2020-2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示综合训练题

这是一份2020-2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示综合训练题，共5页。
第一章　1.3　1.3.2A级——基础过关练1．若a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为(　　)A．4 B．15C．7 D．3【答案】D【解析】因为b＋c＝(2，2，5)，所以a·(b＋c)＝4－6＋5＝3．2．已知A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝3，则点C的坐标为(　　)A． B．C． D．【答案】C【解析】设C(x，y，z)，则＝(－2，－6，－2)，＝(x－4，y－1，z－3)．由＝3，得(－2，－6，－2)＝3(x－4，y－1，z－3)，即有解得点C的坐标为．3．已知A(2，－4，－1)，B(－1，5，1)，C(3，－4，1)，若a＝，b＝，则a＋b对应的点为(　　)A．(5，－9，2) B．(－5，9，－2)C．(5，9，－2) D．(5，－9，－2)【答案】B【解析】a＝＝(－1，0，－2)，b＝＝(－4，9，0)，所以a＋b＝(－5，9，－2)．所以a＋b对应的点为(－5，9，－2)．4．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　)A．3 B．2C． D．5【答案】A【解析】因为a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)，所以|a－b＋2c|＝3．5．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，＋λ与(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为(　　)A．－ B．C．－ D．【答案】A【解析】＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1)．由已知cos120°＝＝＝－，所以λ＜0，λ＝－．故选A．6．记i，j，k为单位正交基底，若向量a＝2i－j＋k，b＝4i＋9j＋k，则这两个向量的位置关系是(　　)A．平行 B．垂直C．重合 D．以上答案都不正确【答案】B【解析】向量a＝2i－j＋k，b＝4i＋9j＋k，则向量a，b的坐标为a＝(2，－1，1)，b＝(4，9，1)．因为a·b＝8－9＋1＝0，故a，b两个向量的位置关系为垂直．7．(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论不正确的是(　　)A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10 D．|a|＝6【答案】ABC【解析】a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，a·b＝22，|a|＝6，所以A，B，C错．8．已知3a－2b＝(－2，0，4)，c＝(－2，1，2)，a·c＝2，|b|＝4，则cos〈b，c〉＝________．【答案】－【解析】(3a－2b)·c＝(－2，0，4)·(－2，1，2)＝12，即3a·c－2b·c＝12．由a·c＝2，得b·c＝－3．又因为|c|＝3，|b|＝4，所以cos〈b，c〉＝＝－．9．设向量a＝(1，－1，0)，a－2b＝(k－1，2k＋2，－2)，且a⊥b，则k＝________．【答案】－5【解析】a＝(1，－1，0)，a－2b＝(k－1，2k＋2，－2)，则b＝[a－(k－1，2k＋2，2)]，解得b＝，由a⊥b得a·b＝0，所以1－＋k＋＝0，所以k＝－5．10．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c．(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值．解：(1)因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．又由b⊥c，得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2)．(2)由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，所以向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为cosθ＝＝－．B级——能力提升练11．(多选)下列各组向量中，是共线向量的是(　　)A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，－24，40)【答案】ABC【解析】对于A，因为b＝－2a，所以a∥b；对于B，因为d＝－3c，所以c∥d；对于C，因为f是零向量，所以e∥f；对于D，因为g≠λh，所以g，h不共线．故选ABC．12．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为(　　)A．(－1，1，2) B．(1，－1，2)C．(2，1，－1) D．(2，4，6)【答案】A【解析】设点D(x，y，z)，则＝(－x，1－y，－z)，＝(－1，0，2)，＝(－x，－y，2－z)，＝(－1，1，0)．因为DB∥AC，DC∥AB，所以∥，∥，即解得所以D(－1，1，2)．13．已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________．【答案】－【解析】因为a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，所以cos120°＝，所以k＝－．14．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝______，μ＝______．【答案】0　0【解析】因为＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，＝(2，－2，6)，由A，B，C三点共线，得∥，即＝＝，解得λ＝0，μ＝0．15．如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长．解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G．所以＝，＝，＝，＝．(1)证明：因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF．(2)因为·＝×1＋×0＋×＝，||＝＝，||＝＝，所以cos〈，〉＝＝＝．(3)||＝＝．