【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点08：指数与指数函数

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[考纲传真]
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
[题型归类]
题型一：指数幂的化简与求值
题型二：指数函数的图象
题型三：指数函数的值域与最值
题型四：指数函数的特征
题型五：指数函数的单调性问题
题型六：指数函数的性质及应用——比较大小
题型七：指数函数的性质及应用——解不等式
题型八：指数函数的性质及应用——恒成立问题
题型九：指数函数的性质及应用——零点交点问题
题型一 指数幂的化简与求值
知识与方法
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n∈N*时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n∈N*时.))
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*)．[来]
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n为偶数.))
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\f(m,n))＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
指数幂的运算规律
指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
►例1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))－eq \f(2,3)＋(0.002)－eq \f(1,2)－10(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(2)－eq \r(3))0.
解析：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))－eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,500)))－eq \f(1,2)－eq \f(10,\r(5)－2)＋1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,27)))eq \f(2,3)＋500eq \f(1,2)－10(eq \r(5)＋2)＋1
＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9).
►例2化简eq \r(4,16x8y4)(x0)；
解析：原式＝＝
＝ab－1.
题型二 指数函数的图象
知识与方法
指数函数的图象与性质
指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
指数函数图象的应用
(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
►例1 若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
►例2若存在负实数使得方程2x－a＝eq \f(1,x－1)成立，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,2) D．(0,1)
解析：选C 在同一坐标系内分别作出函数y＝eq \f(1,x－1)和y＝2x－a的图象，则由图知，当a∈(0,2)时符合要求．
►例3设函数y＝x3与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )．
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 (数形结合法)如图所示．
由1