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微专题 椭圆的应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练
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这是一份微专题 椭圆的应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共39页。
微专题：椭圆的应用
【考点梳理】
圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力
【典例剖析】
1．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界上首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．桂林山水甲天下，那里水㺯山秀，闻名世界，桂林的山奇特险峻，甲、乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的两点处，甲站在处唱歌时离处有一定距离的乙在处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点，现已知椭圆：上一点，过点作切线，两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心到切线的距离为 （ ）
A． B．10 C． D．7
5．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
4．设集合,则的子集的个数是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．0
5．如图所示，
现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的式子的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．已知点是椭圆上非顶点的动点，，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）
A．r+R B．r+R
C．r+R D．r+R
8．设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为（其中，分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，取3.14），已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为（ ）
A．0.41平方米 B．0.32平方米 C．0.22平方米 D．0.12平方米
10．椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是.
A． B． C． D．
11．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，左，右顶点为，，以线段为直径的圆与椭圆有4个公共点（，2，3，4），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（ ）
①轨道Ⅱ的焦距为；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；
③轨道Ⅱ的长轴长为；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
13．设椭圆的右焦点为，且，方程的两个实数根为，，则点（ ）
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
14．年月日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱．如图所示，地球和月球都绕地月系质心做圆周运动，，，设地球质量为，月球质量为，地月距离为，万有引力常数为，月球绕做圆周运动的角速度为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（ ）
A． B． C． D．
16．地球轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，设太阳半径为R，轨道近日点､远日点离太阳表面的距离分别为，，则地球轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，，其中为中心天体质量，为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为60亿千米，取，则冥王星的公转周期约为（ ）
A．157年 B．220年 C．248年 D．256年
18．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点.电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点A的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在x轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ） cm.
A．10 B．11 C．12 D．13
19．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
20．过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、 单选题
椭圆的应用
一、单选题
21．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为，现太阳光与地面的夹角为，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A． B． C． D．
22．2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”，并在轨驻留3个月，开展舱外维修维护，设备更换，科学应用载荷等一系列操作．已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近地点与地面的距离大约是，远地点与地面的距离大约是，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约是（ ）
A． B． C． D．
23．已知椭圆的左焦点为，有一质点A从处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射无论经过几次反射速率始终保持不变，若质点第一次回到时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为
A． B． C． D．
24．我国的航天事业取得了辉煌的成就，归功于中国共产党的坚强领导，这归功于几代航天人的不懈奋斗.中国工程院院士､中国探月工程总设计师､巴中老乡吴伟仁先生就是其中最杰出的代表人物之一，同学们应当好好学习航天人和航天精神.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆.已知它的近地点(离地面最近的点)距地面千米，远地点(离地面最远的点)距离地面千米，并且､､在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A． B．
C． D．
25．椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
26．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数.已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．
27．设函数的图象由方程确定，对于函数给出下列命题：
：，，恒有成立；
：的图象上存在一点，使得到原点的距离小于；
：对于，恒成立；
则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且，，在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A． B．
C． D．
二、多选题
29．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为
B．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
C．若不变，则越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短
D．若不变，则越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大
31．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．a1+c1=a2+c2 B．a1-c1=a2-c2 C． D．
32．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知R为火星的半径，远火星点N到火星表面的最近距离为，则（ ）
A．椭圆轨道的离心率为
B．圆形轨道的周长为
C．火星半径为
D．近火星点与远火星点的距离为
33．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则
A． B． C． D．
34．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是
A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率约为
三、填空题
35．如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时___________.秒
36．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.
37．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．
38．如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________.
39．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点为的内心，且、、的面积分别为、、，若，则的值为__________．
40．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______.
41．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点､的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时3秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒；已知与的离心率之比为2：5，则___________.
四、解答题
42．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点作轴的垂线交其“辅助圆”于点，当点在点的下方时，称点为点的“下辅助点”．已知椭圆上的点的下辅助点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若的面积等于，求下辅助点的坐标．
43．浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；
（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”. 求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）
44．某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程；
(2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．
45．我国第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆（如图），已知它的近地点距地面的高度为439 km，远地点距地面的高度为2384 km并且，，三点在同一直线上，地球的半径约为6371 km，求卫星运行轨道的方程．（精确到1 km）
46．已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．
47．定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．
（1）写出“倒椭圆”的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．
（2）过“倒椭圆”上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆只有一个公共点．
（3）是否存在直线l与椭圆无公共点，且与“倒椭圆”无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】由椭圆的性质判断A；由结合不等式的性质判断BCD.
【详解】，，即，因为，所以，即，故A错误；
∵，∴，，
，，∴，故B错误；
由B可知，，，则，故C错误；
由B可知，，则，故D正确；
故选：D
2．C
【分析】如图，过作处切线的垂线交于，过分别作切线的垂线交切线于点，利用二倍角公式可求，结合椭圆的定义可求到切线的距离.
【详解】
如图，过作处切线的垂线交于，过分别作切线的垂线交切线于点，
由光学性质可知平分，，
则，
因为，故，所以，
，
故选：C.
3．A
【分析】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，设光速为，推导出，利用椭圆和双曲线的定义可得出，由此可计算得出与的离心率之比.
【详解】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
在图②中，的周长为，
所以，，可得，
在图①中，由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，
，则，
即，
由题意可知，的周长为，即，
所以，.
因此，与的离心率之比为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
4．B
【分析】画出集合表示的图像，根据图像交点的个数，判断出元素的个数，由此求得的子集的个数.
【详解】画出集合表示的图像如下图所示，由图可知有两个元素，故有个子集.
故选：B
【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函数的图像，属于基础题.
5．D
【分析】根据图形关系分析，，辨析为平方处理，结合即可得到离心率的关系.
【详解】由图可知：所以，所以①不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得：，椭圆轨道Ⅱ中可得：，
所以，所以②正确；
，同时平方得：，
所以，
即，由图可得：，
所以，，所以③错误，④正确.
故选：D
【点睛】此题考查椭圆的几何性质，根据几何性质辨析两个椭圆a，b，c的基本关系，涉及等价变形处理离心率关系.
6．B
【分析】采用数形结合，通过延长结合角平分线以及，利用中位线定理以及椭圆的定义，得到，然后根据的范围，可得结果.
【详解】如图，
延长交的延长线于点，
∵，∴.
又为的平分线，∴，
且为的中点.
∵为的中点，∴.
∵，
∴，
∵，且，
∴.
故选：B
【点睛】本题主要考查椭圆的应用，属中档题.
7．A
【解析】画出题意画出图形，结合题设条件和椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而求得卫星远地点离地面的距离.
【详解】由题意，椭圆的离心率，（c为半焦距；a为长半轴）
地球半径为R，卫星近地点离地面的距离为r，可得
联立方程组，，
如图所示，设卫星近地点的距离为，远地点的距离为，
所以远地点离地面的距离为r+
故选：A．
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质的应用，其中解答中结合椭圆的几何性质求得椭圆的长半轴和半焦距是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．D
【分析】若为坐标原点可得，从而可求得，根据，可得轨迹为圆，为直径，从而求得结果.
【详解】若为坐标原点，即为中点，则
又
在以点为圆心的圆上，且为直径
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用轨迹方程求解椭圆中的角度问题，关键是能够利用长度关系确定点的轨迹为圆.
9．C
【分析】根据已知条件求得观众区的面积，由此可得观众区每个座位所占面积.
【详解】由条件可得，竞技场的总面积为平方米，表演区的面积为，
故观众区的面积为平方米，故观众区每个座位所占面积为平方米.
故选：C.
10．A
【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为，直接代入公式可求得面积.
【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.
【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.
11．B
【分析】依据题意可知，可得范围，然后计算，最后根据范围简单计算可得结果.
【详解】，以线段为直径的圆与椭圆有4个公共点，
则，所以，
设，，，
则，
所以．
故选：B
12．C
【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为，分别结合圆的半径R和r分析选项即可求解.
【详解】①由椭圆的性质知，，解得，故正确；
②由①知，所以，
若R不变，r越大，越大，轨道Ⅱ的短轴长越小错误；故错误；
③由①知，故轨道Ⅱ的长轴长为，故正确；
④因为，若r不变，R越大，则越小，
所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据示意图，理解并找出椭圆中与圆半径的关系，是解决问题的关键，属于中档题.
13．C
【解析】根据韦达定理，由题中条件，得到，结合椭圆的性质，求出，即可得出结果.
【详解】因为方程的两个实数根为，，
所以，
又椭圆的右焦点为，且，
所以，
因此，
所以点在圆内.
故选：C.
【点睛】本题主要考查判断点与圆位置关系，考查椭圆的简单应用，属于基础题型.
14．B
【分析】根据题干中的等式结合可求得、、，可得出合适的选项.
【详解】对于AB选项，，由可得，，
所以，，所以，，A错B对；
对于C选项，由可得，C错；
对于D选项，由，可得，
所以，得，D错.
故选：B.
15．C
【分析】根据条件通过作垂线，求得底面圆的半径，将液体的体积看作等于一个底面半径为，高为 的圆柱体积的一半，即可求解答案.
【详解】如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F,
因为MN平行于地面，故 ，
椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，
故 ,
在中， ，即圆柱的底面半径为 ，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为 的圆柱体积的一半，
即为 ，
故选：C.
16．A
【分析】设椭圆的实半轴长为，半焦距为，由题知，进而得，再求离心率即可.
【详解】解：设椭圆的实半轴长为，半焦距为，
因为轨道近日点､远日点离太阳表面的距离分别为，，
所以，
所以，
所以地球轨道所在椭圆的离心力为
故选：A
17．C
【分析】利用列方程组，化简后求得冥王星的公转周期.
【详解】设地球椭圆轨道的半长轴为，公转周期.设冥王星椭圆轨道的半长轴为，公转周期.
则，两式相除并化简得，所以年.
故选：C
【点睛】本小题主要考查椭圆的基本概念，属于基础题.
18．C
【分析】根据题设及椭圆参数关系有求出椭圆参数，利用椭圆的性质知片门放在光线最强处应离灯丝.
【详解】由题设知：，解得，
所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为.
故选：C.
19．C
【分析】对于①，由建立联系；对于②，根据椭圆的性质及不等式的可加性可以判断；对于③，对式子先变形后就可以对③④作出判断.
【详解】由，，得，故①符合题意；
由图可知，，，故②不符合题意；
，，
，，
，故④不符合题意，③符合题意.
故选:C．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是；二是对的变形.
20．D
【解析】分析可知，P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r，且，分直线AB斜率存在及不存在两种情况分别讨论得解．
【详解】如图，
先固定直线AB，设，则，其中为定值，
故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：
接下来寻求半径的表达式，
由，解得，
同理，当时有，，
综上，；
当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，即，
与椭圆方程联立可得，
设，，则由根与系数的关系有，，
，
注意到与异号，故，
设，则，，当，即，此时，故，
又，综上外接圆半径的最小值为.
故选：D．
【点睛】本题以阿波罗尼斯圆为背景，考查直线与椭圆的位置关系以及外接圆半径最小值的求解，考查运算求解能力以及数形结合思想，函数思想等，属于难题．
21．B
【分析】利用球的对称性，作出截面图，从而判断，
【详解】
如图， 是两条与球相切的直线，分别切于点A,C，
与底面交于点B,D，
,
过C作 交于E,C,则，
在 中，
， ， , ，
，求出离心率.
那么椭圆中 ， ,
.
故选：B
【点睛】需要准确得出截面图，理解椭圆的短轴长和篮球的直径是一样的，然后借助平面图形求解，对空间想象能力有一定的要求.
22．A
【分析】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，根据题意列出方程组，解方程组即可.
【详解】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，其中，
根据题意有，，
所以，，
所以椭圆的离心率．
故选：A．
23．D
【分析】利用椭圆的性质可得，由此即可求得椭圆的离心率．
【详解】假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：
球从沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；
球从沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；
球从沿x轴斜向上或向下运动，碰到椭圆上的点A，
反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点B，
经反弹后经过点，此时小球经过的路程是4a．
综上所述，从点沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点时，
小球经过的最大路程是4a，最小路程是．
由题意可得，即，得．
椭圆的离心率为．
故选D．
【点睛】本题考查了椭圆的定义及其性质，考查了椭圆的光学性质及应用，考查了分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．A
【分析】由已知即可求出a，c的值，进而可以求出b的值，从而可以求解．
【详解】由题意可得，，
故，
即，
所以，
所以椭圆的短轴长为．
故选：A．
25．B
【分析】先根据椭圆的标准方程求出,,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.
【详解】解: 由题意可得,, ,
所以,.
①若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,
则所经过的路程为,
②若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,
则所经过的路程为.
③若光线从椭圆一个焦点沿非轴方向出发,
则所经过的路程为
故选:B
【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题.
26．A
【分析】根据题意确定以及，再根据焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数列出等式，化简即可得答案.
【详解】焦点在轴上的椭圆中，
，
所以，
由题意得 ，即 ，即，
解得 ，
故选:A.
27．C
【分析】分类讨论去绝对值可得函数的图象，根据图象以及椭圆和双曲线的性质可得答案.
【详解】当时，方程化为表示椭圆的一部分；
当时，方程化为表示双曲线的一部分；
当时，方程化为表示双曲线的一部分；
所以函数的图象如图所示：
：，，恒有成立，等价于函数在R上为单调递减函数，由图可知，命题正确；
：的图象上存在一点，使得到原点的距离小于.
根据椭圆性质可知，椭圆短轴端点到原点的距离最小为，根据双曲线的性质可知，双曲线的顶点到原点的距离的最小为，故函数的图象上不存在一点，使得到原点的距离小，命题不正确；
：对于，恒成立等价于对于，.
从图象可知，直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率，所以直线与曲线有交点，故命题不正确.
所以、、不正确，正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：分类讨论去绝对值，作出方程所确定的图象，利用图象求解是解题关键.
28．D
【分析】根据题设条件可求椭圆的长半轴长和焦距的关系式，从而可求短半轴长.
【详解】由题设条件可得，，
设椭圆的半长轴长为，半焦距为，则，，
故短半轴长为，
所以短轴长为，
故选：D.
29．AD
【分析】根据给定图形，由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同值判断A；由，结合不等式性质判断B；
由变形推理判断C，D作答.
【详解】观察给定图形，由及得，A正确；
由，得，B不正确；
因，即，有，得，
令，，即有，由给定轨道图知，，
因此，，D正确；而，C不正确.
故选：AD
30．BD
【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为与，分别结合两圆的半径R和r分析选项即可求解.
【详解】设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为，短轴长为，焦距为.
依题意得，解得，.
椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离的最大值为，故A错误；
椭圆轨道Ⅱ的焦距为，故B正确；
椭圆轨道Ⅱ的短轴长，若不变，越大，则越大，故C错误；
椭圆轨道Ⅱ的离心率，若不变，越小，则越大，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：根据示意图理解并找出椭圆中与两圆半径的关系，是解决问题的关键.
31．BD
【分析】由题设信息可得a1>a2，c1>c2和a1-c1=a2-c2，再结合椭圆长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系即可计算判断作答.
【详解】依题意，椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ有共同的一个顶点P和一个焦点F，则它们的中心都在直线PF上，而椭圆轨道Ⅱ在椭圆轨道Ⅰ内，
于是可得a1>a2，c1>c2，即a1+c1>a2+c2，A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|=a1-c1，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|=a2-c2，则有a1-c1=a2-c2，B正确；
由a1-c1=a2-c2得a1+c2=a2+c1，则，，即，
令，，其中分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长，并且有，
于是有，即，，则，C错误，D正确.
故选：BD
32．ABD
【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项
【详解】如图
以线段的中点为原点，所在直线为x轴，以的方向为x轴正方向建立直角坐标系，则可设轨道所在的椭圆的标准方程为，则由已知，
所以，故离心率为，A正确；
以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为，所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为，所以B正确，C错误；
因为近火星点与远火星点的距离为，D正确．
故选：ABD．
33．ABD
【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 ，（*）
，故A正确；
，故B正确；
（*）两式相加，可得，故C不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故D正确.
故选ABD
【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.
34．AD
【解析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C不正确.
【详解】设该椭圆的半长轴长为，半焦距长为.
依题意可得月球半径约为，
，
，
，，，
椭圆的离心率约为，
可得结论A、D项正确，B项错误；
因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.
综上可知，正确的为AD，
故选：AD.
【点睛】本题考查了椭圆几何性质的实际应用，属于基础题.
35．##
【分析】由题意可，得根据椭圆的和双曲线的定义可得，整理得到，从而结合路程速度时间之间的关系可得，求得答案.
【详解】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，光速为，
而与的离心率之比为，即，即，
在图③，
两式相减得：，
即.
在图④中，，
设图④，光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒，
由题意可知：，则，
故（秒），
故答案为：
36．
【分析】过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质和几何位置关系得到，求出，利用中位线的性质、椭圆的定义求出.
【详解】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，，
则，
因为，
故，
所以，
.
故答案为：.
37．
【分析】先连结，可得是边长为2的等边三角形，由此求出的方程，联立直线方程求出点横坐标，再由圆与直线相切于点，求出直线的方程，联立直线与椭圆方程求出点横坐标，最后由即可求出结果.
【详解】
连结，可得是边长为2的等边三角形，所以，
可得直线的斜率，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，直线的方程为，
设，
由解得，
因为圆与直线相切于点，所以，因此，
故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，
因为直线交椭圆于与点，设，可得，
由此可得.
故答案为
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结和椭圆的性质求解，属于常考题型.
38．
【分析】设两球的球心距离为，通过圆锥的轴截面进行分析，根据两球半径可求得；利用三角形相似可求得，进而得到；利用椭圆离心率可构造方程求得结果.
【详解】作出圆锥的轴截面如图所示，
圆锥面与两球相切于两点，则，，
过作，垂足为，连接，，设与交于点，
设两球的球心距离为，
在中，，，；
，，
，，解得：，，
；
由已知条件，知：，即轴截面中，
又，，解得：，
即两球的球心距离为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题以圆锥为载体，考查了椭圆的定义和几何性质，解题关键是能够通过作出圆锥的轴截面，利用轴截面中的线段垂直关系、长度关系，根据椭圆离心率构造出关于球心距离的方程.
39．5
【分析】先根据离心率求得a、c的关系，再根据已知条件用a、c表示出，求得结果.
【详解】据题意，因为离心率
，
设
点为的内心，设半径为r，
得
化简得，
设
故答案为5.
【点睛】本题目考查了椭圆的离心率、定义以及性质，结合三角形类型的知识的综合问题，属于较难题.
三角形的内心：角平分线的交点；
三角形的外心：垂直平分线的交点；
三角形的重心：中线的交点.
40．
【解析】取焦点在轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有为椭圆通径，得，结合及解出代入离心率公式计算即可.
【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系，由及椭圆性质可得，为椭圆通径，
所以，
又，解得
所以截口所在椭圆的离心率为
故答案为：
【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：
（1）求的值，由直接求；
（2）列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．
41．10
【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得和的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，即可解得答案.
【详解】设 ，设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为 ，
而与的离心率之比为2：5，即 ，即 ，
在图①中， ，
两式相减得：，
即.即 的周长为，
在图②中，的周长为,
由题意可知： ，
则 ，故 （秒），
故答案为：.
42．（1）；（2），或，．
【分析】（1）利用已知条件求出椭圆长半轴为，将点代入椭圆方程中，解得，即可得到椭圆的方程．
（2）设点，，则点，，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程，结合三角形的面积，求解下辅助点的坐标．
【详解】（1）椭圆上的点的下辅助点为，
辅助圆的半径为，椭圆长半轴为，
将点代入椭圆方程中，解得，
椭圆的方程为；
（2）设点，，则点，，
将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，
，，故，即，
又，则，
将与，联立可解得或，
下辅助点的坐标为，或，；
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，圆与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
43．（1）；（2）
【分析】（1）根据题意得，解方程组即可得解；
（2）设，，解得，设出直线方程，由焦点到直线的距离大于半径列不等式求解即可.
【详解】（1）由条件
椭圆C的方程为
（2）设地球由近木星点第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为万米时所在位置为，则
设
.
【点睛】本题主要考查了椭圆方程的实际应用，考查了计算能力，属于中档题.
44．(1)
(2)点的坐标为或
【分析】（1）首先椭圆的标准方程为，根据题意得到，，再计算的值即可得到答案.
（2）根据已知条件得到，，设，得到，再解方程组即可.
（1）
设椭圆的标准方程为，
因为，，
所以，，，
于是椭圆的方程为．
（2）
易知，．
因为，，
所以，．
设，则，解得
所以点的坐标为或．
45．.
【分析】根据椭圆的性质，结合题意进行求解即可.
【详解】设卫星运行轨道的方程为：，由题意可知：
，
所以卫星运行轨道的方程为：.
46．1.5288×108km，1.4712×108km
【分析】根据地球到太阳的最大距离是a+c，最小距离是a﹣c，即可求得结论．
【详解】∵椭圆的长半轴长约为1.5×108km，离心率e＝0.0192，
∴半焦距约为2.88×106km，
∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km，最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km．
47．（1）对称轴为a轴（或y轴），对称中心为；；
（2）证明见解析；
（3）不存在；理由见解析；
【分析】（1）根据题干中的新定义“倒椭圆”即可求解．
（2）根据新定义得，，求出；再与联立，通过判别式即可证明．
（3）设l上任意一点，Q不是l与椭圆的公共点，则；Q不是l与倒椭圆的公共点， ；从而Q不是l与、的公共点，则必有，与或，即不存在．
【详解】（1）对称轴为a轴（或y轴），对称中心为；
∵，∴．
（2）设，其中，且，则，，
于是，代入，得，
，
由可得，从而，∴直线AB与椭圆只有一个公共点．
（3）设l上任意一点，
若Q是l与椭圆的公共点，则，
也即Q不是l与椭圆的公共点，则必有；
同理，若Q是l与倒椭圆的公共点，则，
也即Q不是l与倒椭圆的公共点，则必有；
从而Q不是l与、的公共点，则必有，
对于l上任意一点，或，∴不存在符合题意的直线l．
【点睛】本题属于知识创新题，是教材中椭圆的拓展与延伸，解决此题需理解题干的定义，理解题意，考查学生的知识迁移能力、理解能力，属于拔高题．
微专题：椭圆的应用
【考点梳理】
圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力
【典例剖析】
1．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界上首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．桂林山水甲天下，那里水㺯山秀，闻名世界，桂林的山奇特险峻，甲、乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的两点处，甲站在处唱歌时离处有一定距离的乙在处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点，现已知椭圆：上一点，过点作切线，两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心到切线的距离为 （ ）
A． B．10 C． D．7
5．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
4．设集合,则的子集的个数是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．0
5．如图所示，
现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的式子的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．已知点是椭圆上非顶点的动点，，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）
A．r+R B．r+R
C．r+R D．r+R
8．设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为（其中，分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，取3.14），已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为（ ）
A．0.41平方米 B．0.32平方米 C．0.22平方米 D．0.12平方米
10．椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是.
A． B． C． D．
11．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，左，右顶点为，，以线段为直径的圆与椭圆有4个公共点（，2，3，4），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（ ）
①轨道Ⅱ的焦距为；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；
③轨道Ⅱ的长轴长为；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
13．设椭圆的右焦点为，且，方程的两个实数根为，，则点（ ）
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
14．年月日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱．如图所示，地球和月球都绕地月系质心做圆周运动，，，设地球质量为，月球质量为，地月距离为，万有引力常数为，月球绕做圆周运动的角速度为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（ ）
A． B． C． D．
16．地球轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，设太阳半径为R，轨道近日点､远日点离太阳表面的距离分别为，，则地球轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，，其中为中心天体质量，为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为60亿千米，取，则冥王星的公转周期约为（ ）
A．157年 B．220年 C．248年 D．256年
18．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点.电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点A的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在x轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ） cm.
A．10 B．11 C．12 D．13
19．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
20．过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、 单选题
椭圆的应用
一、单选题
21．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为，现太阳光与地面的夹角为，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A． B． C． D．
22．2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”，并在轨驻留3个月，开展舱外维修维护，设备更换，科学应用载荷等一系列操作．已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近地点与地面的距离大约是，远地点与地面的距离大约是，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约是（ ）
A． B． C． D．
23．已知椭圆的左焦点为，有一质点A从处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射无论经过几次反射速率始终保持不变，若质点第一次回到时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为
A． B． C． D．
24．我国的航天事业取得了辉煌的成就，归功于中国共产党的坚强领导，这归功于几代航天人的不懈奋斗.中国工程院院士､中国探月工程总设计师､巴中老乡吴伟仁先生就是其中最杰出的代表人物之一，同学们应当好好学习航天人和航天精神.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆.已知它的近地点(离地面最近的点)距地面千米，远地点(离地面最远的点)距离地面千米，并且､､在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A． B．
C． D．
25．椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
26．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数.已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．
27．设函数的图象由方程确定，对于函数给出下列命题：
：，，恒有成立；
：的图象上存在一点，使得到原点的距离小于；
：对于，恒成立；
则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且，，在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A． B．
C． D．
二、多选题
29．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为
B．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
C．若不变，则越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短
D．若不变，则越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大
31．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．a1+c1=a2+c2 B．a1-c1=a2-c2 C． D．
32．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知R为火星的半径，远火星点N到火星表面的最近距离为，则（ ）
A．椭圆轨道的离心率为
B．圆形轨道的周长为
C．火星半径为
D．近火星点与远火星点的距离为
33．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则
A． B． C． D．
34．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是
A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率约为
三、填空题
35．如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时___________.秒
36．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.
37．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．
38．如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________.
39．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点为的内心，且、、的面积分别为、、，若，则的值为__________．
40．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______.
41．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点､的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时3秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒；已知与的离心率之比为2：5，则___________.
四、解答题
42．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点作轴的垂线交其“辅助圆”于点，当点在点的下方时，称点为点的“下辅助点”．已知椭圆上的点的下辅助点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若的面积等于，求下辅助点的坐标．
43．浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；
（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”. 求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）
44．某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程；
(2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．
45．我国第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆（如图），已知它的近地点距地面的高度为439 km，远地点距地面的高度为2384 km并且，，三点在同一直线上，地球的半径约为6371 km，求卫星运行轨道的方程．（精确到1 km）
46．已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．
47．定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．
（1）写出“倒椭圆”的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．
（2）过“倒椭圆”上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆只有一个公共点．
（3）是否存在直线l与椭圆无公共点，且与“倒椭圆”无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】由椭圆的性质判断A；由结合不等式的性质判断BCD.
【详解】，，即，因为，所以，即，故A错误；
∵，∴，，
，，∴，故B错误；
由B可知，，，则，故C错误；
由B可知，，则，故D正确；
故选：D
2．C
【分析】如图，过作处切线的垂线交于，过分别作切线的垂线交切线于点，利用二倍角公式可求，结合椭圆的定义可求到切线的距离.
【详解】
如图，过作处切线的垂线交于，过分别作切线的垂线交切线于点，
由光学性质可知平分，，
则，
因为，故，所以，
，
故选：C.
3．A
【分析】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，设光速为，推导出，利用椭圆和双曲线的定义可得出，由此可计算得出与的离心率之比.
【详解】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
在图②中，的周长为，
所以，，可得，
在图①中，由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，
，则，
即，
由题意可知，的周长为，即，
所以，.
因此，与的离心率之比为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
4．B
【分析】画出集合表示的图像，根据图像交点的个数，判断出元素的个数，由此求得的子集的个数.
【详解】画出集合表示的图像如下图所示，由图可知有两个元素，故有个子集.
故选：B
【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函数的图像，属于基础题.
5．D
【分析】根据图形关系分析，，辨析为平方处理，结合即可得到离心率的关系.
【详解】由图可知：所以，所以①不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得：，椭圆轨道Ⅱ中可得：，
所以，所以②正确；
，同时平方得：，
所以，
即，由图可得：，
所以，，所以③错误，④正确.
故选：D
【点睛】此题考查椭圆的几何性质，根据几何性质辨析两个椭圆a，b，c的基本关系，涉及等价变形处理离心率关系.
6．B
【分析】采用数形结合，通过延长结合角平分线以及，利用中位线定理以及椭圆的定义，得到，然后根据的范围，可得结果.
【详解】如图，
延长交的延长线于点，
∵，∴.
又为的平分线，∴，
且为的中点.
∵为的中点，∴.
∵，
∴，
∵，且，
∴.
故选：B
【点睛】本题主要考查椭圆的应用，属中档题.
7．A
【解析】画出题意画出图形，结合题设条件和椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而求得卫星远地点离地面的距离.
【详解】由题意，椭圆的离心率，（c为半焦距；a为长半轴）
地球半径为R，卫星近地点离地面的距离为r，可得
联立方程组，，
如图所示，设卫星近地点的距离为，远地点的距离为，
所以远地点离地面的距离为r+
故选：A．
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质的应用，其中解答中结合椭圆的几何性质求得椭圆的长半轴和半焦距是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．D
【分析】若为坐标原点可得，从而可求得，根据，可得轨迹为圆，为直径，从而求得结果.
【详解】若为坐标原点，即为中点，则
又
在以点为圆心的圆上，且为直径
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用轨迹方程求解椭圆中的角度问题，关键是能够利用长度关系确定点的轨迹为圆.
9．C
【分析】根据已知条件求得观众区的面积，由此可得观众区每个座位所占面积.
【详解】由条件可得，竞技场的总面积为平方米，表演区的面积为，
故观众区的面积为平方米，故观众区每个座位所占面积为平方米.
故选：C.
10．A
【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为，直接代入公式可求得面积.
【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.
【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.
11．B
【分析】依据题意可知，可得范围，然后计算，最后根据范围简单计算可得结果.
【详解】，以线段为直径的圆与椭圆有4个公共点，
则，所以，
设，，，
则，
所以．
故选：B
12．C
【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为，分别结合圆的半径R和r分析选项即可求解.
【详解】①由椭圆的性质知，，解得，故正确；
②由①知，所以，
若R不变，r越大，越大，轨道Ⅱ的短轴长越小错误；故错误；
③由①知，故轨道Ⅱ的长轴长为，故正确；
④因为，若r不变，R越大，则越小，
所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据示意图，理解并找出椭圆中与圆半径的关系，是解决问题的关键，属于中档题.
13．C
【解析】根据韦达定理，由题中条件，得到，结合椭圆的性质，求出，即可得出结果.
【详解】因为方程的两个实数根为，，
所以，
又椭圆的右焦点为，且，
所以，
因此，
所以点在圆内.
故选：C.
【点睛】本题主要考查判断点与圆位置关系，考查椭圆的简单应用，属于基础题型.
14．B
【分析】根据题干中的等式结合可求得、、，可得出合适的选项.
【详解】对于AB选项，，由可得，，
所以，，所以，，A错B对；
对于C选项，由可得，C错；
对于D选项，由，可得，
所以，得，D错.
故选：B.
15．C
【分析】根据条件通过作垂线，求得底面圆的半径，将液体的体积看作等于一个底面半径为，高为 的圆柱体积的一半，即可求解答案.
【详解】如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F,
因为MN平行于地面，故 ，
椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，
故 ,
在中， ，即圆柱的底面半径为 ，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为 的圆柱体积的一半，
即为 ，
故选：C.
16．A
【分析】设椭圆的实半轴长为，半焦距为，由题知，进而得，再求离心率即可.
【详解】解：设椭圆的实半轴长为，半焦距为，
因为轨道近日点､远日点离太阳表面的距离分别为，，
所以，
所以，
所以地球轨道所在椭圆的离心力为
故选：A
17．C
【分析】利用列方程组，化简后求得冥王星的公转周期.
【详解】设地球椭圆轨道的半长轴为，公转周期.设冥王星椭圆轨道的半长轴为，公转周期.
则，两式相除并化简得，所以年.
故选：C
【点睛】本小题主要考查椭圆的基本概念，属于基础题.
18．C
【分析】根据题设及椭圆参数关系有求出椭圆参数，利用椭圆的性质知片门放在光线最强处应离灯丝.
【详解】由题设知：，解得，
所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为.
故选：C.
19．C
【分析】对于①，由建立联系；对于②，根据椭圆的性质及不等式的可加性可以判断；对于③，对式子先变形后就可以对③④作出判断.
【详解】由，，得，故①符合题意；
由图可知，，，故②不符合题意；
，，
，，
，故④不符合题意，③符合题意.
故选:C．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是；二是对的变形.
20．D
【解析】分析可知，P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r，且，分直线AB斜率存在及不存在两种情况分别讨论得解．
【详解】如图，
先固定直线AB，设，则，其中为定值，
故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：
接下来寻求半径的表达式，
由，解得，
同理，当时有，，
综上，；
当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，即，
与椭圆方程联立可得，
设，，则由根与系数的关系有，，
，
注意到与异号，故，
设，则，，当，即，此时，故，
又，综上外接圆半径的最小值为.
故选：D．
【点睛】本题以阿波罗尼斯圆为背景，考查直线与椭圆的位置关系以及外接圆半径最小值的求解，考查运算求解能力以及数形结合思想，函数思想等，属于难题．
21．B
【分析】利用球的对称性，作出截面图，从而判断，
【详解】
如图， 是两条与球相切的直线，分别切于点A,C，
与底面交于点B,D，
,
过C作 交于E,C,则，
在 中，
， ， , ，
，求出离心率.
那么椭圆中 ， ,
.
故选：B
【点睛】需要准确得出截面图，理解椭圆的短轴长和篮球的直径是一样的，然后借助平面图形求解，对空间想象能力有一定的要求.
22．A
【分析】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，根据题意列出方程组，解方程组即可.
【详解】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，其中，
根据题意有，，
所以，，
所以椭圆的离心率．
故选：A．
23．D
【分析】利用椭圆的性质可得，由此即可求得椭圆的离心率．
【详解】假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：
球从沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；
球从沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；
球从沿x轴斜向上或向下运动，碰到椭圆上的点A，
反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点B，
经反弹后经过点，此时小球经过的路程是4a．
综上所述，从点沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点时，
小球经过的最大路程是4a，最小路程是．
由题意可得，即，得．
椭圆的离心率为．
故选D．
【点睛】本题考查了椭圆的定义及其性质，考查了椭圆的光学性质及应用，考查了分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．A
【分析】由已知即可求出a，c的值，进而可以求出b的值，从而可以求解．
【详解】由题意可得，，
故，
即，
所以，
所以椭圆的短轴长为．
故选：A．
25．B
【分析】先根据椭圆的标准方程求出,,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.
【详解】解: 由题意可得,, ,
所以,.
①若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,
则所经过的路程为,
②若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,
则所经过的路程为.
③若光线从椭圆一个焦点沿非轴方向出发,
则所经过的路程为
故选:B
【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题.
26．A
【分析】根据题意确定以及，再根据焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数列出等式，化简即可得答案.
【详解】焦点在轴上的椭圆中，
，
所以，
由题意得 ，即 ，即，
解得 ，
故选:A.
27．C
【分析】分类讨论去绝对值可得函数的图象，根据图象以及椭圆和双曲线的性质可得答案.
【详解】当时，方程化为表示椭圆的一部分；
当时，方程化为表示双曲线的一部分；
当时，方程化为表示双曲线的一部分；
所以函数的图象如图所示：
：，，恒有成立，等价于函数在R上为单调递减函数，由图可知，命题正确；
：的图象上存在一点，使得到原点的距离小于.
根据椭圆性质可知，椭圆短轴端点到原点的距离最小为，根据双曲线的性质可知，双曲线的顶点到原点的距离的最小为，故函数的图象上不存在一点，使得到原点的距离小，命题不正确；
：对于，恒成立等价于对于，.
从图象可知，直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率，所以直线与曲线有交点，故命题不正确.
所以、、不正确，正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：分类讨论去绝对值，作出方程所确定的图象，利用图象求解是解题关键.
28．D
【分析】根据题设条件可求椭圆的长半轴长和焦距的关系式，从而可求短半轴长.
【详解】由题设条件可得，，
设椭圆的半长轴长为，半焦距为，则，，
故短半轴长为，
所以短轴长为，
故选：D.
29．AD
【分析】根据给定图形，由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同值判断A；由，结合不等式性质判断B；
由变形推理判断C，D作答.
【详解】观察给定图形，由及得，A正确；
由，得，B不正确；
因，即，有，得，
令，，即有，由给定轨道图知，，
因此，，D正确；而，C不正确.
故选：AD
30．BD
【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为与，分别结合两圆的半径R和r分析选项即可求解.
【详解】设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为，短轴长为，焦距为.
依题意得，解得，.
椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离的最大值为，故A错误；
椭圆轨道Ⅱ的焦距为，故B正确；
椭圆轨道Ⅱ的短轴长，若不变，越大，则越大，故C错误；
椭圆轨道Ⅱ的离心率，若不变，越小，则越大，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：根据示意图理解并找出椭圆中与两圆半径的关系，是解决问题的关键.
31．BD
【分析】由题设信息可得a1>a2，c1>c2和a1-c1=a2-c2，再结合椭圆长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系即可计算判断作答.
【详解】依题意，椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ有共同的一个顶点P和一个焦点F，则它们的中心都在直线PF上，而椭圆轨道Ⅱ在椭圆轨道Ⅰ内，
于是可得a1>a2，c1>c2，即a1+c1>a2+c2，A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|=a1-c1，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|=a2-c2，则有a1-c1=a2-c2，B正确；
由a1-c1=a2-c2得a1+c2=a2+c1，则，，即，
令，，其中分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长，并且有，
于是有，即，，则，C错误，D正确.
故选：BD
32．ABD
【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项
【详解】如图
以线段的中点为原点，所在直线为x轴，以的方向为x轴正方向建立直角坐标系，则可设轨道所在的椭圆的标准方程为，则由已知，
所以，故离心率为，A正确；
以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为，所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为，所以B正确，C错误；
因为近火星点与远火星点的距离为，D正确．
故选：ABD．
33．ABD
【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 ，（*）
，故A正确；
，故B正确；
（*）两式相加，可得，故C不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故D正确.
故选ABD
【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.
34．AD
【解析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C不正确.
【详解】设该椭圆的半长轴长为，半焦距长为.
依题意可得月球半径约为，
，
，
，，，
椭圆的离心率约为，
可得结论A、D项正确，B项错误；
因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.
综上可知，正确的为AD，
故选：AD.
【点睛】本题考查了椭圆几何性质的实际应用，属于基础题.
35．##
【分析】由题意可，得根据椭圆的和双曲线的定义可得，整理得到，从而结合路程速度时间之间的关系可得，求得答案.
【详解】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，光速为，
而与的离心率之比为，即，即，
在图③，
两式相减得：，
即.
在图④中，，
设图④，光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒，
由题意可知：，则，
故（秒），
故答案为：
36．
【分析】过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质和几何位置关系得到，求出，利用中位线的性质、椭圆的定义求出.
【详解】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，，
则，
因为，
故，
所以，
.
故答案为：.
37．
【分析】先连结，可得是边长为2的等边三角形，由此求出的方程，联立直线方程求出点横坐标，再由圆与直线相切于点，求出直线的方程，联立直线与椭圆方程求出点横坐标，最后由即可求出结果.
【详解】
连结，可得是边长为2的等边三角形，所以，
可得直线的斜率，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，直线的方程为，
设，
由解得，
因为圆与直线相切于点，所以，因此，
故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，
因为直线交椭圆于与点，设，可得，
由此可得.
故答案为
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结和椭圆的性质求解，属于常考题型.
38．
【分析】设两球的球心距离为，通过圆锥的轴截面进行分析，根据两球半径可求得；利用三角形相似可求得，进而得到；利用椭圆离心率可构造方程求得结果.
【详解】作出圆锥的轴截面如图所示，
圆锥面与两球相切于两点，则，，
过作，垂足为，连接，，设与交于点，
设两球的球心距离为，
在中，，，；
，，
，，解得：，，
；
由已知条件，知：，即轴截面中，
又，，解得：，
即两球的球心距离为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题以圆锥为载体，考查了椭圆的定义和几何性质，解题关键是能够通过作出圆锥的轴截面，利用轴截面中的线段垂直关系、长度关系，根据椭圆离心率构造出关于球心距离的方程.
39．5
【分析】先根据离心率求得a、c的关系，再根据已知条件用a、c表示出，求得结果.
【详解】据题意，因为离心率
，
设
点为的内心，设半径为r，
得
化简得，
设
故答案为5.
【点睛】本题目考查了椭圆的离心率、定义以及性质，结合三角形类型的知识的综合问题，属于较难题.
三角形的内心：角平分线的交点；
三角形的外心：垂直平分线的交点；
三角形的重心：中线的交点.
40．
【解析】取焦点在轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有为椭圆通径，得，结合及解出代入离心率公式计算即可.
【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系，由及椭圆性质可得，为椭圆通径，
所以，
又，解得
所以截口所在椭圆的离心率为
故答案为：
【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：
（1）求的值，由直接求；
（2）列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．
41．10
【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得和的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，即可解得答案.
【详解】设 ，设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为 ，
而与的离心率之比为2：5，即 ，即 ，
在图①中， ，
两式相减得：，
即.即 的周长为，
在图②中，的周长为,
由题意可知： ，
则 ，故 （秒），
故答案为：.
42．（1）；（2），或，．
【分析】（1）利用已知条件求出椭圆长半轴为，将点代入椭圆方程中，解得，即可得到椭圆的方程．
（2）设点，，则点，，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程，结合三角形的面积，求解下辅助点的坐标．
【详解】（1）椭圆上的点的下辅助点为，
辅助圆的半径为，椭圆长半轴为，
将点代入椭圆方程中，解得，
椭圆的方程为；
（2）设点，，则点，，
将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，
，，故，即，
又，则，
将与，联立可解得或，
下辅助点的坐标为，或，；
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，圆与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
43．（1）；（2）
【分析】（1）根据题意得，解方程组即可得解；
（2）设，，解得，设出直线方程，由焦点到直线的距离大于半径列不等式求解即可.
【详解】（1）由条件
椭圆C的方程为
（2）设地球由近木星点第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为万米时所在位置为，则
设
.
【点睛】本题主要考查了椭圆方程的实际应用，考查了计算能力，属于中档题.
44．(1)
(2)点的坐标为或
【分析】（1）首先椭圆的标准方程为，根据题意得到，，再计算的值即可得到答案.
（2）根据已知条件得到，，设，得到，再解方程组即可.
（1）
设椭圆的标准方程为，
因为，，
所以，，，
于是椭圆的方程为．
（2）
易知，．
因为，，
所以，．
设，则，解得
所以点的坐标为或．
45．.
【分析】根据椭圆的性质，结合题意进行求解即可.
【详解】设卫星运行轨道的方程为：，由题意可知：
，
所以卫星运行轨道的方程为：.
46．1.5288×108km，1.4712×108km
【分析】根据地球到太阳的最大距离是a+c，最小距离是a﹣c，即可求得结论．
【详解】∵椭圆的长半轴长约为1.5×108km，离心率e＝0.0192，
∴半焦距约为2.88×106km，
∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km，最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km．
47．（1）对称轴为a轴（或y轴），对称中心为；；
（2）证明见解析；
（3）不存在；理由见解析；
【分析】（1）根据题干中的新定义“倒椭圆”即可求解．
（2）根据新定义得，，求出；再与联立，通过判别式即可证明．
（3）设l上任意一点，Q不是l与椭圆的公共点，则；Q不是l与倒椭圆的公共点， ；从而Q不是l与、的公共点，则必有，与或，即不存在．
【详解】（1）对称轴为a轴（或y轴），对称中心为；
∵，∴．
（2）设，其中，且，则，，
于是，代入，得，
，
由可得，从而，∴直线AB与椭圆只有一个公共点．
（3）设l上任意一点，
若Q是l与椭圆的公共点，则，
也即Q不是l与椭圆的公共点，则必有；
同理，若Q是l与倒椭圆的公共点，则，
也即Q不是l与倒椭圆的公共点，则必有；
从而Q不是l与、的公共点，则必有，
对于l上任意一点，或，∴不存在符合题意的直线l．
【点睛】本题属于知识创新题，是教材中椭圆的拓展与延伸，解决此题需理解题干的定义，理解题意，考查学生的知识迁移能力、理解能力，属于拔高题．
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