【高考二轮题型复习】2023年高考数学题型精讲精练学案（全国通用）——专题08 导数与函数综合压轴（选填题）（原卷版+解析版）

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函数与导数的综合是高考必考的内容,难度较大，大都以压轴题的形式出现，面对这种类型的题目，大部分考生都会很茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这些题目的特点和解题思路。
函数与导数的综合压轴题主要命题方向：嵌套函数、函数零点、恒成立与存在问题（前三个命题方向在前面的专题已讲）、同构、极值点偏移、隐零点、整数解、凹凸函数、特殊距离、极值与最值的含参问题等，重点考查单调性、极值、零点等知识点，解题主要思路是巧妙处理参数((主要有全分离、半分离、不分离三种策略)，然后再讨论一般的情况，有时还需要通讨论时往从特殊的参数导数值但正或恒负开始，路就是借助导散工具得到函数的单调性,进过条件缩小参数的范围降低难度。整体的解题思路是利用单调性结合图象的特征解决问题，而对于双变量问题往往可以放缩为单变量问题处理。
一、热点题型归纳
题型1.函数同构问题
题型2.极值点偏移问题1（韦达定理）
题型3.极值点偏移问题2（比值、差值代换）
题型4.凹凸函数相关问题
题型5.整数解（根）问题
题型6.隐零点问题
题型7.函数中的特殊距离问题
题型8.极值含参问题
题型9.最值含参问题
题型10.不等式放缩问题
二、最新模考题组练
三、十年高考真题练
【题型1】 函数同构问题
【解题技巧】在某些函数方程、不等式问题中，可以通过等价变形，将方程或不等式变成左右两端结构一致的情形，进而构造函数，运用函数的单调性来解决问题，这种处理问题的方法叫做同构。同构一般用在方程、不等式、函数零点、反函数等相关问题中，用好同构，需要较强的观察能力和一定的解题经验。
常见同构体：；；；；；。
【典例分析】
1. （2023成都高三月考）已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
2．(2022湖南高三期中)若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022江西高三模拟）已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
2．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022浙江高三联考）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.
【题型2】极值点偏移问题1 （韦达定理）
【解题技巧】
函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
【典例分析】
1.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2022·安徽宣城·二模）若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型3】极值点偏移问题2（换元或构造新函数）
【解题技巧】
函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数。
极值点偏移处理方法：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.
1）极值点偏移小题是属于“大题”题型；2）如果只是做小题，可以考虑画出草图，粗略的可以判断真假．
【典例分析】
1.（2022·成都市·高三模拟预测）已知函数有两个极值点，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C． D．
2.已知方程有两个不同的实数根，（），则下列不等式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·广东深圳·高三月考）若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．的取值范围是 C． D．
2.已知，若，且，则与2的关系为
A．B．C．D．大小不确定
3.设且，若，则下列结论中一定正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
【题型4】凹凸函数
【典例分析】
1．（2022·四川成都·一模（理））定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
【变式演练】
1．（2022·山东济宁·高三期中）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．已知在区间上为“凹函数”，则实数a的取值范围为___________．
2．（2022·四川南充高三开学考试）丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数是上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 ____________.
①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；
③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.
【题型5】整数解（根）问题
【解题技巧】
含参整数解个数问题，一般采用数形结合的方法来求解，主要的策略是通过参变分离，研究函数图象的位置关系，寻找临界状态，具体方法有两个：
1）全分离：将含参不等式等价转化为或，进而研究水平直线和函数图象的位置关系，寻找临界状态，求解参数范围.
2）半分离：通过变形将原含参不等式转化成形如的不等式，进而研究两个函数图象的位置关系，寻找临界状态，求解参数范围.
注意：在上述两个方法的选择上，这类题全分离后的函数研究起来一般计算量较大，或要达到全分离需分类讨论，故通常首选半分离.
【典例分析】
1.函数，若不等式最多只有一个整数解，则的取值范用为（ ）
A.B. C. D.
2．（2022·攀枝花·一模）在关于x的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.在关于的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·新疆乌鲁木齐·（文））设，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·苏州高三模拟）若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型6】隐零点问题
【解题技巧】利用零点存在性原理可以估算出隐零点的大小范围，然后再用隐零点的范围去估计所求函数（参数）的范围.
1、不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题：已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
【典例分析】
1.（2022·河南南阳·高三期中（理））若方程存在唯一实根，则实数的取值范围是_____.
2.（2022·浙江高三期中）若存在使对于任意不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三模（理））已知函数，，曲线的图象上不存在点P，使得点P在曲线下方，则符合条件的实数a的取值的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广西·高三专题练习）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：①，使；②当时，取得最小值；③的最小值为2；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①②③ C．①②④ D．①②③④
3.（2022湖北八校联考）若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【题型7】函数中的特殊距离问题
【解题技巧】同底指数与对数函数，以为例
1.“双飞燕”数据：
2.对称轴不变：注意左加右减和上加下减之间的对应关系。
3.对称轴跟随变化：要注意整体平移后的对称轴变化。
【典例分析】
1.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
2.已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．
【变式演练】
1.已知,为自然对数的底数，则的最小值为
A．B．C．D．
2.已知函数，，若成立，则的最小值是
A．B．C．D．
3.已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的所有可能取值构成的集合为__________.
【题型8】极值含参问题
【典例分析】
1．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·江西·赣州市模拟预测）已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江西南昌·三模（理））设，，（为自然对数的底数），若不是函数的极值点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖北·高三阶段练习）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.
【题型9】 最值含参问题
【典例分析】
1．（2022·四川凉山·三模（理））函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·湖南衡阳·三模）设函数，若有最小值，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
2．（2022·黑龙江·高三阶段练习）设函数（表示，中的较小者），则函数的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
3．（2022·山东枣庄·高三期末）已知函数若且的最大值为4，则实数a的值为________．
【题型10】不等式放缩
【典例分析】
1．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））若，不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【变式演练】
1．（2022·广西·高三专题练习）已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江西·赣州市高三阶段练习（理））若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·安徽·合肥高三月考（理））设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．B．C．D．
2．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））设两个实数a，b满足：，则正整数n的最大值为（ ）．（参考数据：）
A．7B．8C．9D．10
3．（2022·安徽埇桥·高三月考）若函数存在两个极值点和，则取值范围为____.
4．（2022·天津·二模）已知函数，若有两个零点，，下列选项中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数有两个极值点，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C． D．
6．（2022·全国·模拟预测）丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·福建·泉州五中高三期中）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·四川·树德中学高二阶段练习）已知，若方程在上有唯一实根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9.在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A.B. C.D.
10.若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11.已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若成立，则的最小值是
A．B．C．D．
13．（2022·河南·许昌高三开学考试（理））已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14.已知函数，若有两个极值点，且，则实数的取值范围为 .
15．（2022·全国·模拟预测）已知函数有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·江西宜春·模拟预测），若的最小值恰好为1，则实数a的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知，若，且对任意恒成立，则k的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
1．（2021·全国乙卷理）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2017·新课标3卷·理）已知函数有唯一零点，则
A．B．C．D．1
3．（2016·新课标1卷·文）若函数在上单调递增，则的取值范围是
A．B．C．D．
4．（2014·新课标I卷·文）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A．B．C．D．
5.（2015·新课标I卷·理）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.（2022·全国乙卷理）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是 .
7.（2013·新课标I卷·理）函数的图象关于直线对称，则 .