答案为﹣3x2yz．
【类型二：利用公因式法分解因式】
8．把下列各式进行因式分解：
（1）x2+x y； （2）﹣4b2+2ab；
（3）3ax﹣12bx+3x； （4）6ab3﹣2a2b2+4a3b．
【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式﹣2b，进而分解因式得出答案；
（3）直接提取公因式3x，进而分解因式得出答案；
（4）直接提取公因式2ab，进而分解因式得出答案．
【解答】解：（1）x2+xy＝x（x+y）；
（2）﹣4b2+2ab＝﹣2b（2b﹣a）；
（3）3ax﹣12bx+3x
＝3x（a﹣4b+1）；
（4）6ab3﹣2a2b2+4a3b
＝2ab（3b2﹣ab+2a2）．
9．把下列多项式因式分解：
（1）x2﹣x y+x； （2）m2n﹣mn2+m n；
（3）9x3y3﹣21x3y2+12x2y2； （4）x2（x﹣y）+y2（x﹣y）．
【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式mn，进而分解因式得出答案；
（3）直接提取公因式3x2y2，进而分解因式得出答案；
（4）直接提取公因式（x﹣y），进而分解因式得出答案．
【解答】解：（1）x2﹣xy+x＝x（x﹣y+1）；
（2）m2n﹣mn2+mn＝mn（m﹣n+1）；
（3）9x3y3﹣21x3y2+12x2y2
＝3x2y2（3xy﹣7x+4）；
（4）x2（x﹣y）+y2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2+y2）．
知识点一：逆用平方差公式分解因式：
1. 因式分解的平方差公式内容：
两个数的平方差等于这两个数的 和 乘以这两个数的 差 。
即： 。
2. 可以用平方差公式分解的式子特点与结果：
①式子特点：多项式是 2 项，符号 相反 ，每一项的绝对值都可以写成 平方 的形式。
②结果：等于底数的 和 乘底数的 差 。底数的差时用正项底数减负项底数。
【类型一：判断多项式能否用平方差公式分解】
10．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2 B．3x2﹣4y C．﹣+ D．﹣﹣
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．
【解答】解：A、x2+4y2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、3x2﹣4y不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C、﹣+能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D、﹣﹣不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：C．
11．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．﹣（a2+b2） C．﹣b2+a2 D．﹣a2﹣b2
【分析】原式利用平方差公式判断即可．
【解答】解：能用平方差公式分解因式的是﹣b2+a2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
12．下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（ ）
A．﹣x2+y2 B．4a2﹣（a+b）2 C．a2﹣8b2 D．x2y2﹣1
【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可．
【解答】解：下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是a2﹣8b2，
故选：C．
【类型二：利用平方差公式分解因式】
13．把下列各式进行因式分解：
（1）x2﹣； （2）4m2﹣n2；
（3）25﹣4x2y2； （4）49x2﹣36y2
【分析】各式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+）（x﹣）；
（2）原式＝（2m+n）（2m﹣n）；
（3）原式＝（5+2xy）（5﹣2xy）；
（4）原式＝（7x+6y）（7x﹣6y）．
14．把下列各式因式分解：
（1）a2b2﹣m2； （2）（m﹣a）2﹣（n+b）2
（3）x2﹣（a+b﹣c）2 （4）﹣16x4+81y4
【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）a2b2﹣m2
＝（ab+m）（ab﹣m）；
（2）（m﹣a）2﹣（n+b）2
＝（m﹣a+n+b）（m﹣a﹣n﹣b）；
（3）x2﹣（a+b﹣c）2
＝（x+a+b+c）（x﹣a﹣b+c）；
（4）﹣16x4+81y4＝（9y2﹣4x2）（9y2+4x2）
＝（3y+2x）（3y﹣2x）（9y2+4x2）．
知识点一：逆用完全平方公式分解因式：
1. 因式分解的完全平方公式内容：
。
2. 可以用完全平方式分解的式子特点与结果：
①式子特点：多项式是 二次三项式 ，且其中两项的绝对值可以写成 平方 的形
式且这两项符号 相同 ，第三项是平方两项底数乘积的 2 倍。
②结果：等于 底数和 的平方（第三项与平方两项符号相同时）或 底数差 的平方（第三项与平方两项符号不同时）。
特别说明：若平方两项是负的，则需要在整体前面加负号。
【类型一：判断多项式能否用完全平方公式分解】
15．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣x y+y2 D．x2﹣x+
【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、4x2﹣1是两项，不能用完全平方公式，故此选项错误；
B、4x2+4x﹣1，不是两数平方和的形式，不符合完全平方公式，故此选项错误；
C、x2﹣xy+y2，不是x、y的积的2倍，不符合完全平方公式，故此选项错误；
D、x2﹣x+＝（x﹣）2，符合完全平方公式；故此选项正确．
故选：D．
16．下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+1 B．x2+2x+4 C．x2﹣2x+1 D．x2+x+1
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
故选：C．
17．下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②a2+ab+b2；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据完全平方公式进行判断．
【解答】解：在x2﹣2xy+y2；；﹣4ab﹣a2+4b2；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2中，能用完全平方公式分解的有：x2﹣2xy+y2；；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2．
故选：D．
【类型二：利用平方差公式分解因式】
18．把下列各式进行因式分解：
（1）a2+8a+16； （2）m2﹣m+
（3）25m2+30mm+9n2； （4）4x2﹣12xy+9y2．
【分析】各式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（a+4）2；
（2）原式＝（m﹣）2；
（3）原式＝（5m+3n）2；
（4）原式＝（2x﹣3y）2．
19．把下列各式因式分解：
（1）x2﹣12xy+36y2； （2）16a4+24a2b2+9b4；
（3）﹣2xy﹣x2﹣y2； （4）4﹣12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
【分析】（1）（2）（4）直接利用完全平方公式进行分解即可；
（3）首先提取公因子﹣1，再利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣6y）2；
（2）原式＝（4a2+3b2）2；
（3）原式＝﹣（x2+y2+2xy）＝﹣（x+y）2；
（4）原式＝[2﹣3（x﹣y）]2＝（2﹣3x+3y）2．
知识点一：十字相乘法分解二次三项式：
1. 对于一个二次三项式，若存在，，且，那么二次三项式可以分解为：
举例说明：
。∴
2. 对于初中所用的十字相乘法，二次项系数都是等于1的，即。若存在有
，且，则可分解为：
举例说明：
∵且
∴
【类型一：利用十字相乘法分解因式】
20．十字相乘法分解因式：
（1）x2+3x+2 （2）x2﹣3x+2 （3）x2+2x﹣3
（4）x2﹣2x﹣3 （5）x2+5x+6 （6）x2﹣5x﹣6
（7）x2+x﹣6 （8）x2﹣x﹣6 （9）x2﹣5x﹣36
（10）x2+3x﹣18
【分析】根据二次项系数、一次项系数和常数项的数量关系解答．
【解答】解：（1）x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
（2）x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）；
（3）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
（4）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；
（5）x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
（6）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）；
（7）x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；
（8）x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）；
（9）x2﹣5x﹣36＝（x﹣9）（x+4）；
（10）x2+3x﹣18＝（x+6）（x﹣3）；
知识点一：因式分解综合：
1. 因式分解具体步骤：
第一步：观察式子是否有公因式可提。若有公因式，则先用公因式进行因式分解。
第二步：观察式子项数：
①若式子是两项，则观察是否具有平方差公式的特点，若具有平方差公式的特点则用平方差公式分解，若不具有则不能分解。
②若式子是三项，则观察是否具有完全平方公式的特点，如果具有完全平方公式的特点则用完全平方公式分解。若不具有完全平方公式的特点则观察是否可用十字相乘法分解，若能则用十字相乘法分解，若不能用十字相乘法分解则多项式不能分解。
注意：在进行因式分解时一定要分解完全。即分解到不能再用任何方法分解为止。
2. 分组分解法：
分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分
组后能出现 公因式 ，二是分组后能应用 公式 。
举例说明：
①
②
3. 实数范围内分解因式：
一些式子在有理数范围内无法分解，但是可以分解到实数范围，用无理数表示。
【类型一：因式分解】
21．把下列各式进行因式分解：
（1）a3﹣6a2+5a； （2）（x2+x）2﹣（x+1）2； （3）4x2﹣16xy+16y2．
【分析】（1）原式提取a，再利用十字相乘法分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣6a+5）＝a（a﹣1）（a﹣5）；
（2）原式＝（x2+x+x+1）（x2+x﹣x﹣1）＝（x+1）2（x+1）（x﹣1）；
（3）原式＝4（x2﹣4xy+4y2）＝4（x﹣2y）2．
22．因式分解：
（1）x2﹣x﹣6； （2）﹣3ma2+12ma﹣12m．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式；
（2）先提公因式，再利用十字相乘法分解因式．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣3）（x+2）；
（2）原式＝﹣3m（a2﹣4a+4）
＝﹣3m（a﹣2）2．
【类型二：分组因式分解】
23．教你一招：把a2+2ab+b2﹣c2因式分解．
解：原式＝（a2+2ab+b2）﹣c2
＝（a+b）2﹣c2
＝（a+b+c）（a+b﹣c）
请你仔细阅读上述解法后，把下列多项式因式分解：
①x2+4xy+4y2﹣a2； ②1﹣a2+2ab﹣b2； ③a2﹣2ab+b2﹣m2﹣6mn﹣9n2．
【分析】①首先将原式进行分组得到原式＝（x+2y） 2﹣a2，再利用公式法分解因式即可．
②首先将原式进行分组得到原式＝1﹣（a﹣b） 2，再利用公式法分解因式即可．
③首先将原式进行分组得到原式＝（a﹣b）2﹣（m+3n）2，再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：①x2+4xy+4y2﹣a2，
＝（x+2y） 2﹣a2，
＝（x+2y﹣a）（x+2y+a）；
②1﹣a2+2ab﹣b2；
＝1﹣（a﹣b） 2，
＝（1﹣a+b）（1+a﹣b）；
③a2﹣2ab+b2﹣m2﹣6mn﹣9n2，
＝（a﹣b）2﹣（m+3n）2，
＝（a﹣b﹣m﹣3n）（a﹣b+m+3n）．
24．先阅读下列材料，然后回答后面问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
ax+ay+bx+by
＝（ax+ay）+（bx+by）
＝a（x+y）+b（x+y）
＝（x+y）（a+b）
如“3+1”分法：
2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；
（2）分解因式：45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2；
（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1．
【分析】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；
（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；
（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：（1）x2﹣y2﹣x﹣y
＝（x+y）（x﹣y）﹣（x+y）
＝（x+y）（x﹣y﹣1）；
（2）45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2
＝45am2﹣5a（4x2﹣4xy+y2）
＝5a[9m2﹣（2x﹣y）2]
＝5a（3m﹣2x+y）（3m+2x﹣y）；
（3）4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1
＝（4a2+4a+1）﹣b（4a2+4a+1）
＝（2a+1）2（1﹣b）．
25．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
【类型三：在实数范围内分解因式】
26．在实数范围内分解下列因式：
（1）y4﹣6y2+5； （2）x2﹣11；
（3）a2﹣2a+3； （4）5x2﹣2．
【分析】（1）原式先利用十字相乘法分解后，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式利用完全平方公式分解即可；
（4）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（y2﹣1）（y2﹣5）
＝（y+1）（y﹣1）（y+）（y﹣）；
（2）原式＝x2﹣（）2
＝（x+）（x﹣）；
（3）原式＝（a﹣）2；
（4）原式＝（x+）（x﹣）．
【类型四：因式分解的应用】
27．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，定．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱定西 B．爱定西 C．我爱学 D．定西数学
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对这个多项式进行因式分解，从而得到呈现的密码信息．
【解答】解：2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）
＝2（a2﹣1）（x﹣y）
＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y）
＝2（x﹣y）（a+1）（a﹣1），
结果呈现的密码信息可能是：我爱定西，
故选：A．
28．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，a2+b2≠c2，是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】先等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得a2＝b2或c2＝（a2+b2），由a2+b2≠c2，可得a＝b，进而判定三角形的形状．
【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），
∴c2（a2﹣b2）﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0，
∴（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，
∴a2﹣b2＝0或c2﹣（a2+b2）＝0，
∴a2＝b2或c2＝（a2+b2），
∵a2+b2≠c2，
∴a2＝b2，
∴a＝b（舍去负值），
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
29．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣b c﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；
（1）请你检验说明这个等式的正确性．
（2）若a＝2011，b＝2012，c＝2013，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
（3）若a﹣b＝，b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）等式右边中括号中利用完全平方公式展开，合并后去括号得到结果，与左边比较即可得证；
（2）根据（1）中的结论，将a，b，c的值代入右边计算即可求出值；
（3）由题意求出a﹣c的值，所求式子利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）等式右边＝（a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2）＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝左边，得证；
（2）当a＝2011，b＝2012，c＝2013时，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝3；
（3）∵a﹣b＝，b﹣c＝，∴a﹣c＝，
∵a2+b2+c2＝1，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝1﹣（++）＝﹣．
30．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；
（3）先因式分解已知等式，找到a，b，c之间的关系即可．
【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝x2+2x+1﹣1﹣8
＝（x+1）2﹣9
＝（x+1﹣3）（x+1+3）
＝（x﹣2）（x+4）；
（2），
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2﹣7≥﹣7，
∴多项式x2+4x﹣3的最小值为﹣7；
（3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25﹣9﹣16﹣25+50＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12．
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