【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点05：函数的单调性与最值

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[考纲传真]
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
[命题分析]
1．集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小．命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题．
2．高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题.
[题型归类]
1．集合的含义与表示
2．.集合间的基本关系
3．集合的基本运算
4．德摩根定律在集合计算的运用
5．韦恩图在集合与数量关系问题中的运用
6．利用集合的运算求参数
7．集合与其他知识的综合问题
8．集合的新定义问题
题型一：确定函数的单调性(区间)
知识与方法
1．增函数、减函数

2.函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0⇔f(x)在D上是增函数，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＜0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)的增区间为(－∞，－eq \r(a)]和[eq \r(a)，＋∞)，减区间为[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a)]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
3.确定函数单调性的4种方法
(1)定义法．利用定义判断．
(2)导数法．适用于可以求导的函数．
(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)复合函数法．对于函数y＝f(g(x))，先确定y＝f(v)，v＝g(x)的单调性，再利用“同增异减”的原则确定y＝f(g(x))的单调性．
易错警示：确定函数的单调性(区间)，应先求定义域，在定义域内确定单调性(区间)．
4.熟记函数单调性的4个常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反；
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝eq \r(fx)的单调性相同．
5.单调函数的两种等价变形
设任意x1，x2∈[a，b]且x10⇔f(x)在[a，b]上是增函数；eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
►例1 函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：[由x2－2x－8>0，得x>4或x1，,4－\f(a,2)>0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))＋2≤a，))解得4≤a0，
有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
此时，函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)在[eq \r(a)，＋∞)上为增函数；
综上可知，函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)在(0，eq \r(a) ]上为减函数，在[eq \r(a)，＋∞)上为增函数．
方法二 f′(x)＝1－eq \f(a,x2)，令f′(x)>0，则1－eq \f(a,x2)>0，
解得x>eq \r(a)或x