数学5.1 导数的概念第3课时导学案及答案

这是一份数学5.1 导数的概念第3课时导学案及答案，共9页。学案主要包含了导数的概念，求函数在某一点处的导数，导函数等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，大家知道，从数学的角度是如何衡量时代的进步的吗？那就是对函数的精细化研究，人们为了更好的研究函数的性质，400年前法国数学家首次提出了导数的概念，在此基础上，大数学家牛顿，莱布尼茨推动了对导数研究的快速前进，后来才有了柯西等人对导数的精确描述，希望同学们也能站在巨人的肩膀上，刻苦学习，深入研究，将来也一定能取得惊人的成就．
一、导数的概念
问题1 瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？
提示 瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义是函数在该点的导数．
知识梳理
1．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
注意点：f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)＝k＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
例1 设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋3Δx))－f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0)),2Δx)＝1，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))等于( )
A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3) C．1 D．－1
答案 A
解析 由题意知eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋3Δx))－f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0)),2Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(3,2)×eq \f(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋3Δx))－f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0)),3Δx)＝eq \f(3,2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))＝1，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))＝eq \f(2,3).
反思感悟 利用定义求函数在某点处的导数，仍然采用“无限逼近”的思想，由割线的斜率无限逼近函数在某点处的切线的斜率，其格式采用的是两点的斜率，故要注意分子、分母的对应关系．
跟踪训练1 已知函数f(x)可导，
则eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f2＋2Δx－f2,2Δx)等于( )
A．f′(x) B．f′(2) C．f(x) D．f(2)
答案 B
解析 因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)，
所以eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f2＋2Δx－f2,2Δx)＝f′(2)．
二、求函数在某一点处的导数
例2 求函数y＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数．
解 ∵Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,1)))
＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx)，
∴eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.
从而f′(1)＝2.
反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(3)求极限eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx).
跟踪训练2 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2 C．2＋Δx D．1
答案 B
解析 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(1＋2Δx＋Δx2－1,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (2＋Δx)＝2.
(2)已知f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，则m的值等于( )
A．－4 B．2 C．－2 D．±2
答案 D
解析 因为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fm＋Δx－fm,Δx)
＝eq \f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq \f(－2,mm＋Δx)，
所以f′(m)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(－2,mm＋Δx)＝－eq \f(2,m2)，
所以－eq \f(2,m2)＝－eq \f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.
三、导函数
问题2 以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
提示 这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)可知
f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数．
知识梳理
导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
注意点：(1)f′(x0)是具体的值，是数值．(2)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．
例3 求函数y＝eq \r(x＋1)(x>－1)的导函数．
解 令f(x)＝eq \r(x＋1)，则f′(x)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋Δx))－fx,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(\r(x＋Δx＋1)－\r(x＋1),Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1)),Δx\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))))
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(1,\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))＝eq \f(1,2\r(x＋1)).
反思感悟 求导函数的一般步骤：
(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．
(2)eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
(3)求极限eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx).
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－eq \f(1,2)x.求f′(x)．
解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－eq \f(1,2)Δx，
∴eq \f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－eq \f(1,2).
∴f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝2x－eq \f(1,2).
1．知识清单：
(1)导数的概念及几何意义．
(2)求函数在某点处的导数．
(3)导函数的概念．
2．方法归纳：定义法．
3．常见误区：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系．
1．若函数f(x)可导，则eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1－Δx－f1,2Δx)等于( )
A．－2f′(1) B.eq \f(1,2)f′(1)
C．－eq \f(1,2)f′(1) D．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
答案 C
解析 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1－Δx－f1,2Δx)
＝－eq \f(1,2)eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f[1＋－Δx]－f1,－Δx)＝－eq \f(1,2)f′(1)．
2．若eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝x2，则f(x)的导函数f′(x)等于( )
A．2x B.eq \f(1,3)x3
C．x2 D．3x2
答案 C
解析 由导数的定义可知，f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝x2.
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2
答案 D
解析 由导数的几何意义知f′(1)＝2.
4．已知函数f(x)＝eq \r(x)，则f′(1)＝ .
答案 eq \f(1,2)
解析 f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq \f(1,2).
课时对点练
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案 B
解析 因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
2．已知某质点的运动方程为s＝2t2－t，其中s的单位是m，t的单位是s，则s′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))为( )
A．3 m/s B．5 m/s C．7 m/s D．9 m/s
答案 C
解析 s′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)
＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(22＋Δt2－2＋Δt－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×22－2)),Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (7＋2Δt)＝7.
3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)等于( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 C
解析 ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f0＋Δx－f0,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fΔx,Δx)＝－1.
4．已知曲线f(x)＝eq \f(1,2)x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝eq \f(1,2)(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－eq \f(1,2)x2－x＝x·Δx＋eq \f(1,2)(Δx)2＋Δx，∴eq \f(Δy,Δx)＝x＋eq \f(1,2)Δx＋1，∴f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝x＋1.
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
5．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为eq \f(π,4)的是( )
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)
答案 BC
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx3－2x0＋Δx－x\\al(3,0)－2x0,Δx)
＝3xeq \\al(2,0)－2＝tan eq \f(π,4)＝1，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
6．(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则eq \(lim,\s\d4(h→0)) eq \f(fx0＋h－fx0,h)的值( )
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
答案 AD
解析 由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关．
7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝ .
答案 3
解析 因为f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(a1＋Δx＋3－a＋3,Δx)＝a.
又因为f′(1)＝3，所以a＝3.
8．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝ .
答案 3
解析 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f′(2)＝3.
9．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2Δx2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16.
∴f′(3)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (2Δx＋16)＝16.
10．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
解 因为eq \f(Δy,Δt)＝eq \f(f2＋Δt－f2,Δt)＝eq \f(32＋Δt－3×2,Δt)＝3，
所以f′(2)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δy,Δt)＝3.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
11．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
答案 A
解析 设切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
12．若曲线y＝f(x)＝x＋eq \f(1,x)上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 y＝x＋eq \f(1,x)上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx＋\f(1,x0＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,x0))),Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x\\al(2,0)＋x0Δx)))＝1－eq \f(1,x\\al(2,0))<1.
即k<1.
13．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是( )
A．0B．0C．0D．0答案 B
解析 由f(x)的图象可知，f(x)在x＝2处的切线斜率大于在x＝3处的切线斜率，且斜率为正，
∴0∴f(3)－f(2)＝eq \f(f3－f2,3－2)，∴f(3)－f(2)可看作过(2，f(2))和(3，f(3))的割线的斜率，由图象可知f′(3)∴014．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为 ．
答案 eq \f(7\r(2),8)
解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝2x＝1，解得x＝eq \f(1,2)，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq \f(7\r(2),8).
15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq \f(f1,f′0)的最小值为 ．
答案 2
解析 由导数的定义，得f′(0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fΔx－f0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) [a·(Δx)＋b]＝b>0.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))∴ac≥eq \f(b2,4)，∴c>0.
∴eq \f(f1,f′0)＝eq \f(a＋b＋c,b)≥eq \f(b＋2\r(ac),b)≥eq \f(2b,b)＝2.
当且仅当a＝c＝eq \f(b,2)时等号成立．
16．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解 设P(x0，y0)，
则y0＝xeq \\al(2,0)＋1，
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx2＋1－x\\al(2,0)＋1,Δx)＝2x0，
所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－xeq \\al(2,0)，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x0x＋1－x\\al(2,0)，,y＝－2x2－1，))
得2x2＋2x0x＋2－xeq \\al(2,0)＝0，
则Δ＝4xeq \\al(2,0)－8(2－xeq \\al(2,0))＝0，
解得x0＝±eq \f(2\r(3),3)，则y0＝eq \f(7,3)，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(7,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(7,3))).