人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课时作业

课时分层作业(二十二)　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

C　[∵VC­A′B′C′＝VABC­A′B′C′＝，∴VC­AA′B′B＝1－＝.]

2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)

A．48      B．64  C．16   D．96

[答案]　B

3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于(　　)

A．1∶9   B．1∶8  C．1∶4   D．1∶3

B　[两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B.]

4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(　　)

A.  B.  C.  D.

A　[如图所示，正方体的A′、C′、D、B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，

则正四面体边长为a.

∴正方体表面积S1＝6a2，

正四面体表面积为

S2＝4××(a)2＝2a2，

∴＝＝.]

5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是(　　)

A.＝＋   B.＝＋

C.＝＋   D.＝

C　[由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h′，则根据条件得，

，

消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.

∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，

∴z(x＋y)＝xy，

∴＝＋.]

二、填空题

6．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为        ．

　[设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.]

7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是        ，体积是        ．

　　[S表＝4××12＝，

V体＝·×12× ＝.]

8．长方体ABCD­A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为        ．

　[把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.

①　　　　　②　　　　　　　③

由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为.]

三、解答题

9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．

[解]　以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．

设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，

则

∴

∵VD­ABE＝DE·S△ABE＝V长方体，

同理，VC­ABF＝VD­ACG＝VD­BCH＝V长方体，

∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体．

而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.

10．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．

[解]　如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.

∵S侧＝2S底，

∴·3a·h′＝a2×2.

∴a＝h′.

∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.

∴32＋2＝h′2.

∴h′＝2，∴a＝h′＝6.

∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.

∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.

[等级过关练]

1．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是        ．

8　[如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.

图①　　　　　　　　图②　]

2．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．

[解]　如图，连接EB，EC.四棱锥E­ABCD的体积

V四棱锥E­ABCD＝×42×3＝16.

∵AB＝2EF，EF∥AB，

∴S△EAB＝2S△BEF.

∴V三棱锥F­EBC＝V三棱锥C­EFB＝V三棱锥C­ABE＝V三棱锥E­ABC＝×V四棱锥E­ABCD＝4.

∴多面体的体积V＝V四棱锥E­ABCD＋V三棱锥F­EBC＝16＋4＝20.