【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§5.1～5.3.2)【讲义+习题】

再练一课(范围：§5.1～5.3.2)

一、单项选择题

1．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1,2]上的平均速度为(　　)

A．－6  B．2  C．－2  D．6

答案　A

解析　平均速度为＝＝－6.

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝－1，则 等于(　　)

A．－1   B．－3

C．－2   D．－

答案　D

解析　由导数定义和f′＝－1，

得 ＝＝－.

3．已知函数f(x)＝x3－4x，则f(x)的极大值点为(　　)

A．x＝－4   B．x＝4

C．x＝－2   D．x＝2

答案　C

解析　由f(x)＝x3－4x，

得f′(x)＝x2－4.

由f′(x)＝x2－4>0，得x<－2或x>2.

由f′(x)＝x2－4<0，得－2<x<2.

所以函数f(x)的增区间为，.函数f(x)的减区间为.

所以x＝－2是函数的极大值点，x＝2是函数的极小值点．

4．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′x＋m，则(　　)

A．f<f   B．f＝f

C．f>f   D．以上答案都不对

答案　C

解析　∵f(x)＝x2＋2f′x＋m，

∴f′(x)＝2x＋2f′，

∴f′＝2×2＋2f′，

∴f′＝－4，

∴f(x)＝x2－8x＋m，

图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝4，

∴f>f.

5．函数f(x)＝(x2－2x)ex的图象大致是(　　)

答案　B

解析　f′(x)＝ex＋ex＝ex，

令f′(x)>0，解得x>或x<－，

令f′(x)<0，解得－<x<，

所以f(x)＝ex在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以f(x)的两个极值点为±，故排除选项A和选项D，

当x<0时，x2－2x>0，ex>0，所以f(x)＝ex恒为正，排除选项C，

即只有选项B符合要求．

6．设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则(　　)

A．f(2)>e2f(0)，f(2 022)>e2 022f(0)

B．f(2)<e2f(0)，f(2 022)>e2 022f(0)

C．f(2)<e2f(0)，f(2 022)<e2 022f(0)

D．f(2)>e2f(0)，f(2 022)<e2 022f(0)

答案　C

解析　∵函数F(x)＝的导数F′(x)＝＝<0，

∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，

∴F(2)<F(0)，即<，故有f(2)<e2f(0)．

同理可得f(2 022)<e2 022f(0)．

二、多项选择题

7.函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝－1与x＝x0处取得极值，则下列结论正确的有(　　)

A．a<0

B．c<0

C．f(－1)＋f(1)>0

D．函数f′(x)在(－∞，0)上是减函数

答案　BC

解析　因为f(x)＝ax3－bx2＋cx，

所以f′(x)＝3ax2－2bx＋c，

由题图知f(x)的增区间是(－∞，－1)，，减区间是(－1，x0)，所以f′(x)＝3ax2－2bx＋c>0的解集为(－∞，－1)∪，

f′(x)＝3ax2－2bx＋c<0的解集为(－1，x0)，所以a>0，A错误；

因为f(x)在x＝－1与x＝x0处取得极值，则－1，x0是方程3ax2－2bx＋c＝0的根，

由根与系数的关系可知＝－x0<0⇒c<0，B正确；

由图可知x0<1⇒x0－1<0，

由根与系数的关系可知x0－1＝<0，故b<0，

故f(－1)＋f(1)＝－2b>0，C正确；

因为f′(x)＝3ax2－2bx＋c的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝＝<0，

所以f′(x)在上是减函数，在上是增函数，D错误．

8．如果对定义在R上的函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f＋x2f>x1f＋x2f，则称函数y＝f(x)为“H函数”，则下列函数是H函数的是(　　)

A．f(x)＝3x－sin x

B．f(x)＝

C．f(x)＝x3＋3x

D．f(x)＝ex＋x

答案　ACD

解析　对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f＋x2f>x1f＋x2f恒成立，

所以不等式等价于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，

即函数f(x)为定义在R上的增函数，

对于A中，函数f(x)＝3x－sin x，可得f′(x)＝3－cos x>0，

函数f(x)为R上的增函数，符合题意；

对于B中，函数f(x)＝当x>0时，函数y＝ln x为增函数，

当x<0时，函数y＝ln(－x)为减函数，不符合题意；

对于C中，函数f(x)＝x3＋3x，可得f′(x)＝3x2＋3>0，可得f(x)为R上的增函数，符合题意；

对于D中，函数f(x)＝ex＋x，

可得f′(x)＝ex＋1>0，

可得f(x)为R上的增函数，符合题意．

三、填空题

9．已知函数f(x)＝2x，若f(x)的导数f′＝ln 4，则x0＝______.

答案　1

解析　因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2xln 2，

又f′＝ln 4，所以 ＝ln 4＝2ln 2，解得x0＝1.

10．函数f(x)＝(x＋1)ex－1＋a在(1，f(1))处的切线经过点(3,7)，则实数a＝________.

答案　－1

解析　由f(x)＝(x＋1)ex－1＋a，

得f′(x)＝ex－1，f′＝3，f＝a＋2，

而切线过点，从而有＝3，

解得a＝－1.

11．函数f(x)的定义域为开区间，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有______个极小值点．

答案　1

解析　从导函数的图象上可得导数的零点有4个，

其中满足零点左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个．

12．若函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1,1)上存在减区间，则实数a的取值范围是______．

答案　

解析　f(x)＝(－x2＋ax)ex，

则f′(x)＝ex，

函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1,1)上存在减区间，只需－x2＋ax＋a－2x≤0在区间上有解．

记g(x)＝－x2＋x＋a，其对称轴为直线x＝，开口向下，g＝－1－＋a＝1>0，只需g<0，

所以－1＋a－2＋a<0，解得a<.

四、解答题

13．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

解　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，

∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，

∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为

y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.

(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，

∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，

∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，

又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，

∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，

整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，

解得x0＝2或x0＝1，

∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.

14．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．

解　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝k－＝.

当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，

则f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

当k>0时，由f′(x)<0，即<0，

解得0<x<；

由f′(x)>0，即>0，解得x>.

∴当k>0时，f(x)的减区间为，

增区间为.

综上所述，当k≤0时，f(x)的减区间为(0，＋∞)，无增区间；

当k>0时，f(x)的减区间为，增区间为.

15．已知函数f(x)＝－，g(x)＝xln x－x2－x.

(1)求f(x)的极值；

(2)若x∈(1，＋∞)时，f(x)与g(x)的单调性相同，求a的取值范围．

解　(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝，

当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．

所以f(x)有极小值f(1)＝，无极大值．

(2)由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

则g(x)在(1，＋∞)上是增函数，即g′(x)＝1＋ln x－ax－1＝ln x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤在(1，＋∞)上恒成立，

令p(x)＝，x∈(1，＋∞)，则p′(x)＝，

所以当x∈(1，e)时，p′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，p′(x)<0，

所以p(x)在(1，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数，又x∈(1，＋∞)时，p(x)>0，所以p(x)∈，所以a≤0.