数学九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程教案设计

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课时安排 1课时
教学内容及教法分析
公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续，即它实际上是配方法的一般化和程序化．利用它可以更为简捷地解一元二次方程．
本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程．
公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、b、c的值，在b2-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c的值代入求根公式即可求出解．
因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方法，所以在教学中，首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程．
教学目标
(一)教学知识点
1．一元二次方程的求根公式的推导
2．会用求根公式解一元二次方程
(二)能力训练要求
1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
(三)情感与价值观要求
1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．
教学重点
一元二次方程的求根公式．
教学难点
求根公式的条件：b2-4ac≥0
教学方法
讲练相结合
教具准备 多媒体课件
教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入课题
[师]前面我们学习了利用配方法解一元二次方程．下面来做一练习以巩固其解法．(出示投影片)
1．用配方法解方程2x2-9x+8=0
[生]解：，2x2-9x+8=0
两边都除以2，得

移项，得；．

配方，得．

两边分别开平方，得


[师]同学们做得很好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．
这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．
Ⅱ．讲授新课
[师]刚才我们已经利用配方法求解了一个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c＝0(a≠0)呢?
大家可参照解方程2x2-9x+8=0的步骤进行．
[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a，得
x2+ SKIPIF 1 < 0 =0．
[生乙]因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，需要说明a≠0．
[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，必须说明a≠0．
好，接下来该如何呢?
[生丙]移项，得x2+ SKIPIF 1 < 0
配方，得x2+ SKIPIF 1 < 0 ,
(x+ SKIPIF 1 < 0 .
[师]这时，可以直接开平方求解吗?
[生丁]不，还需要讨论．
因为a≠0，所以4a2>0．当b2-4ac≥0时，就可以开平方．
[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求 SKIPIF 1 < 0 ≥0．因为4a2>0恒成立，所以只需b2-4ac是非负数即可．
因此，方程(x+ SKIPIF 1 < 0 )2＝ SKIPIF 1 < 0 的两边同时开方，得x+ SKIPIF 1 < 0 =± SKIPIF 1 < 0 .
大家来想一想，讨论讨论：
± SKIPIF 1 < 0 =± SKIPIF 1 < 0 吗?
……
[师]当b2-4ac≥0时，
x+ SKIPIF 1 < 0 =± SKIPIF 1 < 0 =± SKIPIF 1 < 0
因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a>0还是a<0，都不影响最终的结果： ± SKIPIF 1 < 0
所以x+ SKIPIF 1 < 0 =± SKIPIF 1 < 0 ,
x=- SKIPIF 1 < 0 ± SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是
x= SKIPIF 1 < 0
[师]由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值；当b2-4ac>0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b2-4ac=0时，可以求出方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．
(2)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号．
接下来，我们来看一例题．(出示投影片)
[例题]解方程2x2-9x+8=0
分析：要求方程2x2-9x+8=0的解，需先确定a、b、c的值．注意a、b、c带有符号．
解：这里a＝2，b＝-9，c＝8．
∵b2-4ac=(-9)2-4×2×8
＝17＞0，
即
[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．
[师生共析]其一般步骤是：
(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．(注意符号)
(2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，最后写出方程的根．
[师]接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P57随堂练习 1、2
1．用公式法解下列方程：
(1) x2-7x+18＝0；
解：这里a＝1，b＝-7，c＝-18．
∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)
＝121＞0，
∴x= SKIPIF 1 < 0 ,
即x1＝9，x2＝-2．
(2)
解：原方程可化为：
这里a=1,b=,c=3
(3)（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：3x2-7x+8=0
这里 a=3, b= -7, c= 8.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0
∴原方程没有实数根
2．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
解：设中间的数为x，则另外两数为
x-2，x+2．根据题意，得
(x+2)2＝(x-2)2+x2．
整理，得x2-8x=0．
解这个方程，得
x1＝0，x2＝8．
因为直角三角形的边长为正数，所以x1＝0应舍去．因此，这个直角三角形的三条边长分别为6，8，10．
(二)看课本P56～P57，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．
(1)求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用．对于a≠0，b2-4ac≥0。以及由a≠0，知4a2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理．
(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b2-4ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程．
（3）由b2-4ac可知一元二次方程的解有三种情况。
Ⅴ．课后作业
(一)课本P58习题2．6 1、2
(二)1．预习内容；P59～P61
2．预习提纲
(1)如何利用因式分解法解一元二次方程