【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第1课时-与三角形有关的线段-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

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第一课时——与三角形有关的线段（答案卷）

知识点一：三角形及其相关概念
1. 三角形的概念：
如图：由不在 同一直线 上的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角形。用符号“△”表示。即可表示为△ABC。
2. 三角形的要素与关系：
（1） 三角形的边：组成三角形的 线段 叫做三角形的边。
（2） 三角形的角：三角形的两条边组成三角形的内角，简称三角
形的角。
（3） 三角形的顶点：三角形两边的 公共点 是三角形的顶点。
（4） 邻边与邻角、对边与对角：
①邻边与邻角：AB与BC构成∠B，则AB与BC是∠B的邻边。∠B是AB和BC的邻角。
同理：AB与AC是 ∠A 的邻边。∠A是 AB 和 AC 的邻角。
AC与BC是 ∠C 的邻边。∠C是 AC 和 BC 的邻角。
②对边与对角：不参与构成的角的边是角的对边。
∠A的对边是 BC 。BC的对角是 ∠A 。
∠B的对边是 AC 。AC的对角是 ∠B 。
∠C的对边是 AB 。AB的对角是 ∠C 。
特别提示：在三角形中角越大，它的对边越长。反之边越长，对角越大。

【类型一：三角形的数量判断】
1．如图，图中有 　 　个三角形，∠B的对边是 　 　．

【分析】根据三角形的定义以及三角形的内角的对边的定义解决此题．
【解答】解：由图可知：三角形有△ABD、△ABC、△ADC，共3个，∠B的对边是AD、AC．
故答案为：3，AD、AC．
2．如图，以AB为边的三角形的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形．
【解答】解：△ABC、△ABE、△ABF、△ABD四个三角形是以AB为边的三角形，
故选：D．
3．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有　 　对．

【分析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
【解答】解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故答案为：3．

知识点二：三角形的分类
1. 按边是否相等分类： 2. 按内角大小分类：



特别提示：等腰三角形相等的两边叫做三角形的腰，另一边叫做三角形的底。


【类型一：三角形分类的熟悉】
4．下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（　　）

A．甲、乙两种分法均正确
B．甲分法正确，乙分法错误
C．甲分法错误，乙分法正确
D．甲、乙两种分法均错误
【分析】给出知识树，分析其中的错误，这就要求平时学习扎实认真，概念掌握的准确．
【解答】解：甲正确的分类应该为等边三角形在等腰三角形中，乙分法正确；
故选：C．
5．如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（　　）

A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案．
【解答】解：三角形根据边分类如下：
三角形；
故选：B．
【类型二：三角形形状的判断】
6．下列图形中，是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的内角和定理和直角三角形的判定解答即可．
【解答】解：A、第三个角的度数是180°﹣60°﹣60°＝60°，是等边三角形，不符合题意；
B、第三个角的度数是180°﹣55.5°﹣34.5°＝90°，是直角三角形，符合题意；
C、第三个角的度数是180°﹣30°﹣30°＝120°，是钝角三角形，不符合题意；
D、第三个角的度数是180°﹣40°﹣62.5°＝77.5°，不是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
7．如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【解答】解：观察图形知，这个三角形可能是锐角三角形；
故选：B．

8．如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（　　）

A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从题中可知，只看到一个角是钝角．
所以这个三角形为钝角三角形．
故选：B．
知识点三：三角形的三边关系：
1. 内容：三角形中，任意两边之和 大于 第三边，任意两边之差 小于 第三边。
2. 符号语言：如图，△ABC中，有：

通过移项即可证明任意两边之差小于第三边。
特别提示：考题中常用两边之差＜第三边＜两边之和解题。

【类型一：判断三边能否构成三角形】
9．下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，7 C．5，7，12 D．6，8，10
【分析】直接利用三角形的三边关系求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A．∵3+3＞5，
∴能是一个三角形的边长，故此选项不合题意；
B．∵5+7＞7，
∴能是一个三角形的边长，故此选项不合题意不能是一个三角形的边长；
C．∵5+7＝12，
∴不能是一个三角形的边长，故此选项符合题意；
D．∵6+8＞10，
∴能是一个三角形的边长，故此选项不合题意．
故选：C．
10．下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　）
A．4cm，6cm，10cm B．2cm，5cm，8cm
C．3cm，4cm，5cm D．5cm，7cm，13cm
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：A、4+6＝10，不能组成三角形，不符合题意；
B、5+2＝7＜8，不能够组成三角形，不符合题意；
C、3+4＞5，能够组成三角形，符合题意；
D、5+7＜13，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【类型二：根据三边关系求值或求取值范围】
11．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，a的值可能是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】首先根据三角形的三边关系确定a的取值范围，然后得到a值．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，
∴1＜a＜5，
∴B符合，
故选：B．
12．已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（　　）
A．8 B．7 C．5 D．6
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，求出x的取值范围，进而得到x的最大值．
【解答】解：∵4﹣3＝1，4+3＝7，
∴1＜x＜7，
∵x为整数，
∴x的最大值为6．
故选：D．

13．四根长度分别为2cm、3cm、5cm、7cm的木条，以其中三根的长为边长钉成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（　　）
A．10cm B．15cm C．14cm D．12cm
【分析】根据三角形的三边关系确定三角形的三边长，计算即可．
【解答】解：∵2+3＝5，2+3＜7，2+5＝7，
∴2cm，3cm，5cm和2cm，3cm，7cm以及2cm，5cm，7cm都不能组成三角形，
而3cm，5cm，7cm可以组成三角形，组成为15cm，
故选：B．
14．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜a＜5+2，
即3＜a＜7，
∵a为整数，
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为6+2+5＝13．
故选：D．
15．三角形三边为3，5，x，则x的范围是 　 　．
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”列出不等式，进行求解即可．
【解答】解：∵三角形三边为3，5，x，
∴5﹣3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8，
故答案为：2＜x＜8．
16．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C为钝角，则AB的长的取值范围是 　 　．
【分析】由三角形的性质可得BC﹣AC＜AB＜AC+BC，将AC、BC的值代入该不等式求出AB的取值范围．
【解答】解：由三角形的性质得：
BC﹣AC＜AB＜AC+BC（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），
即：4﹣3＜AB＜4+3，1＜AB＜7．
∵∠C为钝角，
∴AB边最长，
∴5＜AB＜7，
故答案为：5＜AB＜7．
17．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣6|+（b﹣2）2＝0，c为偶数，则c＝　 　．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据△ABC的周长为偶数求出c的值．
【解答】解：∵|a﹣6|+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣2＝0，
解得a＝6，b＝2，
根据三角形的三边关系，得6﹣2＜c＜6+2，即：4＜c＜8，
又∵c为偶数，
∴c＝6．
故答案是：6．
【类型三：根据三边关系化简】
18．已知三角形的三边长为4、x、11，化简|x﹣5|+|x﹣16|＝　 ．
【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣16的值，然后去绝对值符号求解即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是4、x、11，
∴7＜x＜15，
∴x﹣5＞0，x﹣16＜0，
∴|x﹣5|+|x﹣13|＝x﹣5+16﹣x＝11，
故答案为：11．
19．△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b+c|+|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为 　 　．
【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+c＞b，b+c＞a，a+c＞b，再去掉绝对值符号后合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，
∴|a﹣b+c|+|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|
＝（a﹣b+c）﹣（a﹣c﹣b）+（b﹣c﹣a）
＝a﹣b+c﹣a+c+b+b﹣c﹣a
＝b+c﹣a．
故答案为：b+c﹣a．
20．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|．
【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a，
∴5﹣3＜a＜3+5，
解得：2＜a＜8，
故|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|．
＝a﹣2﹣（a﹣1）+8﹣a
＝7﹣a．

知识点四：三角形的高、中线、角平分线：
1. 高线：
（1）定义如图，从三角形的一个顶点作它对边所在直线的 垂线 ，
顶点和垂足之间的 线段 叫做三角形这条边上的高线。
BD是△ABC的高BD ⊥ AC

（2） 三角形高线的画法：如下图





图① 图② 图③
（3） 垂心：
由（2）中图可知，三角形都有 3 条高，且三条高都交于同一点。这个交点
叫做三角形的 垂心 。
由图①可知，锐角三角形的三条高与垂心均在三角形 内 。
由图②可知，直角三角形有两条高是直角三角形的边，垂心在三角形 上 。
由图③可知，钝角三角形有两条高在三角形外，垂心也在三角形 外 。
特别提示：可以通过高线与垂心所在位置判断三角形的形状。

【类型一：高线的理解】
21．如图，AC⊥BC，DE⊥BC，下列说法正确的是（　　）

A．DE是△ABE的高 B．AC是△ABE的高
C．BE是△ABE的高 D．BC是△ABE的高
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、DE不是△ABE的高，本选项说法错误，不符合题意；
B、AC是△ABE的高，本选项说法正确，符合题意；
C、BE不是△ABE的高，本选项说法错误，不符合题意；
D、BC不是△ABE的高，本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，图中线段中可以作为△ABC的高有（　　）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：△ABC的高有AC、BC、CD共三条，
故选：B．
23．数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、BE是△ABC中AC边上的高，符合题意；
B、BE不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
C、BE不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
D、AE是△EAC中AC边上的高，不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
故选：A．
24．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（　　）
A．AC是△ABC的高 B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高 D．AD是△ACD的高
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
【解答】解：观察图象可知：BC是△ABC的高，AC是△ABE的高，AD是△ACD的高，DE是△BCD、△BDE、△CDE的高
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．

【类型二：利用高线与垂心所在位置判断三角形形状】
25．有两条高在三角形外部的三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高．发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．
【解答】解：有两条高在三角形外部的是钝角三角形．
故选：C．
26．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【分析】根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
D、能确定C正确，故错误．
故选：C．
【类型三：等面积法求线段长度】
27．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是　 　．

【分析】根据点到直线的距离的概念解答即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，AD＝1.8，
∴点A到BD的距离为1.8，
故答案为：1.8．
28．如图，在△ABC中，△ABD的面积与△ACD的面积相等，，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝　 　．

【分析】由题意可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD＝DC，
∴S△ABD＝S△ADC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，
∴•AB•ED＝•AC•DF，
∴×3×ED＝×4×1.5，
∴ED＝2，
故答案为：2．

2. 中线：
（1） 定义：如图，连接三角形的一个顶点与它所对的边的 中点
得到的 线段 叫做三角形的中线。
AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM ＝ CM＝ BC
（2） 中线的性质：
①中线平分三角形的 面积 。即：
②中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即：
（3） 重心：
三角形的三条中线都在三角形的内部，且他们交于同一点，这个点叫做三角形的重心。

【类型一：中线的理解】
29．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（　　）

A．BC＝2AD B．AB＝2AF C．AD＝CD D．BE＝CF
【分析】根据三角形的中线的定义判断即可．
【解答】解：∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，
∴AC＝2AE＝2EC，AB＝2BF＝2AF，BC＝2BD＝2DC，
故A、C、D都不正确；B正确．
故选：B．
30．如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（　　）

A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
【分析】根据三角形的中线的概念解答即可．
【解答】解：∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm，
∴BM＝AB＝5cm，
故选：C．
31．如图，CM是△ABC的中线，AM＝4cm，则BM的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据三角形中线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵CM是△ABC的中线，AM＝4cm，
∴BM＝AM＝4cm，
故选：B．
【类型二：中线与面积的计算】
32．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
33．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
∴S△ABD＝S△ABC＝4，
∵E是AB的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2，
故选：A．
34．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为　 　cm2．

【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
【类型三：中线与周长的计算】
35．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（　　）

A．16 B．18 C．20 D．22
【分析】根据线段中点的概念得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周长为20，
∴AC+AD+CD＝20，
∵AC＝8，
∴AD+CD＝AD+BD＝12，
∵AB＝10，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝22，
故选：D．
36．如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是（　　）

A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定
【分析】根据三角形的中线的概念得到AD＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵CD是AB边上的中线，
∴AD＝DB，
∴△ACD的周长﹣△BCD的周长＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm），
故选：B．
37．如图，AD是△ABC的中线．若△ABD的周长比△ACD的周长长6cm，则AB﹣AC＝　 　cm．

【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC．
∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB﹣AC＝6cm．
故答案为：6．

3. 角平分线：
（1） 定义：如图。三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶
点和交点之间的 线段 是三角形的角平分线。
AD是三角形的角平分线∠1 ＝ ∠2。
特别提示：三角形的角平分线是线段，角的角平分线是射线。
（2）内心：三角形的三角角平分线交于一点，这一点叫做三角形的 内心 。

【类型一：角平分线认识理解】
38．如图，AD是△ABC的角平分线，则（　　）

A．∠1＝∠BAC B．∠1＝∠ABC C．∠1＝∠BAC D．∠1＝∠ABC
【分析】根据角平分线的定义即可判断．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠BAC，
故选：A．
39．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4．则下列说法中，正确的是（　　）

A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△ABC的中线
【分析】利用已知条件可得∠BAE＝∠CAE，然后可得AE是△ABC的角平分线．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线，
故选：B．
【类型二：角平分线有关的计算】
40．如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．
（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．
（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．

【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；
（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形BGDE是平行四边形，求得∠EBD＝∠EDB，推出四边形BGDE是菱形，根据菱形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝130°，
∴∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，
又∵AD⊥BD，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°；
（2）DO是△DEG的角平分线，
理由：∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠GBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBG，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵DG∥AB
∴∠EBD＝∠BDG
∴∠BDG＝∠EDB
∴BD平分∠EDG，
∴DO是△DEG的角平分线．

知识点五：三角形的稳定性
如图三角形的三条边确定，则这个三角形的 形状 和 大小 就会确定。这就是三角形的稳定性。
特别提示：稳定性是三角形的特有性质，只有三角形具有。

【类型一：三角形稳定性的实际应用】
38．下列图形中，不具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【解答】解：A、不具有稳定性，故此选项符合题意；
B、具有稳定性，故此选项不符合题意；
C、具有稳定性，故此选项不合题意；
D、具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：A．
39．下列事物所运用的原理不属于三角形稳定性的是（　　）
A．长方形门框的斜拉条 B．埃及金字塔
C．三角形房架 D．学校的电动伸缩大门
【分析】根据三角形的稳定性和平行四边形的易变性进行解答即可．
【解答】解：下列事物中运用了三角形稳定性的是长方形门框的斜拉条，埃及金字塔和三角形房架，学校的电动伸缩大门运用了平行四边形的易变性；
故选：D．
40．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　）
A．两点之间线段最短
B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线
D．垂线段最短
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：B．




一、选择题（10题）
1．下列判断错误的是（　　）
A．三角形的三条高的交点在三角形内
B．三角形的三条中线交于三角形内一点
C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点
D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点
【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可．
【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；
B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；
C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；
D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意．
故选：A．
2．若一个三角形的两边长分别为4，8，则它的第三边的长可能是（　　）
A．3 B．4 C．10 D．12
【分析】设第三边的长为l，再根据三角形的三边关系进行解答即可．
【解答】解：设第三边的长为l，则8﹣4＜l＜4+8，
即4＜l＜12，只有10适合，
故选：C．
3．如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，则△ABD的周长为（　　）

A．17 B．23 C．25 D．28
【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，由△BCD的周长为20，BC＝8，求出CD+BD＝12，进而得出△ABD的周长．
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
∵△BCD的周长为20，BC＝8，
∴CD+BD＝BC+BD+CD﹣BC＝20﹣8＝12，
∴CD+BD＝AD+BD＝12，
∵AB＝5，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝5+12＝17．
故选：A．
4．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（　　）

A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
【分析】根据三角形的稳定性可得答案．
【解答】解：如图所示：
要使这个木架不变形，利用三角形的稳定性，他至少还要再钉上1个木条，
故选：B．

5．长度为3，7，x的三条线段构成三角形，则x的值可能是（　　）
A．3 B．4 C．8 D．12
【分析】已知三角形的两边长分别为3和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边求出第三边长的范围，然后结合选项选择符合条件的值即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．
因此，本题的第三边应满足4＜x＜10，把各项代入不等式符合的即为答案．
3，4，10都不符合不等式4＜x＜10，只有8符合不等式．
故选：C．
6．在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，
纵观各图形，D选项符合高线的定义，
故选：D．
7．若线段AP，BP，AB满足AP+BP＞AB，则关于P点的位置，下列说法正确的是（　　）
A．P点一定在直线AB上 B．P点一定在直线AB外
C．P点一定在线段AB上 D．P点一定在线段AB外
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边解决此题．
【解答】解：∵线段AP，BP，AB满足AP+BP＞AB，
∴P一定在线段AB外．
故选：D．
8．已知一个三角形的两边长分别为3和4第三边的长为整数，则该三角形的周长为（　　）
A．7 B．8 C．13 D．14
【分析】根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【解答】解：∵此三角形且两边为3和4，
∴第三边的取值范围是：1＜x＜7，
∵第三边为整数，
∴周长为13这个范围内，符合要求．
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（　　）

A．AD是△ABE的角平分线 B．BE是△ABD边AD上的中线
C．CH为△ACD边AD上的高 D．AH为△ABC的角平分线
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；
三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【解答】解：A、根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故本选项错误；
B、根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项错误；
C、根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故本选项正确；
D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故本选项错误．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB．

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC＝∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC＝∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【解答】解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG，
故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明AF＝FB，故④错误，
故选：C．
一、填空题（6题）
11．如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 　 　．

【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，
故答案为：稳定性．
12．已知三角形的三边长为4、x、11，化简|x﹣5|+|x﹣16|＝　 　．
【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣16的值，然后去绝对值符号求解即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是4、x、11，
∴7＜x＜15，
∴x﹣5＞0，x﹣16＜0，
∴|x﹣5|+|x﹣13|＝x﹣5+16﹣x＝11，
故答案为：11．
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 　 　cm．

【分析】利用三角形的中线定义可得CD＝BD，再根据△ADC的周长比△ABD的周长多3cm可得AC﹣AB＝2cm，进而可得AC的长．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
∵△ADC的周长比△ABD的周长多2cm，
∴（AC+CD+AD）﹣（AD+DB+AB）＝2cm，
∴AC﹣AB＝2cm，
∵AB＝4cm，
∴AC＝6cm，
故答案为：6．
14．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有 　 　个．
【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．
【解答】解：，
解不等式①，可得x＜a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以3，a，7为边的三角形，
∴4＜a＜10，
∴a的取值范围是5＜a＜10，
∴a的整数解有4个．
故答案为：4．
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则c＝　 　．
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再根据奇数的定义得出答案．
【解答】解：∵|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣7＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝7，b＝2，
由三角形三边关系定理得：7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9，
又∵c为奇数，
∴c＝7．
故答案为：7．
16．△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b+c|+|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为 　 　．
【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+c＞b，b+c＞a，a+c＞b，再去掉绝对值符号后合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，
∴|a﹣b+c|+|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|
＝（a﹣b+c）﹣（a﹣c﹣b）+（b﹣c﹣a）
＝a﹣b+c﹣a+c+b+b﹣c﹣a
＝b+c﹣a．
故答案为：b+c﹣a．
一、 解答题（4题）
17．先化简，再求值．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c+a|，当a＝2、c＝3时，求出代数式的值．
【分析】根据三角形的三边关系去绝对值，然后代入求值即可．
【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0．
∴|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c+a|＝﹣a+b+c﹣（b﹣c+a）＝﹣2a+2c．
当a＝2、c＝3时，﹣2a+2c＝﹣2×2+2×3＝2．
18．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD＝10，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．
19．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
【分析】（1）根据绝对值非负数的性质，得出a＝b或b＝c，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，
∴a＝b或b＝c，
∴△ABC为等腰三角形；
解：（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）
＝a+b﹣c﹣b+c+a
＝2a．
20．若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
【分析】（1）直接利用三角形三边关系得出不等式组求出答案；
（2）利用m的取值范围得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）根据三角形的三边关系，
，
解得：3＜m＜5；
（2）因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4．
所以，△ABC 的周长为：（m﹣2）+（2m+1）+8＝3m+7＝3×4+7＝19．