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    第4章 §4.3 4.3.2 第2课时 等比数列的判定与简单应用课件PPT
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    高中数学第4章 数列4.3 等比数列说课课件ppt

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    这是一份高中数学第4章 数列4.3 等比数列说课课件ppt,共60页。PPT课件主要包含了学习目标,随堂演练,课时对点练,内容索引,an=fn,证明等比数列的方法,an-1an+1,a1qn-1,1求a1a2,证明当n≥2时等内容,欢迎下载使用。

    1.体会等比数列与指数函数的关系.2.掌握等比数列的判断及证明方法.3.掌握等比数列中的项的设法.
    一、等比数列的通项公式与函数的关系
    二、等比数列的判定与证明
    三、等比数列中项的设法
    问题1 观察等比数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?
    等比数列的通项公式与指数型函数的关系(1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)= ·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即 .(2)任意指数型函数f(x)=kax(k,a是常数,k≠0,a>0且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为 ,公比为 .
    例1 已知数列 是等比数列,且公比大于0,则“q>1”是数列 是递增数列”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
    延伸探究 1.若 为等比数列,则“a12.设 是等比数列,则“a1反思感悟 判断等比数列的单调性的方法(1)当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列.(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.
    解析 ∵a4·a17=6,a4+a17=5,∴a4与a17为方程x2-5x+6=0的两个根,解得a4=2,a17=3或a4=3,a17=2,∵an>an+1,∴a4=3,a17=2,
    问题2 若数列 的前三项成等比数列,能说明这个数列是等比数列吗?
    提示 不能,要证明一个数列是等比数列,一定要体现出任意性.
    3.通项公式法:an= .
    (2)求证:数列{an}是等比数列.
    反思感悟 判断一个数列是等比数列的常用方法
    (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.(3)等比中项法:若 =anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列.
    得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理,得nSn+1=2(n+1)Sn,
    例3 有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数.
    所以a3=216.所以a=6.
    由题意知第4个数为12q-6.所以6+6q+12q-6=12,
    故所求的四个数为9,6,4,2.
    方法二 设后三个数为4-d,4,4+d,
    解得4-d=6.所以d=-2.故所求得的四个数为9,6,4,2.
    反思感悟 几个数成等比数列的设法
    (3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号是否相同时,可设为a,aq,aq2,aq3.
    跟踪训练3 有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列,则这四个数的和是______.
    解析 设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列.
    解得a=3,q=2.因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45.
    1.知识清单:(1)等比数列与函数的关系.(2)等比数列的判定与证明.(3)等比数列中项的设法.2.方法归纳:定义法、分类讨论.3.常见误区:四个数成等比数列时设成 aq,aq3,未考虑公比为负的情况.
    1.已知等比数列 的公比为q,首项a1>0,则“q<1”是“等比数列为递减数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
    若a1>0,则an=a1qn-1>0,由an+12.在数列 中,如果an=32-n(n=1,2,3,…),那么这个数列是A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列
    解析 因为an=32-n(n=1,2,3,…),
    3.在等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an等于A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1C.(-2)n D.-(-2)n
    解析 设公比为q,则a1q4=-8a1q,又a1≠0,q≠0,所以q3=-8,q=-2,又a5>a2,所以a2<0,a5>0,从而a1>0,即a1=1,故an=(-2)n-1.
    A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列
    解析 由公比q<0可知,该等比数列是摆动数列.
    A.-2 B.2 C.4 D.-4
    解析 由an+1+2an=0知an+1=-2an,
    A.an=2n B.an=2n-1C.an=n D.无法确定
    首项a1=1,公比q=2,所以an=2n-1.
    4.等比数列 不具有单调性,且a5是a4和3a3的等差中项,则数列 的公比q等于A.-1 B.1 C.-2 D.-3
    解析 ∵a5是a4和3a3的等差中项,∴2a5=a4+3a3,得2a1q4=a1q3+3a1q2,
    A.22n-1 B.2n C.22n+1 D.22n-3
    得(an+1-4an)·(an+1+an)=0.又{an}是正项数列,
    由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项,4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式,得an=2×4n-1=22n-1.
    6.(多选)设等比数列 的公比为q,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1, <0.则下列结论正确的是A.01C.a8>1 D.Tn的最大项为T7
    ∴a7>1,0解析 因为an+1=3an且a1=2,
    所以an=2×3n-1.
    8.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为______.
    9.有四个数,前三个数成等差数列,它们的和为12,后三个数成等比数列,它们的和为19,求这四个数.
    解 由于前三个数成等差数列,且它们的和为12,则第二个数为4,设前三个数分别为4-d,4,4+d,由于后三个数成等比数列,
    整理得d2+12d-28=0,解得d=2或d=-14.若d=2,则这四个数分别为2,4,6,9;若d=-14,则这四个数分别为18,4,-10,25.因此,这四个数分别为2,4,6,9或18,4,-10,25.
    10.已知各项均不为0的数列{an}中,a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数成等差数列,证明:a1,a3,a5成等比数列.
    证明 由已知,得2a2=a1+a3, ①
    即a3(a3+a5)=a5(a1+a3).
    又a1,a3,a5均不为0,∴a1,a3,a5成等比数列.
    11.等比数列{an}的公比|q|>1,{an}中有连续四项在集合{-54,-24,-18,36,81}中,则q等于
    解析 ∵{an}中的项必然有正有负,∴q<0.又|q|>1,∴q<-1.由此可得{an}的连续四项为-24,36,-54,81.
    令y=lgax,可得x=ay,故对A,有an= ,非等比数列;对B,an= ,非等比数列;对C,an= ,为等比数列;对D,an= ,非等比数列.
    13.在等比数列 中,首项a1<0,则 是递增数列的充要条件是公比q满足A.q>1 B.q<1 C.0则此时公比q满足0<q<1;再证充分性:∵a1<0,014.在各项为正的递增等比数列 中,a1a2a6=64,a1+a3+a5=21,则an=_______.
    ∵a1+a3+a5=21,
    ∴q=2,∴an=a3qn-3=4×2n-3=2n-1.
    15.已知数列 的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn,若an∈(0,2 022),则称项an为“和谐项”,则数列 的所有“和谐项”的项数为A.10 B.11 C.12 D.13
    解析 由a1=1,an+1=Sn,可得a2=S1=a1=1,当n≥2时,an=Sn-1,又由an+1=Sn,两式相减,可得an+1-an=Sn-Sn-1=an,即an+1=2an,
    又由an∈(0,2 022),即2n-2<2 022,可得n<13,n∈N*,所以“和谐项”共有12项.
    16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列,已知a1=8,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;
    解 设数列{an}的公比为q.由题意,可得an=8qn-1,且0<q<1.由a1+13,4a2,a3+9成等差数列,知8a2=30+a3,所以64q=30+8q2,
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