高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念第1课时学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念第1课时学案，共10页。学案主要包含了以直代曲，曲线的割线和切线，切线的斜率等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程．
导语
“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质．
一、以直代曲
问题1 如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？
提示 当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．
例1 刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_________．
答案 eq \f(3\r(3),2)
解析 S正六边形＝6×eq \f(\r(3),4)＝eq \f(3\r(3),2).
反思感悟 以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想．
跟踪训练1 已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．
答案 eq \f(3,2)
解析 若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝eq \f(1,2)×1×3＝eq \f(3,2).
二、曲线的割线和切线
问题2 如图，过P作割线PQ，当点Q逐渐向P靠近时，有何现象出现？
提示 割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，此时称这条直线l为曲线在点P处的切线．
知识梳理
例2 已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是______；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是______．
答案 5 4.1
解析 当Δx＝1时，割线AB的斜率
k1＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2＋Δx2－1－22＋1,Δx)＝eq \f(2＋12－22,1)＝5；
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率
k2＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2＋0.12－1－22＋1,0.1)＝4.1.
反思感悟 一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线．
跟踪训练2 过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______，过两点(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))的割线的斜率为________．
答案 1 2eq \r(2)－2
解析 由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为k＝eq \f(2－1,1－0)＝1.同理，过两点(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))的割线的斜率为k＝eq \f(\r(2)－1,\f(1,2)－0)＝2eq \r(2)－2.
三、切线的斜率
例3 已知曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3).求曲线在点P(2,4)处的切线方程．
解 ∵点P(2,4)在曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)上，
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(1,3)2＋Δx3＋\f(4,3)－\f(1,3)×23－\f(4,3),Δx)
＝eq \f(4·Δx＋2Δx2＋\f(1,3)Δx3,Δx)
＝4＋2·Δx＋eq \f(1,3)(Δx)2，
当Δx无限趋近于0，eq \f(Δy,Δx)无限趋近于4，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
反思感悟 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，eq \f(Δy,Δx)无限趋近的常数．
跟踪训练3 (1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________．
答案 (3,30)
解析 设点P坐标为(x0，y0)，
则eq \f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq \f(2Δx2＋4x0Δx＋4Δx,Δx)
＝4x0＋4＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，
因此4x0＋4＝16，即x0＝3，
所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.
即点P坐标为(3,30)．
(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．
解 设A(1,2)，B(1＋Δx，f(1＋Δx))，
则kAB＝eq \f(31＋Δx2－1＋Δx－2,Δx)＝5＋3Δx，
当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，
所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
1．知识清单：
(1)以直代曲．
(2)曲线的割线和切线．
(3)求曲线在一点处的切线．
2．方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想．
3．常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想．
1．函数y＝f(x)＝eq \f(1,x)在x＝1处的切线斜率为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 B
解析 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq \f(1,1＋Δx)－eq \f(1,1)＝eq \f(－Δx,1＋Δx)，
所以eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(1,1＋Δx)，
所以当Δx趋近于0时，eq \f(Δy,Δx)趋近于－1.
故函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－1.
2．抛物线y＝x2在点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))处的切线的倾斜角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 B
解析 ∵点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))在抛物线y＝x2上，
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋Δx))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,Δx)＝1＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，eq \f(Δy,Δx)无限趋近于1，
∴在点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.
3．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线斜率为12a，则实数a的值是( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案 B
解析 eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq \f(x＋Δx3－x3,Δx)
＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，
因为当Δx无限趋近于0时，eq \f(Δy,Δx)无限趋近于3x2，
所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k＝12，
所以12a＝12，即a＝1.
4．已知曲线y＝eq \f(1,x)－1上两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋Δx，－\f(1,2)＋Δy))，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
答案 －eq \f(1,6)
解析 由函数的解析式有
Δy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2＋Δx)－1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))＝eq \f(1,2＋Δx)－eq \f(1,2)＝eq \f(－Δx,22＋Δx)，
则eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(－Δx,22＋Δx),Δx)＝eq \f(－1,22＋Δx).
当Δx＝1时，割线AB的斜率为k＝eq \f(－1,22＋Δx)＝eq \f(－1,22＋1)＝－eq \f(1,6).
课时对点练
1．已知函数f(x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x0∈[2,2＋Δx]且Δx无限趋近于0，则在A点处的切线斜率近似为( )
A．f(2) B．f(2＋Δx)
C.eq \f(f2＋Δx－f2,Δx) D．f(x0)
答案 C
解析 由两点割线的斜率，当Δx无限趋近于0时，函数f(x)在A点处的切线斜率近似为eq \f(f2＋Δx－f2,Δx).
2．已知抛物线y＝eq \f(1,4)x2，抛物线上有一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))，Q是抛物线上点P附近的一点，则点Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋Δx，\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx))2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx，\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx))2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋Δx，\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx＋1))2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx，\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋Δx))2))
答案 C
解析 当x＝1＋Δx时，y＝eq \f(1,4)(1＋Δx)2.
3．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则割线AB的斜率为( )
A．2 B．2.3 C．2.09 D．2.1
答案 B
解析 f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
∴kAB＝eq \f(f1.3－f1,1.3－1)＝eq \f(5.69－5,0.3)＝2.3.
4．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是( )
答案 B
解析 单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的．
5．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于－2，则在点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
答案 B
解析 根据题意可知，在点P处切线的斜率为－2，
所以在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，整理可得y＝－2x－1.
6．曲线y＝－eq \f(1,x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－2))处的切线方程是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－eq \f(1,2)
C．y＝4x－4 D．y＝4x－2
答案 C
解析 因为Δy＝－eq \f(1,x＋Δx)＋eq \f(1,x)＝eq \f(Δx,xx＋Δx)，
所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1,xx＋Δx)，
当Δx无限接近于0时，eq \f(Δy,Δx)无限接近于eq \f(1,x2)，所以函数在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－2))处的切线斜率是k＝4，
所以切线方程为y＋2＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即y＝4x－4.
7．当h无限趋近于0时，eq \f(4＋h2－42,h)无限趋近于______，eq \f(\r(4＋h)－\r(4),h)无限趋近于________．
答案 8 eq \f(1,4)
解析 eq \f(4＋h2－42,h)＝eq \f(8h＋h2,h)＝8＋h，
当h无限趋近于0时，8＋h无限趋近于8.
eq \f(\r(4＋h)－\r(4),h)＝eq \f(4＋h－4,h\r(4＋h)＋\r(4))＝eq \f(1,\r(4＋h)＋\r(4))，
当h无限趋近于0时，eq \f(1,\r(4＋h)＋\r(4))无限趋近于eq \f(1,4).
8．过曲线y＝x2上两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，4))和Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋Δx，4＋Δy))作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为______．
答案 4.1
解析 kAB＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx＋2))2－22,Δx)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx))2＋4Δx,Δx)＝Δx＋4，
所以当Δx＝0.1时，AB的斜率为4.1.
9．求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的方程．
解 设点B(2＋Δx，f(2＋Δx))，
则割线AB的斜率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f2＋Δx－f2,Δx)
＝eq \f(－2＋Δx2＋2＋Δx－－4＋2,Δx)
＝eq \f(－4Δx＋Δx－Δx2,Δx)＝－3－Δx，
当Δx无限接近于0时，函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率为k＝－3，
又f(2)＝－22＋2＝－2，
所以切线的方程为y－(－2)＝－3(x－2)，
即3x＋y－4＝0.
10．求曲线y＝eq \r(x)在点(1,1)处的切线方程．
解 ∵点(1,1)在曲线y＝eq \r(x)上，
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\r(1＋Δx)－\r(1),Δx)＝eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)，
当Δx无限趋近于0时，eq \f(Δy,Δx)无限趋近于eq \f(1,2)，
∴在点(1,1)处切线的斜率为eq \f(1,2)，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y＋1＝0.
11．已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1C．k3答案 A
解析 k1＝eq \f(f2－f1,2－1)＝4－1＝3，k2＝eq \f(f3－f2,3－2)＝9－4＝5，k3＝eq \f(f4－f3,4－3)＝16－9＝7，
∴k112．若曲线y＝ax2在x＝a处的切线与直线2x－y－1＝0平行，则a等于( )
A．－1 B．1 C．－1或1 D．－eq \f(1,2)或1
答案 A
解析 根据题意得eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(aa＋Δx2－a·a2,Δx)＝2a2＋a·Δx，当Δx无限接近于0时，
2a2＝2，
∴a＝±1，
当a＝1时，y＝x2，切点是(1,1)，
切线的斜率k＝2，
故切线方程是y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0和直线2x－y－1＝0重合，
故a＝－1.
13．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为( )
A．(2,2) B．(2，－2) C．(－2,2) D．(－2，－2)
答案 B
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(x0＋Δx2－3x0＋Δx－x\\al(2,0)－3x0,Δx)＝eq \f(Δx2＋2x0Δx－3Δx,Δx)＝Δx＋2x0－3，
当Δx无限趋近于0时，eq \f(Δy,Δx)无限趋近于2x0－3，
即k＝2x0－3＝1，
解得x0＝2，y0＝xeq \\al(2,0)－3x0＝4－6＝－2.
故切点坐标为(2，－2)．
14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________________．
答案 3x－y－11＝0
解析 设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，eq \f(Δy,Δx)
＝eq \f(x0＋Δx3＋3x0＋Δx2＋6x0＋Δx－10－x\\al(3,0)＋3x\\al(2,0)＋6x0－10,Δx)
＝3xeq \\al(2,0)＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx，
当Δx无限趋近于0时，eq \f(Δy,Δx)无限趋近于3xeq \\al(2,0)＋6x0＋6
＝3(x0＋1)2＋3.
所以k＝3(x0＋1)2＋3.
当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，
其切线方程为3x－y－11＝0.
15．若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________.
答案 eq \f(1,4)
解析 根据题意，
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(ax＋Δx2＋1－ax2－1,Δx)＝eq \f(2a·x·Δx＋a·Δx2,Δx)＝2ax＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，eq \f(Δy,Δx)无限趋近于2ax，设切点为(x0，y0)，
则2ax0＝1，且y0＝axeq \\al(2,0)＋1，y0＝x0，解得a＝eq \f(1,4).
16．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积．
解 (1)eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2＋x－2,Δx)＝2x＋1＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，eq \f(Δy,Δx)无限趋近于2x＋1，
∴直线l1的斜率k1＝3，
∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，xeq \\al(2,0)＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(xeq \\al(2,0)＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－eq \f(2,3).
∴直线l2的方程为y＝－eq \f(1,3)x－eq \f(22,9)，即3x＋9y＋22＝0.
(2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3x－3，,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f(5,2).))
又∵直线l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(22,3)，0))，
∴所求三角形的面积为S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(22,3)))＝eq \f(125,12).名称
割线
切线
斜率
设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率