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初中数学北师大版九年级上册1 认识一元二次方程教学设计
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这是一份初中数学北师大版九年级上册1 认识一元二次方程教学设计，共23页。教案主要包含了一元二次方程的概念，一元二次方程的应用，课堂练习，课时小结，课后作业等内容，欢迎下载使用。
课 题
2.1、花边有多宽（一）
课型
新授课
教学目标
1．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。
教学重点
一元二次方程的概念
教学难点
如何把实际问题转化为数学方程
学情分析
本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米 ，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效学生模型。
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
教师活动
学生活动
一、通过实例引入新课
1．在开始新的一个单元的时候，要向学生讲清楚本单元的主要内容和总体目标，这样可以让学生对本单元的内容做到整体把握和概览。
2．进人本单元的第一节：花边有多宽? 板书课题，明确本节课的中心任务。
3．播放“花边有多宽”的课件，说明题目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得显示出各个量之间的关系。
4．给学生时间思考：如何明确并用数学式子表示出题目中的各个量?让学生在思考后把教材补充完整。 P41页的填空题
5．让学生回答他们的答案是什么，给予点评，让学生核对答案，可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。
6．继续进行下二个问题：板书P41页的等式，提出问题：你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
7．趁热打铁，让学生把教材p42页的填空题补充完整。
8．让学生说出自己的答案，点评，其他学生核对自己的答案。可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。
9．简单点评上面两个问题的解答情况，转入下一个问题。播放“梯子的底端滑动多少米”的课件，说明题意，课件制作得要求可以清楚看出滑动的线段。
10．设置悬念：有的同学猜测是1米，到底是多少，我们后面来看一看。为后续学习做好铺垫。让学生把教材上的填空题补充完整。
11．让学生说出他们的答案，点评，其他学生核对自己的答案；可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。
12．肯定学生的表现：大家自己的探索已经很好地打开了第二章“一元二次方程”的大门，相信同学们这一章会通过自己的学得很好。
二、一元二次方程的概念
1．板书刚刚得到的三个方程，让学生观察它们有什么共同的特点?
2．给学生必要的提示：我们曾经学习了—元一次方程，同学们可以类比着它的要点来看看这些方程有什么特点。
3．让学生用自己的语言回答这三个方程有什么共性。
4．肯定学生的回答，让学生继续观察它们还有没有其他的共性?比如：从整式和分式的角度，展开来整理后的形式的角度。可以让同桌两个进行交流。
5．让学生用自己的语言他们的新发现。
6．允许学生用自己的语言表述，对学生的回答要善于引导，让学生的认识更清楚。7．对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意学生容易漏掉的二次项系数不为0的要点，给出一元二次方程的要点和定义。8．给出一般的一元二次方程的形式，强调二次项系数不为0的要点，说明二 次项、一次项、常数项和二次项以及一次项系数的含义。
9．让学生指出三个方程的二次项、一次项、常数项和二次项、—次项的系数。
10．复习总结，布置作业。
作业：P47，习题2.2：1、2
板书设计：
一、一元二次方程的概念
二、例题
三、练习
1．认真听讲，对本单元(一元二次方程) 有了一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好准备。
2．进入良好的学习状态，在教师的引导下顺利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了学生的兴趣；
3．很有兴趣地观看课件，对“花边有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。
4．对照图形(示意图)认真思考，找到各个元素的数量关系，比较顺利地把填空题补充完整。
5．回答：长为8—2x。宽为5—2x，根据题意可得方程(8—2x)(5—2x)＝18。
6．正整数是学生最熟悉的内容，五个连续整数的性质引发了学生的兴趣和探究的欲望，受到前面题目的启发，可能会想到可以通过设未知数列方程来求解。
7．积极认真地填空，大部分学生可以顺利完成。
8．回答老师的问题；并基本正确，做对的同学举手示意，方便老师掌握情况。
9．对于这个问题也很感兴趣，有的猜测可能梯子底端滑动的距离和梯子顶端滑动的距离一样，都是1米，但不能充分说明。
10．不知道1米对不对，到底是多少米，产生了想一探究竟的欲望，为后面的学习做好了心理准备。按照老师的要求，比较顺利地把填空题补充完整。
11．回答老师的问题，基本正确，做对的同学举手示意，方便老师掌握情况。
12．受到老师的表扬和鼓励，自信心及学习的兴趣都大增，以很好的状态投入到下面的学习中。
1．观察三个方程的特点，但因为问题的指向性不是很明确，因此有些茫然。2．得到启发，从未知数的个数、未知数的最高次数出发观察它们的共性，容易看出它们都只有一个未知数，最高次数是2。
3．回答：都只含有一个未知数，未知数的最高次数是2
4．继续观察三个方程的特点，容易看出它们都是整式方程，把式子展开，经过移项、合并同类项等化成相似形式的式子，经过交流学生认识得更加清楚。
5．回答：都是整式方程，并且都可以化成一个二次加一个一次再加一个常数的形式。
6．听取老师的点评和说明，进一步理清自己的思路。
7．认真体会老师的思路，老师是如何总结抽象概括的。记下一元二次方程的要点和定义。
8．认真听讲，掌握一般的一元二次方程的形式和二次项系数不为0的要点，清楚二次项、一次项、常数项以及二次项和一次项系数的含义。
9．顺利指出三个方程的二次项、一次项、常数项以及二次项、一次项的系数。
10．总结本节内容，记下作业。
课 题
2.1、花边有多宽（二）
课型
新授课
教学目标
1．探索一元二次方程的解或近似解．
2．培养学生的估算意识和能力．
3. 经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力．
教学重点
探索一元二次方程的解或近似解．
教学难点
培养学生的估算意识和能力．
教学方法
分组讨论法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、创设现实情境，引入新课
前面我们通过实例建立了一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，大家回忆一下。
二、地毯花边的宽x(m)满足方程
估算地毯花边的宽
地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18
也就是：2x2―13x+11=0
你能求出x吗？
（1）x可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0，因为x表示地毯的宽度。
（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？
（3）完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
三、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
(x+6)2+72=102
也就是x2+12x―15=0
（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
（2）x的整数部分是几？十分位是几？
注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。
四、课堂练习
课本P46随堂练习
1．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗?
五、课时小结
本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．
六、课后作业
(一)课本P46习题2．2 l、2
(二)1．预习内容：P47—P48
板书设计：
一、地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18
二、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102
三、练习
四、小结
回答下列问题：什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a≠0)
2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)―x2=0
(8—2x)(5—2x)＝18，
即222一13x十11＝0．
注:x>o，
8—2x＞o，
5—2x＞0．
从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9
地毯花边1米，另，因8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3，8―2x=6，x=1
(x十6)十7＝10，
即x十12x一15＝0．
所以1＜x＜2．
x的整数部分是1，
所以x的整数部分是l，十分位是1．
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x―15
-15
-8.75
-2
5.25
13
所以1
进一步计算
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x―15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以1.1
课 题
2.2、配方法(一)
课型
新授课
教学目标
1．会用开平方法解形如(x十m)＝n(n0)的方程．
2．理解一元二次方程的解法——配方法．
教学重点
利用配方法解一元二次方程
教学难点
把一元二次方程通过配方转化为(x十m)＝n(n0)的形式．
教学方法
讲练结合法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学习活动
一、复习：
1、解下列方程：
（1）x2=4 （2）(x+3)2=9
2、什么是完全平方式？
利用公式计算：
（1）(x+6)2 （2）(x－)2
注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
3、解方程：（梯子滑动问题）
x2+12x－15=0
二、解：x十12x一15＝0，
1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？
2、解方程的基本思路（配方法）
如：x2+12x－15=0 转化为
(x+6)2=51
两边开平方，得
x+6=±
∴x1=―6 x2=――6(不合实际)
3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+ =(x+6)2
（2）x2―12x+ =(x― )2
（3）x2+8x+ =(x+ )2
从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。
4、讲解例题：
例1：解方程：x2+8x―9=0
分析：先把它变成(x+m)2=n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解。
解：移项，得：x2+8x=9
配方，得：x2+8x+42=9+42 （两边同时加上一次项系数一半的平方）
即：(x+4)2=25
开平方，得：x+4=±5
即：x+4=5 ，或x+4=―5
所以：x1=1，x2=―9
5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。
三、课堂练习
课本P49随堂练习 1
1．解下列方程
(1) x一l0x十25＝7；(2) x十6x＝1.
四、课时小结
五、课后作业
(一)课本P49习题2．3 l、2
(二)1．预习内容P49—P52
板书设计：
一、 直接开平方法
二、 配方法
三、 例题
四、 练习
五、 小结
（1）x＝土2．
(2)
x十3＝士3，
x十3＝3或x十3＝一3，
x＝0，x＝一6．
这种方法叫直接开平方法．
(x十m) ＝n(n0)．
因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。
（1）x1=5+ x2=5－
（2）x1=－3+ x2=－3－
这节课我们研究了一元二次方程的解法：
(1)直接开平方法．
(2)配方法．
课 题
2.2、配方法(二)
课型
新授课
教学目标
1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．
教学重点
用配方法求解一元二次方程．
教学难点
理解配方法．
教学方法
讲练结合法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、复习：
1、什么叫配方法？
2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。
3、解方程：
（1）x2+4x+3=0 （2）x2―4x+2=0
二、新授：
1、例题讲析：
例3：解方程：3x2+8x―3=0
分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：两边都除以3，得： x2+x―1=0
移项，得：x2+x = 1
配方，得：x2+x+()2= 1+()2 （方程两边都加上一次项系数一半的平方）
(x+)2=()2
即：x+=± 所以x1=，x2=―3
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
3、做一做：
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15 t―5t2
小球何时能达到10m高？
三、巩固：
练习：P51，随堂练习：1
四、小结：
1、用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）化二次项系数为1；
（2）移项；
（3）配方：
（4）求根。
五、作业：
（一）课本P52习题2.4 1、2
（二）预习内容：P53～P54
板书设计：
六、 解方程
七、 做一做，读一读
八、 课时小结
九、 课后作业
学生回答
演板
由学生共同小结
这节课我们利用配方法解决了二次项系数不为1或者一次项系数不为偶数等较复杂的一元二次方程，由此我们归纳出配方法的基本步骤
课 题
2.2、配方法(三)
课型
新授课
教学目标
1．利用方程解决实际问题．
2．训练用配方法解题的技能．
教学重点
利用方程解决实际问题
教学难点
对于开放性问题的解决，即如何设计方案
教学方法
分组讨论法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、复习：
1、配方：
（1）x2―3x+ =(x― )2
（2）x2―5x+ =(x― )2
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3、用配方法解下列一元二次方程？
（1）3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0
二、引入课题：
我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：
三、出示思考题：
1、
如图所示：
（1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？
（2）一元二次方程的解是什么？
（3）这两个解都合要求吗？为什么？
2、设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？
（2）一元二次方程的解是什么？
（3）合符条件的解是多少？
3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。
四、练习：P56随堂练习
看课本P53～P54，然后小结
五、小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。
2、设计方案时，关键是列一元二次方程。
3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。
六、作业：
（一）P56，习题2.5，1、2
（二）预习内容：P56～P57
板书设计：
一、 设计方案
二、 练习
三、 小结
1、2学生口答
学生演板
阅读课本
观察与思考
(16-2x) (12-2x)= ×16×12
x1=2 x2=12
x1=2合要求， x2=12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。
x2π=×12×16
X1=≈5.5
X2≈－5.5
X1=5.5
1）花园为菱形 （2）花园为圆形？
（3）花园为三角形 （4）花园为梯形
本节课我们通过列方程解决实际问题，进一步了解了一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并且知道在解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
另外，还应注意用配方法解题的技能
课 题
2．3 公式法
课型
新授课
教学目标
1．一元二次方程的求根公式的推导
2．会用求根公式解一元二次方程
教学重点
一元二次方程的求根公式．
教学难点
求根公式的条件：b-4ac0
教学方法
讲练结合法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、复习
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程：x2－7x－18=0
二、新授：
1、推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
解：方程两边都作以a，得 x2+x+=0
移项，得： x2+x=－
配方，得： x2+x+()2=－+()2
即：（x+）2=
∵a≠0，所以4a2>0
当b2－4ac≥0时，得
x+=±=±
∴x=
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
当b2－4ac≥0时，它的根是 x=
注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。
2、公式法：
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、例题讲析：
例：解方程：x2―7x―18=0
解：这里a=1，b=―7，c=―18
∵b2－4ac=(―7)2―4×1×(―18)=121>0
∴x= 即：x1=9, x2 =―2
例：解方程：2x2+7x=4
解：移项，得2x2+7x―4=0
这里，a=1 , b=7 , c=―4
∵b2－4ac=72―4×1×(―4)=81>0
∴x==
即:x1= , x2=―4
三、巩固练习：
P58随堂练习：1、2
四、小结：
（1）求根公式：x= （b2－4ac≥0）
（2）利用求根公式解一元二次方程的步骤
五、作业：
（一）P59 习题2.6 1、2
（二）预习内容：P59～P61
板书设计：
一、 复习
二、 求根公式的推导
三、 练习
四、 小结
五、 作业
学生演板
x1=9,x2=－2
注意：符号
这里a=1，b=―7，c=―18
学生小结
步骤: (1)指出a、b、c
（2）求出b2－4ac
(3)求x
（4）求x1, x2
看课本P56～P57，然后小结
这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法――公式法。
（1）求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用。对于a0，知4a>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理。
（2）应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b－4ac的值。当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程
课 题
2．4 分解因式法
课型
新授课
教学目标
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
教学重点
掌握分解因式法解一元二次方程。
教学难点
灵活运用分解因式法解一元二次方程。
教学方法
讲练结合法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、回顾交流
[课堂小测]
用两种不同的方法解下列一元二次方程。
1. 5x-2x-1=0 2. 10(x+1) -25(x+1)+10=0
观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
分析小颖、小明、小亮的解法：
小颖：用公式法解正确；
小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。
小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。
分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
二、范例学习
例：解下列方程。
1. 5x=4x 2. x-2=x(x-2)
想一想
你能用几种方法解方程x-4=0,(x+1)-25=0。
三、随堂练习
随堂练习 1、2
[拓展题]
分解因式法解方程：x-4x=0。
四、课堂总结
利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。
五、布置作业
P62 习题2.7 1、2
板书设计：
一、 复习
二、 例题
三、 想一想
四、 练习
五、 小结
六、 作业
学生练习。
注：课本中，小颖、小明、小亮的解法由学生在探讨中比较，对照。
概念：课本议一议，让学生自己理解。
解：（1）原方程可变形为：
5x2－4x=0
x(5x－4)=0
x=0或5x=4=0
∴x1=0或x2=
(2)原方程可变形为
x－2－x(x－2)=0
(x－2)(1－x)=0
x－2=0或1－x=0
∴x1=2，x2=1
（1）在一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用分解因式法来解。
（2）分解因式时，用公式法提公式因式法
课 题
2．5 为什么是0.618
课型
新授课
教学目标
1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。
2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点
掌握运用方程解决实际问题的方法。
教学难点
建立方程模型。
教学方法
讲练结合法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、 回顾交流
[课堂小测]
1、用适当的方法解一元二次方程。
（1）5x(x-3)=21-7x （2）9(x-)=4(2x+1)
（3）2x-5x+1=0 （4）3x+7x+2=0
2、问题情境：同学们还记得黄金分割吗？你想知道黄金分割中的黄金比是怎样求出来的吗？与同伴交流。
如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。
3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？
二、范例学习
由=，得AC2=AB·CB
设AB=1， AC=x ，则CB=1－x
∴x2=1×(1－x) 即：x2+x－1=0
解这个方程，得
x1= , x2=（不合题意，舍去）
所以：黄金比=≈0.618
例1：P64 题略（幻灯片）
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
解：（1）连接DF，则DF⊥BC，
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里
∴AC=AB=200海里，∠C=45°
∴CD=AC=100海里 DF=CF，DF=CD
∴DF=CF=CD=×100=100海里
所以，小岛D和小岛F相距100海里。
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里
EF=AB+BC―（AB+BE）―CF=（300―2x）海里
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程：x2=1002+(300－2x)2
整理得，3x2－1200x+100000=0
解这个方程，得：x1=200－≈118.4
x2=200+(不合题意，舍去)
所以，相遇时，补给船大约航行了118.4 海里。
三、随堂练习
课本随堂练习 1
[探索题]
某商场一月份销售额为70万元，二月份下降10%，后改进管理，月销售额大幅度上升，四月份的销售额达112万元，求三月、四月平均每月增长的百分率。
四、课堂总结
列方程解应用题的关键在于找未知量与已知量之间的相等关系，正确合理地建立模型。在分析数量关系时，一般可采用一些辅助手段，如“列表法”、“译式法”、“图示法”等。
五、布置作业
课本练习1、2
板书设计：
一、 黄金分割
二、 例题
三、 练习
四、 小结
五、 作业
学生演板
0.618
方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式
注意：黄金比的准确数为，近似数为0.618.
学生理解领会，参与分析。
学生独立练习。
方程解应用题的三个重要环节：
1、整体地，系统地审清问题；
2、把握问题中的等量关系；
3、正确求解方程并检验解的合理性。
第二章 一元二次方程复习
（复习可以根据学生实际情况用1—2课时进行）
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程的一般形式 （）
例1：关于的方程是一元二次方程，求的取值范围。
策略：看到一元二次方程，就应该要注意到：是否存在着二次项，二次项系数是否为零
2、一元二次方程的根
策略：抓住一点：只要是方程的根，代入方程之后等式仍然成立。
出题一、根据方程根的定义
例2：如果是一元二次方程的根，那么常数的值。
例3：请写出一个两个根分别是1，-2的一元二次方程 。
出题点二、根据多项式的只判断一元二次方程的根
例4：已知关于x的两方程和只有一个相同的根，则这个根是 。
3、两种题型的结合
例5、已知关于x的方一元二次方程有一个根是0，则 。
二、一元二次方程的解法。
1、一元二次方程解法之间的比较
解法
化解成的形式
方程有解的条件
可以得到的简化式
适用情况
备注
因式分解法
无
或
1、平方差
2、提取公因式
适当地运用十字相称法
开平方法
没有一次项
开平方
加绝对值
配方法
数字比较简单，能直接配方的
配成完全平方之后，再展开验证是否正确
公式法
直接不能观察出用何种方法
先计算的值，
正负不要弄错
例6：解下列一元二次方程
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
2、公式法中的问题
一元二次方程的根情况：
A：一元二次方程有两个不相等的实数根
B：一元二次方程有两个相等的实数根
C：一元二次方程无实数根
注意：所有问题能用这些条件的前提是：这个方程必须是一元二次方程。
运用上面的性质来求方程中字母的取值范围
例7：当为何值时，关于的一元二次方程有实数根。
变式一：当为何值时，关于的一元二次方程有实数根。
变式二：当为何值时，关于的方程有两个不相等的实数根。
变式三：当为何值时，关于的一元二次方程无实数根
变式四：当为何值时，关于的方程有两个相等的实数根。
变式五：当为何值时，关于的一元二次方程只有一个实数根。
变式六：当为何值时，关于的方程只有一个实数根。
三、一元二次方程的应用
针对方程的解题手段，抓住题中一些量的关系，自己发现题中的公式。
1、盈利问题：（可列表来分析）
例8：星星超市经销某种品牌食品，购进该商品的单价为每千克2元，物价部门规定该商品销售单价不得高于每千克7元，也不得低于每千克2元。经市场调查发现
，销售单价定为每千克7元时，日销售为60千克；销售单价每降低0.1元，日均多售出2千克。
（1）该商品销售单价定为每千克多少元时，该商品日利润总额为300元？
（2）该超市为提高销售量，决定让利消费者，当该商品销售单价定为每千克多少元时，该商品的日利润总额为240元？
2、平均增长率问题（注意：是那段时间的平均增长率）
例9：某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视人数的75%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少(精确到1%)？
例10：某省2006年治理水土流失面积400km2，并逐年加大治理力度，每年治理水土流失面积比前一年增长相同的百分点，到2008年底，这三个月共治理流失面积1324 km2，求该省2006~20008年每年治理水土流失面积比前一年增长的百分数。xkb1.com
3、数字问题（设合理的未知数，会让题目变得简单）
例11：一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位上的数字与个位上的数字对调后所得的数与原数相乘，得736，求这个两位数．
4、面积问题（利用面积公式）
例12：如图，要在长100m，宽90m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，6块绿地面积共8 448m2，求道路的宽．
5、线段问题，（灵活运用勾股定理、直角三角形的面积）
例13：如图，AB⊥BC，AB=10cm，点M以1cm/s的速度从点A开始沿AB边向点B运动，点N同时以2cm/s的速度从点B开始沿BC边向点C运动，则当点M运动多少时间时，△BMN的面积等于24cm2？
第二章 一元二次方程检测题
一、 填空题
1、一元二次方程化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
2、当 时，方程不是一元二次方程。
3、方程的解是 。
4、若方程的一个根为1，则= ，另一个根为 。
5、若方程有两个相等的实数根，则= ，两个根分别为 。
6、 ； 。
7、直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是 。
8、已知的值是10，则代数式的值是 。
二、 选择题
1、下列方程中，一元二次方程是（ ）
（A）（B）（C）（D）
2、方程的解的情况是（ ）
（A）有两个不相等的实数根 （B）没有实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有一个实数根
3、要使分式的值为0，则应该等于（ ）
（A）4或1 （B）4 （C）1 （D）或
4、某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（ ）
（A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元
5、若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
（A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D）无法确定
6、方程的解的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）1或2
7、关于的一元二次方程有实数根，则（ ）
（A）＜0 （B）＞0 （C）≥0 （D）≤0
三、 解下列方程
1、 2、
3、 4、
5、2（用配方法） 6、
四、 解答题
1、如图，在正方形ABCD中,AB是4㎝,△BEC的面积是△DEF面积的4倍,则DE的长是多少？
2、某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。
3、用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个举行的长和宽。又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
4、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
5、某人购买了1000元债券，定期一年，到期兑换后他用去了440元，然后把剩下的钱又全部购买了这种债券，定期仍为一年，到期后他兑现得款624元。求这种债券的年利率。
课 题
2.1、花边有多宽（一）
课型
新授课
教学目标
1．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。
教学重点
一元二次方程的概念
教学难点
如何把实际问题转化为数学方程
学情分析
本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米 ，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效学生模型。
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
教师活动
学生活动
一、通过实例引入新课
1．在开始新的一个单元的时候，要向学生讲清楚本单元的主要内容和总体目标，这样可以让学生对本单元的内容做到整体把握和概览。
2．进人本单元的第一节：花边有多宽? 板书课题，明确本节课的中心任务。
3．播放“花边有多宽”的课件，说明题目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得显示出各个量之间的关系。
4．给学生时间思考：如何明确并用数学式子表示出题目中的各个量?让学生在思考后把教材补充完整。 P41页的填空题
5．让学生回答他们的答案是什么，给予点评，让学生核对答案，可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。
6．继续进行下二个问题：板书P41页的等式，提出问题：你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
7．趁热打铁，让学生把教材p42页的填空题补充完整。
8．让学生说出自己的答案，点评，其他学生核对自己的答案。可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。
9．简单点评上面两个问题的解答情况，转入下一个问题。播放“梯子的底端滑动多少米”的课件，说明题意，课件制作得要求可以清楚看出滑动的线段。
10．设置悬念：有的同学猜测是1米，到底是多少，我们后面来看一看。为后续学习做好铺垫。让学生把教材上的填空题补充完整。
11．让学生说出他们的答案，点评，其他学生核对自己的答案；可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。
12．肯定学生的表现：大家自己的探索已经很好地打开了第二章“一元二次方程”的大门，相信同学们这一章会通过自己的学得很好。
二、一元二次方程的概念
1．板书刚刚得到的三个方程，让学生观察它们有什么共同的特点?
2．给学生必要的提示：我们曾经学习了—元一次方程，同学们可以类比着它的要点来看看这些方程有什么特点。
3．让学生用自己的语言回答这三个方程有什么共性。
4．肯定学生的回答，让学生继续观察它们还有没有其他的共性?比如：从整式和分式的角度，展开来整理后的形式的角度。可以让同桌两个进行交流。
5．让学生用自己的语言他们的新发现。
6．允许学生用自己的语言表述，对学生的回答要善于引导，让学生的认识更清楚。7．对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意学生容易漏掉的二次项系数不为0的要点，给出一元二次方程的要点和定义。8．给出一般的一元二次方程的形式，强调二次项系数不为0的要点，说明二 次项、一次项、常数项和二次项以及一次项系数的含义。
9．让学生指出三个方程的二次项、一次项、常数项和二次项、—次项的系数。
10．复习总结，布置作业。
作业：P47，习题2.2：1、2
板书设计：
一、一元二次方程的概念
二、例题
三、练习
1．认真听讲，对本单元(一元二次方程) 有了一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好准备。
2．进入良好的学习状态，在教师的引导下顺利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了学生的兴趣；
3．很有兴趣地观看课件，对“花边有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。
4．对照图形(示意图)认真思考，找到各个元素的数量关系，比较顺利地把填空题补充完整。
5．回答：长为8—2x。宽为5—2x，根据题意可得方程(8—2x)(5—2x)＝18。
6．正整数是学生最熟悉的内容，五个连续整数的性质引发了学生的兴趣和探究的欲望，受到前面题目的启发，可能会想到可以通过设未知数列方程来求解。
7．积极认真地填空，大部分学生可以顺利完成。
8．回答老师的问题；并基本正确，做对的同学举手示意，方便老师掌握情况。
9．对于这个问题也很感兴趣，有的猜测可能梯子底端滑动的距离和梯子顶端滑动的距离一样，都是1米，但不能充分说明。
10．不知道1米对不对，到底是多少米，产生了想一探究竟的欲望，为后面的学习做好了心理准备。按照老师的要求，比较顺利地把填空题补充完整。
11．回答老师的问题，基本正确，做对的同学举手示意，方便老师掌握情况。
12．受到老师的表扬和鼓励，自信心及学习的兴趣都大增，以很好的状态投入到下面的学习中。
1．观察三个方程的特点，但因为问题的指向性不是很明确，因此有些茫然。2．得到启发，从未知数的个数、未知数的最高次数出发观察它们的共性，容易看出它们都只有一个未知数，最高次数是2。
3．回答：都只含有一个未知数，未知数的最高次数是2
4．继续观察三个方程的特点，容易看出它们都是整式方程，把式子展开，经过移项、合并同类项等化成相似形式的式子，经过交流学生认识得更加清楚。
5．回答：都是整式方程，并且都可以化成一个二次加一个一次再加一个常数的形式。
6．听取老师的点评和说明，进一步理清自己的思路。
7．认真体会老师的思路，老师是如何总结抽象概括的。记下一元二次方程的要点和定义。
8．认真听讲，掌握一般的一元二次方程的形式和二次项系数不为0的要点，清楚二次项、一次项、常数项以及二次项和一次项系数的含义。
9．顺利指出三个方程的二次项、一次项、常数项以及二次项、一次项的系数。
10．总结本节内容，记下作业。
课 题
2.1、花边有多宽（二）
课型
新授课
教学目标
1．探索一元二次方程的解或近似解．
2．培养学生的估算意识和能力．
3. 经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力．
教学重点
探索一元二次方程的解或近似解．
教学难点
培养学生的估算意识和能力．
教学方法
分组讨论法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、创设现实情境，引入新课
前面我们通过实例建立了一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，大家回忆一下。
二、地毯花边的宽x(m)满足方程
估算地毯花边的宽
地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18
也就是：2x2―13x+11=0
你能求出x吗？
（1）x可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0，因为x表示地毯的宽度。
（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？
（3）完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
三、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
(x+6)2+72=102
也就是x2+12x―15=0
（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
（2）x的整数部分是几？十分位是几？
注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。
四、课堂练习
课本P46随堂练习
1．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗?
五、课时小结
本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．
六、课后作业
(一)课本P46习题2．2 l、2
(二)1．预习内容：P47—P48
板书设计：
一、地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18
二、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102
三、练习
四、小结
回答下列问题：什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a≠0)
2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)―x2=0
(8—2x)(5—2x)＝18，
即222一13x十11＝0．
注:x>o，
8—2x＞o，
5—2x＞0．
从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9
地毯花边1米，另，因8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3，8―2x=6，x=1
(x十6)十7＝10，
即x十12x一15＝0．
所以1＜x＜2．
x的整数部分是1，
所以x的整数部分是l，十分位是1．
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x―15
-15
-8.75
-2
5.25
13
所以1
进一步计算
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x―15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以1.1
课 题
2.2、配方法(一)
课型
新授课
教学目标
1．会用开平方法解形如(x十m)＝n(n0)的方程．
2．理解一元二次方程的解法——配方法．
教学重点
利用配方法解一元二次方程
教学难点
把一元二次方程通过配方转化为(x十m)＝n(n0)的形式．
教学方法
讲练结合法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学习活动
一、复习：
1、解下列方程：
（1）x2=4 （2）(x+3)2=9
2、什么是完全平方式？
利用公式计算：
（1）(x+6)2 （2）(x－)2
注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
3、解方程：（梯子滑动问题）
x2+12x－15=0
二、解：x十12x一15＝0，
1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？
2、解方程的基本思路（配方法）
如：x2+12x－15=0 转化为
(x+6)2=51
两边开平方，得
x+6=±
∴x1=―6 x2=――6(不合实际)
3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+ =(x+6)2
（2）x2―12x+ =(x― )2
（3）x2+8x+ =(x+ )2
从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。
4、讲解例题：
例1：解方程：x2+8x―9=0
分析：先把它变成(x+m)2=n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解。
解：移项，得：x2+8x=9
配方，得：x2+8x+42=9+42 （两边同时加上一次项系数一半的平方）
即：(x+4)2=25
开平方，得：x+4=±5
即：x+4=5 ，或x+4=―5
所以：x1=1，x2=―9
5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。
三、课堂练习
课本P49随堂练习 1
1．解下列方程
(1) x一l0x十25＝7；(2) x十6x＝1.
四、课时小结
五、课后作业
(一)课本P49习题2．3 l、2
(二)1．预习内容P49—P52
板书设计：
一、 直接开平方法
二、 配方法
三、 例题
四、 练习
五、 小结
（1）x＝土2．
(2)
x十3＝士3，
x十3＝3或x十3＝一3，
x＝0，x＝一6．
这种方法叫直接开平方法．
(x十m) ＝n(n0)．
因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。
（1）x1=5+ x2=5－
（2）x1=－3+ x2=－3－
这节课我们研究了一元二次方程的解法：
(1)直接开平方法．
(2)配方法．
课 题
2.2、配方法(二)
课型
新授课
教学目标
1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．
教学重点
用配方法求解一元二次方程．
教学难点
理解配方法．
教学方法
讲练结合法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、复习：
1、什么叫配方法？
2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。
3、解方程：
（1）x2+4x+3=0 （2）x2―4x+2=0
二、新授：
1、例题讲析：
例3：解方程：3x2+8x―3=0
分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：两边都除以3，得： x2+x―1=0
移项，得：x2+x = 1
配方，得：x2+x+()2= 1+()2 （方程两边都加上一次项系数一半的平方）
(x+)2=()2
即：x+=± 所以x1=，x2=―3
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
3、做一做：
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15 t―5t2
小球何时能达到10m高？
三、巩固：
练习：P51，随堂练习：1
四、小结：
1、用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）化二次项系数为1；
（2）移项；
（3）配方：
（4）求根。
五、作业：
（一）课本P52习题2.4 1、2
（二）预习内容：P53～P54
板书设计：
六、 解方程
七、 做一做，读一读
八、 课时小结
九、 课后作业
学生回答
演板
由学生共同小结
这节课我们利用配方法解决了二次项系数不为1或者一次项系数不为偶数等较复杂的一元二次方程，由此我们归纳出配方法的基本步骤
课 题
2.2、配方法(三)
课型
新授课
教学目标
1．利用方程解决实际问题．
2．训练用配方法解题的技能．
教学重点
利用方程解决实际问题
教学难点
对于开放性问题的解决，即如何设计方案
教学方法
分组讨论法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、复习：
1、配方：
（1）x2―3x+ =(x― )2
（2）x2―5x+ =(x― )2
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3、用配方法解下列一元二次方程？
（1）3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0
二、引入课题：
我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：
三、出示思考题：
1、
如图所示：
（1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？
（2）一元二次方程的解是什么？
（3）这两个解都合要求吗？为什么？
2、设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？
（2）一元二次方程的解是什么？
（3）合符条件的解是多少？
3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。
四、练习：P56随堂练习
看课本P53～P54，然后小结
五、小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。
2、设计方案时，关键是列一元二次方程。
3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。
六、作业：
（一）P56，习题2.5，1、2
（二）预习内容：P56～P57
板书设计：
一、 设计方案
二、 练习
三、 小结
1、2学生口答
学生演板
阅读课本
观察与思考
(16-2x) (12-2x)= ×16×12
x1=2 x2=12
x1=2合要求， x2=12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。
x2π=×12×16
X1=≈5.5
X2≈－5.5
X1=5.5
1）花园为菱形 （2）花园为圆形？
（3）花园为三角形 （4）花园为梯形
本节课我们通过列方程解决实际问题，进一步了解了一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并且知道在解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
另外，还应注意用配方法解题的技能
课 题
2．3 公式法
课型
新授课
教学目标
1．一元二次方程的求根公式的推导
2．会用求根公式解一元二次方程
教学重点
一元二次方程的求根公式．
教学难点
求根公式的条件：b-4ac0
教学方法
讲练结合法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、复习
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程：x2－7x－18=0
二、新授：
1、推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
解：方程两边都作以a，得 x2+x+=0
移项，得： x2+x=－
配方，得： x2+x+()2=－+()2
即：（x+）2=
∵a≠0，所以4a2>0
当b2－4ac≥0时，得
x+=±=±
∴x=
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
当b2－4ac≥0时，它的根是 x=
注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。
2、公式法：
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、例题讲析：
例：解方程：x2―7x―18=0
解：这里a=1，b=―7，c=―18
∵b2－4ac=(―7)2―4×1×(―18)=121>0
∴x= 即：x1=9, x2 =―2
例：解方程：2x2+7x=4
解：移项，得2x2+7x―4=0
这里，a=1 , b=7 , c=―4
∵b2－4ac=72―4×1×(―4)=81>0
∴x==
即:x1= , x2=―4
三、巩固练习：
P58随堂练习：1、2
四、小结：
（1）求根公式：x= （b2－4ac≥0）
（2）利用求根公式解一元二次方程的步骤
五、作业：
（一）P59 习题2.6 1、2
（二）预习内容：P59～P61
板书设计：
一、 复习
二、 求根公式的推导
三、 练习
四、 小结
五、 作业
学生演板
x1=9,x2=－2
注意：符号
这里a=1，b=―7，c=―18
学生小结
步骤: (1)指出a、b、c
（2）求出b2－4ac
(3)求x
（4）求x1, x2
看课本P56～P57，然后小结
这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法――公式法。
（1）求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用。对于a0，知4a>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理。
（2）应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b－4ac的值。当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程
课 题
2．4 分解因式法
课型
新授课
教学目标
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
教学重点
掌握分解因式法解一元二次方程。
教学难点
灵活运用分解因式法解一元二次方程。
教学方法
讲练结合法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、回顾交流
[课堂小测]
用两种不同的方法解下列一元二次方程。
1. 5x-2x-1=0 2. 10(x+1) -25(x+1)+10=0
观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
分析小颖、小明、小亮的解法：
小颖：用公式法解正确；
小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。
小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。
分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
二、范例学习
例：解下列方程。
1. 5x=4x 2. x-2=x(x-2)
想一想
你能用几种方法解方程x-4=0,(x+1)-25=0。
三、随堂练习
随堂练习 1、2
[拓展题]
分解因式法解方程：x-4x=0。
四、课堂总结
利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。
五、布置作业
P62 习题2.7 1、2
板书设计：
一、 复习
二、 例题
三、 想一想
四、 练习
五、 小结
六、 作业
学生练习。
注：课本中，小颖、小明、小亮的解法由学生在探讨中比较，对照。
概念：课本议一议，让学生自己理解。
解：（1）原方程可变形为：
5x2－4x=0
x(5x－4)=0
x=0或5x=4=0
∴x1=0或x2=
(2)原方程可变形为
x－2－x(x－2)=0
(x－2)(1－x)=0
x－2=0或1－x=0
∴x1=2，x2=1
（1）在一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用分解因式法来解。
（2）分解因式时，用公式法提公式因式法
课 题
2．5 为什么是0.618
课型
新授课
教学目标
1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。
2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点
掌握运用方程解决实际问题的方法。
教学难点
建立方程模型。
教学方法
讲练结合法
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、 回顾交流
[课堂小测]
1、用适当的方法解一元二次方程。
（1）5x(x-3)=21-7x （2）9(x-)=4(2x+1)
（3）2x-5x+1=0 （4）3x+7x+2=0
2、问题情境：同学们还记得黄金分割吗？你想知道黄金分割中的黄金比是怎样求出来的吗？与同伴交流。
如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。
3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？
二、范例学习
由=，得AC2=AB·CB
设AB=1， AC=x ，则CB=1－x
∴x2=1×(1－x) 即：x2+x－1=0
解这个方程，得
x1= , x2=（不合题意，舍去）
所以：黄金比=≈0.618
例1：P64 题略（幻灯片）
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
解：（1）连接DF，则DF⊥BC，
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里
∴AC=AB=200海里，∠C=45°
∴CD=AC=100海里 DF=CF，DF=CD
∴DF=CF=CD=×100=100海里
所以，小岛D和小岛F相距100海里。
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里
EF=AB+BC―（AB+BE）―CF=（300―2x）海里
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程：x2=1002+(300－2x)2
整理得，3x2－1200x+100000=0
解这个方程，得：x1=200－≈118.4
x2=200+(不合题意，舍去)
所以，相遇时，补给船大约航行了118.4 海里。
三、随堂练习
课本随堂练习 1
[探索题]
某商场一月份销售额为70万元，二月份下降10%，后改进管理，月销售额大幅度上升，四月份的销售额达112万元，求三月、四月平均每月增长的百分率。
四、课堂总结
列方程解应用题的关键在于找未知量与已知量之间的相等关系，正确合理地建立模型。在分析数量关系时，一般可采用一些辅助手段，如“列表法”、“译式法”、“图示法”等。
五、布置作业
课本练习1、2
板书设计：
一、 黄金分割
二、 例题
三、 练习
四、 小结
五、 作业
学生演板
0.618
方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式
注意：黄金比的准确数为，近似数为0.618.
学生理解领会，参与分析。
学生独立练习。
方程解应用题的三个重要环节：
1、整体地，系统地审清问题；
2、把握问题中的等量关系；
3、正确求解方程并检验解的合理性。
第二章 一元二次方程复习
（复习可以根据学生实际情况用1—2课时进行）
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程的一般形式 （）
例1：关于的方程是一元二次方程，求的取值范围。
策略：看到一元二次方程，就应该要注意到：是否存在着二次项，二次项系数是否为零
2、一元二次方程的根
策略：抓住一点：只要是方程的根，代入方程之后等式仍然成立。
出题一、根据方程根的定义
例2：如果是一元二次方程的根，那么常数的值。
例3：请写出一个两个根分别是1，-2的一元二次方程 。
出题点二、根据多项式的只判断一元二次方程的根
例4：已知关于x的两方程和只有一个相同的根，则这个根是 。
3、两种题型的结合
例5、已知关于x的方一元二次方程有一个根是0，则 。
二、一元二次方程的解法。
1、一元二次方程解法之间的比较
解法
化解成的形式
方程有解的条件
可以得到的简化式
适用情况
备注
因式分解法
无
或
1、平方差
2、提取公因式
适当地运用十字相称法
开平方法
没有一次项
开平方
加绝对值
配方法
数字比较简单，能直接配方的
配成完全平方之后，再展开验证是否正确
公式法
直接不能观察出用何种方法
先计算的值，
正负不要弄错
例6：解下列一元二次方程
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
2、公式法中的问题
一元二次方程的根情况：
A：一元二次方程有两个不相等的实数根
B：一元二次方程有两个相等的实数根
C：一元二次方程无实数根
注意：所有问题能用这些条件的前提是：这个方程必须是一元二次方程。
运用上面的性质来求方程中字母的取值范围
例7：当为何值时，关于的一元二次方程有实数根。
变式一：当为何值时，关于的一元二次方程有实数根。
变式二：当为何值时，关于的方程有两个不相等的实数根。
变式三：当为何值时，关于的一元二次方程无实数根
变式四：当为何值时，关于的方程有两个相等的实数根。
变式五：当为何值时，关于的一元二次方程只有一个实数根。
变式六：当为何值时，关于的方程只有一个实数根。
三、一元二次方程的应用
针对方程的解题手段，抓住题中一些量的关系，自己发现题中的公式。
1、盈利问题：（可列表来分析）
例8：星星超市经销某种品牌食品，购进该商品的单价为每千克2元，物价部门规定该商品销售单价不得高于每千克7元，也不得低于每千克2元。经市场调查发现
，销售单价定为每千克7元时，日销售为60千克；销售单价每降低0.1元，日均多售出2千克。
（1）该商品销售单价定为每千克多少元时，该商品日利润总额为300元？
（2）该超市为提高销售量，决定让利消费者，当该商品销售单价定为每千克多少元时，该商品的日利润总额为240元？
2、平均增长率问题（注意：是那段时间的平均增长率）
例9：某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视人数的75%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少(精确到1%)？
例10：某省2006年治理水土流失面积400km2，并逐年加大治理力度，每年治理水土流失面积比前一年增长相同的百分点，到2008年底，这三个月共治理流失面积1324 km2，求该省2006~20008年每年治理水土流失面积比前一年增长的百分数。xkb1.com
3、数字问题（设合理的未知数，会让题目变得简单）
例11：一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位上的数字与个位上的数字对调后所得的数与原数相乘，得736，求这个两位数．
4、面积问题（利用面积公式）
例12：如图，要在长100m，宽90m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，6块绿地面积共8 448m2，求道路的宽．
5、线段问题，（灵活运用勾股定理、直角三角形的面积）
例13：如图，AB⊥BC，AB=10cm，点M以1cm/s的速度从点A开始沿AB边向点B运动，点N同时以2cm/s的速度从点B开始沿BC边向点C运动，则当点M运动多少时间时，△BMN的面积等于24cm2？
第二章 一元二次方程检测题
一、 填空题
1、一元二次方程化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
2、当 时，方程不是一元二次方程。
3、方程的解是 。
4、若方程的一个根为1，则= ，另一个根为 。
5、若方程有两个相等的实数根，则= ，两个根分别为 。
6、 ； 。
7、直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是 。
8、已知的值是10，则代数式的值是 。
二、 选择题
1、下列方程中，一元二次方程是（ ）
（A）（B）（C）（D）
2、方程的解的情况是（ ）
（A）有两个不相等的实数根 （B）没有实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有一个实数根
3、要使分式的值为0，则应该等于（ ）
（A）4或1 （B）4 （C）1 （D）或
4、某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（ ）
（A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元
5、若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
（A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D）无法确定
6、方程的解的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）1或2
7、关于的一元二次方程有实数根，则（ ）
（A）＜0 （B）＞0 （C）≥0 （D）≤0
三、 解下列方程
1、 2、
3、 4、
5、2（用配方法） 6、
四、 解答题
1、如图，在正方形ABCD中,AB是4㎝,△BEC的面积是△DEF面积的4倍,则DE的长是多少？
2、某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。
3、用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个举行的长和宽。又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
4、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
5、某人购买了1000元债券，定期一年，到期兑换后他用去了440元，然后把剩下的钱又全部购买了这种债券，定期仍为一年，到期后他兑现得款624元。求这种债券的年利率。
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