高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法课时作业

第四章　4.4

A级——基础过关练

1．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)＝(　　)

A．3k－1 B．3k＋1

C．8k D．9k

【答案】C　【解析】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，所以f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.

2．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＜n(n∈N*且n＞1)时，第一步即证下列哪个不等式成立(　　)

A．1＜2　　 B．1＋＜2

C．1＋＋＜2　 D．1＋＜2

【答案】C

3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)

A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确

B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确

C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确

D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)

【答案】B

4．(2022年山南一模)某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立．现已知当n＝7时该命题不成立，那么可推得(　　)

A．当n＝6时该命题不成立

B．当n＝6时该命题成立

C．当n＝8时该命题不成立

D．当n＝8时该命题成立

【答案】A　【解析】由题意可知，P(n)对n＝7不成立，P(n)对n＝6也不成立，否则n＝6时，由已知推得n＝7也成立，与当n＝7时该命题不成立矛盾．

5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)

A．该命题对于n＞2的自然数n都成立

B．该命题对于所有的正偶数都成立

C．该命题何时成立与k取值无关

D．以上答案都不对

【答案】B　【解析】由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又因为n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立．故选B．

6．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为(　　)

A．18 B．36

C．48 D．54

【答案】B　【解析】因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测m的最大值为36.可作如下简要证明：f(n＋1)＝[2(n＋1)＋7]·3n＋1＋9，所以f(n＋1)－f(n)＝(4n＋20)·3n.当n＝1时，该式的值为72，可被36整除；当n≥2时，4n＋20可被4整除，3n可被9整除，则(4n＋20)·3n可被36整除，即证．

7．(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N*)都成立，则以下满足条件的k的值为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】CD　【解析】取n＝1，则＝，＝，>不成立；取n＝2，则＝，＝，>不成立；取n＝3，则＝，＝，>成立；取n＝4，则＝，＝，>成立；下证：当n≥3时，>成立．当n＝3，则＝，＝，>成立；设当n＝k(k≥3)时，有>成立，则当n＝k＋1时，有＝，令t＝，则＝＝3－.因为t>，故>3－＝.因为－＝>0，所以>＝，所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由数学归纳法可知，>对任意的n≥3都成立．故选CD．

8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________．

【答案】f(2n)＞

9．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．

【答案】10　【解析】∵210＝1 024＞103，29＝512＜93，∴n0最小应为10.

10．已知1＝1，1＋3＝4，1＋3＋5＝9，1＋3＋5＋7＝16，….

(1)猜想1＋3＋5＋…＋(2n－1)的值；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

(1)解：猜想1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.

(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边12＝1，

∴左边＝右边．

②假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，

则当n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2.

综上①②，可知1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2对于任意的正整数成立．

B级——能力提升练

11．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)

A．(k＋3)3

B．(k＋2)3

C．(k＋1)3

D．(k＋1)3＋(k＋2)3

【答案】A　【解析】当n＝k时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，左边式子为(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3(k∈N*)，显然只需展开(k＋3)3.

12．(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1

B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2

C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是

D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是

【答案】BC　【解析】由于n∈N*，当n＝1时，左边＝＜，当n＝2时，左边＝＋＝＞成立，故使不等式成立的第一个自然数n0＝2；当n＝k时，左边为＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边为＝＋＋…＋＋＋＝＋＋＋…＋＋，故左边增加的式子是＋－＝－＝.故选BC．

13．对任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________．

【答案】5　【解析】当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.

14．已知数列{an}满足an>0，前n项和为Sn，若a3＝3，且对任意的k∈N*，均有a＝2a2k－1＋1，a2k＋1＝2log2a2k＋1，则a1＝________，S20＝________．

【答案】1　2146　【解析】因为an>0，n∈N*，由已知a3＝3＝2log2a2＋1，a2＝2，2a1＋1＝a＝4，a1＝1，a＝2a3＋1＝24＝16，a4＝4，a5＝2log2a4＋1＝5，a＝2a5＋1＝26，a6＝8，归纳结论a2n－1＝2n－1，a2n＝2n.证明：(1)n＝1，由上面已知成立；假设n＝k时，假设成立，即a2k－1＝2k－1，a2k＝2k，则a2k＋1＝2log2a2k＋1＝2log22k＋1＝2k＋1，a＝2a2k＋1＋1＝22k＋2，a2k＋2＝2k＋1，由数学归纳法知a2n－1＝2n－1，a2n＝2n，对一切n∈N*成立．S20＝(1＋3＋…＋19)＋(2＋22＋…＋210)＝102＋＝2146.

15．各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－a＝2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：＋＋…＋≤对一切n∈N*恒成立．

(1)解：∵a－a＝2，a＝12＝1，∴数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴a＝1＋(n－1)·2＝2n－1.

又∵an＞0，∴an＝.

(2)证明：由(1)知，只需证1＋＋…＋≤.

①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，不等式成立；

当n＝2时，左边＜右边，不等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，

即1＋＋…＋≤.

当n＝k＋1时，左边＝1＋＋…＋＋≤＋＜＋＝＋＝

＝，

∴当n＝k＋1时不等式成立．

由①②知对一切n∈N*不等式恒成立．