![第五章导数及其应用1.1平均变化率 学案01](http://m.enxinlong.com/img-preview/3/3/12457647/0/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![第五章导数及其应用1.1平均变化率 学案02](http://m.enxinlong.com/img-preview/3/3/12457647/0/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
高中第5章 导数及其应用5.1 导数的概念学案设计
展开下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图.
[问题] (1)从图中可以看出,从6时到10时为“气温陡增”的时段,它的数学意义是什么?
(2)如何比较不同时间段内的气温变化的大小?例如:假设6时的气温是25 ℃,10时的气温是29 ℃,12时的气温是30 ℃,那么如何比较从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小?
知识点 函数的平均变化率
函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为eq \f(f(x2)-f(x1),x2-x1).
eq \a\vs4\al()
1.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
2.平均变化率可正可负,也可为零.但是,若函数在某区间上的平均变化率为0,不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.
1.函数f(x)=x2在[1,3]上的平均变化率为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
答案:A
2.已知函数f(x)=2x2-4的图象上两点A,B,且xA=1,xB=1.1,则直线AB的斜率为( )
A.4 B.4x
C.4.2 D.4.02
答案:C
[例1] (链接教科书第174页例1)某病人吃完退烧药,他的体温变化如图所示.
(1)试分别求当x从0 min变化到20 min及x从20 min变化到30 min体温y相对于时间x的平均变化率;
(2)利用(1)的结果说明哪段时间体温变化较快?
[解] (1)当时间x从0 min变到20 min时,体温y相对于时间x的平均变化率为eq \f(38.5-39,20-0)=-0.025(℃/min).
当时间x从20 min变到30 min体温y相对于时间x的平均变化率为eq \f(38-38.5,30-20)=-0.05(℃/min).
(2)由(1)知|-0.05|>|-0.025|,
故体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快.
eq \a\vs4\al()
由函数图象求函数平均变化率的步骤
第一步:求自变量的增量Δx=x2-x1;
第二步:借助图象求函数值的增量Δy=y2-y1;
第三步:求平均变化率eq \f(Δy,Δx)=eq \f(y2-y1,x2-x1).
[跟踪训练]
地高辛是用来治疗心脏病的一种药物,若某病人血液中地高辛的初始剂量为0.5 mg,且x天后血液中剩余的剂量为y mg,y与x的部分数据如下表所示:
将y看成x的函数,分别求函数在[0,2]和[3,5]上的平均变化率.
解:f(x)在[0,2]上的平均变化率为eq \f(0.238-0.5,2-0)=-0.131,
f(x)在[3,5]上的平均变化率为eq \f(0.078-0.164,5-3)=-0.043.
[例2] (链接教科书第175页例3)已知函数f(x)=3x2+5,求f(x):
(1)在区间[0.1,0.2]上的平均变化率;
(2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.
[解] (1)因为f(x)=3x2+5,
所以函数f(x)在区间[0.1,0.2]上的平均变化率为
eq \f(f(0.2)-f(0.1),0.2-0.1)=eq \f(3×0.22+5-3×0.12-5,0.2-0.1)=0.9.
(2)f(x0+Δx)-f(x0)
=3(x0+Δx)2+5-(3xeq \\al(2,0)+5)
=3xeq \\al(2,0)+6x0Δx+3(Δx)2+5-3xeq \\al(2,0)-5
=6x0Δx+3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
eq \f(6x0Δx+3(Δx)2,Δx)=6x0+3Δx.
eq \a\vs4\al()
1.求函数平均变化率的三个步骤
第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1;
第二步,求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);
第三步,求平均变化率eq \f(Δy,Δx)=eq \f(f(x2)-f(x1),x2-x1).
2.求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率,可用eq \f(f(x0+Δx)-f(x0),Δx)的形式.
[跟踪训练]
已知函数f(x)=x+eq \f(1,x),分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快.
解:自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为
eq \f(f(2)-f(1),2-1)=eq \f(2+\f(1,2)-(1+1),1)=eq \f(1,2);
自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为eq \f(f(5)-f(3),5-3)=eq \f(5+\f(1,5)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3+\f(1,3))),2)=eq \f(14,15).
因为eq \f(1,2)
[例3] 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))).
(1)分别求s(t)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2)))上的平均速度;
(2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义.
[解] (1)物体在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4)))上的平均速度为
eq \x\t(v)1=eq \f(s(t2)-s(t1),t2-t1)=eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))-s(0),\f(π,4)-0)=eq \f(\f(\r(2),2)-0,\f(π,4))=eq \f(2\r(2),π).
物体在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2)))上的平均速度为
eq \x\t(v)2=eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))-s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))),\f(π,2)-\f(π,4))=eq \f(1-\f(\r(2),2),\f(π,4))=eq \f(4-2\r(2),π).
(2)由(1)可知eq \x\t(v)1-eq \x\t(v)2=eq \f(4\r(2)-4,π)>0,所以eq \x\t(v)2
求物体运动的平均速度的主要步骤
(1)先计算位移的改变量s(t2)-s(t1);
(2)再计算时间的改变量t2-t1;
(3)得平均速度v=eq \f(s(t2)-s(t1),t2-t1).
[跟踪训练]
一物体按运动方程s(t)=eq \f(1,t)运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为( )
A.-1 B.-eq \f(1,2)
C.-2 D.2
解析:选B eq \x\t(v)=eq \f(s(2)-s(1),2-1)=eq \f(1,2)-1=-eq \f(1,2).
1.某物体的运动方程为s(t)=1-t2,则该物体在[1,2]内的平均速度为( )
A.2 B.3
C.-2 D.-3
解析:选D eq \x\t(v)=eq \f((1-22)-(1-12),2-1)=-3.
2.函数f(x)=5x-3在区间[a,b]上的平均变化率为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:选C 平均变化率为eq \f(f(b)-f(a),b-a)=eq \f(5(b-a),b-a)=5.
3.物体从某一时刻开始运动,设s表示此物体经过时间t走过的路程,显然s是时间t的函数,表示为s=s(t).在运动的过程中测得了一些数据,如下表:
物体在0 s到2 s和10 s到13 s这两段时间内,哪一段时间运动得快?如何刻画物体运动的快慢?
解:通常用平均速度(即路程相对于时间的平均变化率)来比较运动的快慢.
在0 s到2 s这段时间内,物体的平均速度为eq \f(6-0,2-0)=3(m/s);
在10 s到13 s这段时间内,物体的平均速度为eq \f(32-20,13-10)=4(m/s).
显然,物体在后一段时间比前一段时间运动得快.
新课程标准解读
核心素养
1.通过实例分析,了解平均变化率的实际意义
数学抽象
2.体会平均变化率在实际生活中的应用
数学运算
由函数的图象求平均变化率
x
0
1
2
3
4
5
y
0.5
0.345
0.238
0.164
0.113
0.078
由函数解析式求平均变化率
求物体运动的平均速度
t/s
0
2
5
10
13
15
s/m
0
6
9
20
32
44
高中数学湘教版(2019)选择性必修 第二册第1章 导数及其应用1.1 导数概念及其意义导学案及答案: 这是一份高中数学湘教版(2019)选择性必修 第二册第1章 导数及其应用1.1 导数概念及其意义导学案及答案,共5页。
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高中北师大版 (2019)1.1 平均变化率导学案: 这是一份高中北师大版 (2019)1.1 平均变化率导学案,共11页。学案主要包含了平均变化率,瞬时变化率等内容,欢迎下载使用。