高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念第一课时导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念第一课时导学案，共6页。

第一课时 瞬时变化率与导数
在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如：
(1)摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；
(2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
(3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本．
[问题] 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率，它在数学上称为什么？



知识点一 曲线上一点处的切线
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l.这条直线eq \a\vs4\al(l)称为曲线在点P处的切线．
知识点二 瞬时速度与瞬时加速度
1．瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率eq \f(S（t0＋Δt）－S（t0）,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
2．瞬时加速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率eq \f(v（t0＋Δt）－v（t0）,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
eq \a\vs4\al()
瞬时速度与平均速度的区别和联系
区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在某一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度的极限值．
1．如果质点A按照规律s(t)＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2.∴eq \f(Δs,Δt)＝18＋3Δt.
当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于18，即质点A在t0＝3时瞬时速度为18.
2．一质点沿直线作加速运动，假设t秒时的速度为v(t)＝t2＋10，则质点在t＝3时的瞬时加速度a＝________．
解析：质点在t＝3到t＝3＋Δt的时间内平均加速度为
eq \(a,\s\up6(－))＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(v（3＋Δt）－v（3）,Δt)＝eq \f(（3＋Δt）2－32,Δt)＝6＋Δt，
当Δt无限趋近于0时eq \(a,\s\up6(－))无限趋近于6，
即质点在t＝3时瞬时加速度为6.
答案：6
知识点三 导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
即f′(x0)＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0))_eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) .
eq \a\vs4\al()
对导数概念的理解
“Δx→0”的含义是Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.这里的极限思想就是无穷逼近思想，即f′(x0)等于当x0＋Δx无穷逼近x0时，y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数与Δx值的正、负有关吗？
提示：无关．
1．在f′(x0)＝ eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)中，Δx不可能为( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案：C
2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
解析：选C f′(0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(（0＋Δx）2－3（0＋Δx）－02＋3×0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(（Δx）2－3Δx,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (Δx－3)＝－3.故选C.
[例1] (链接教科书第178页例5)用割线逼近切线的方法求曲线f(x)＝x2－1在x＝－2处的切线的斜率．
[解] 设P(－2，3)，Q(－2＋Δx，(－2＋Δx)2－1)，则割线PQ的斜率为kPQ＝eq \f(（－2＋Δx）2－1－3,Δx)＝－4＋Δx，当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数－4.从而曲线y＝f(x)在点P(－2，3)处的切线斜率为－4.
eq \a\vs4\al()
用割线逼近法求曲线在某点处切线斜率的方法
第一步：取点P(x0，y0)附近一点Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))；
第二步：求割线PQ的斜率；
第三步：当Δx→0时，求kPQ趋近于某一个常数m，m即为曲线在点P(x0，y0)处切线的斜率．
[跟踪训练]
用割线逼近的方法求曲线f(x)＝eq \f(1,x)在x＝2处切线的斜率．
解：设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋Δx，\f(1,2＋Δx)))，则割线PQ的斜率为kPQ＝eq \f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝eq \f(－1,2（2＋Δx）).
当Δx→0时，kPQ→－eq \f(1,4)，
从而曲线y＝f(x)＝eq \f(1,x)在x＝2处的切线斜率为k＝－eq \f(1,4).
[例2] (链接教科书第180页例6)一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位：m/s)为y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
[解] 在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6)．
根据导数的定义，eq \f(Δy,Δt)＝eq \f(v（2＋Δt）－v（2）,Δt)
＝eq \f(－（2＋Δt）2＋6（2＋Δt）＋60－（－22＋6×2＋60）,Δt)
＝－Δt＋2，
所以v′(2)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δy,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (－Δt＋2)＝2.
同理可得v′(6)＝－6.
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
eq \a\vs4\al()
1．求运动物体瞬时加速度的三个步骤
(1)求速度的改变量Δv＝v(t0＋Δt)－v(t0)；
(2)求平均加速度eq \(a,\s\up6(－))＝eq \f(Δv,Δt)；
(3)当Δt→0时，求极限eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δv,Δt).
2．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δs,Δt)；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt).
[跟踪训练]
一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解：质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt)＝eq \f(a（2＋Δt）2－4a,Δt)＝4a＋aΔt，
∴eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝4a＝8，
即a＝2.
[例3] (链接教科书第181页例7)利用导数的定义求函数y＝f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
[解] Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(3（Δx）2＋4Δx,Δx)＝3Δx＋4，
∴f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (3Δx＋4)＝4.
eq \a\vs4\al()
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限．
[跟踪训练]
利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解：由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(－（Δx）2－Δx,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (－Δx－1)＝－1.
1．曲线y＝x2＋x在x＝1处切线的斜率为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A 设P(1，2)，Q(1＋Δx，(1＋Δx)2＋1＋Δx)，
则kPQ＝eq \f(（1＋Δx）2＋1＋Δx－2,Δx)＝3＋Δx，
当Δx→0时，kPQ→3.故选A.
2．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________．
解析：因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7teq \\al(2,0)＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，
所以eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，
所以t0＝1.
答案：1
3．求函数y＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数．
解：因为Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－1))＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)，所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx).
所以f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2，
所以函数y＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数为2.
新课程标准解读
核心素养
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想
数学抽象
2.体会极限思想
数学抽象
3.通过函数图象直观理解导数的几何意义
直观想象
求曲线在某点处切线的斜率
求瞬时速度与瞬时加速度
利用定义求函数在某一点处的导数