2024届高考数学一轮复习第2章第5节指数与指数函数学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第2章第5节指数与指数函数学案，共19页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第五节　指数与指数函数
考试要求：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
2．了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念．
3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．

一、教材概念·结论·性质重现
1．n次方根
(1)根式的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.当na有意义时，na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的性质
①(na)n＝a.
②当n为奇数时，nan＝a．
当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0， -a，a<0.
2．有理数指数幂
幂的有关概念
正数的正分数指数幂：amn=nam=nam (a＞0，m，n∈N*，n＞1)
正数的负分数指数幂：a-mn＝1amn=1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指数幂的运算
性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
3.指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.形如y＝kax(k≠1)，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
4．指数函数的图象与性质

0 a>1
图象


定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x<0时，
y>1；
当x>0时，
0 当x>0时，
y>1；
当x<0时，
0 减函数
增函数
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)nan＝(na)n＝a. (　×　)
(2)－124＝－112＝-1. (　×　)
(3)函数y＝a－x是R上的增函数． (　×　)
(4)函数y＝2x是指数函数． (　√　)
(5)若am0，且a≠1)，则m 2．计算[(－2)6]12－(－1)0的结果为(　　)
A．－9 B．7
C．－10 D．9
B　解析：原式＝26×12－1＝23－1＝7.故选B.
3．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
B　解析：由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.
4．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P2，12，则f(－1)＝_________．
2　解析：由题意知12＝a2，所以a＝22，所以f(x)＝22x，所以f(－1)＝22-1＝2.
5．若函数y＝(a2－1)x在R上为增函数，则实数a的取值范围是_________．
a>2或a<－2　解析：由y＝(a2－1)x在R上为增函数，得a2－1>1，解得a>2或a<－2.


考点1　指数幂的化简与求值——基础性

1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2)-2＝4 B．2a-3＝12a3
C．(－2)0＝-1 D．(a-14)4＝1a
D　解析：对于A，(－2)-2＝14，故A错误；对于B，2a-3＝2a3，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a-14)4＝1a，故D正确．
2．(多选题)已知a＋a-1＝3，在下列各选项中，其中正确的是(　　)
A．a2＋a-2＝7 B．a3＋a-3＝18
C.a12+a-12＝±5 D．aa+1aa＝25
ABD　解析：在选项A中，因为a＋a-1＝3，所以a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a-1＝3，所以a3＋a-3＝(a＋a-1)(a2－1＋a-2)＝(a＋a-1)·[(a＋a-1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a-1＝3，所以a12+a122=a+a-1+2=5，且a>0，所以a12+a-12＝5，故C错误；在选项D中，因为a3＋a-3＝18，且a>0，所以aa+1aa2＝a3＋a-3＋2＝20，所以aa+1aa＝25，故D正确．
3．已知a＞0，b＞0，化简：14-12·4ab-130.1-1·a3b-312＝___________．
85　解析：原式＝2×23·a32·b-3210a32·b-32＝21+3×10-1＝85.
4．计算：-278-23+0.002-12－10(5－2)-1＋π0＝___________．
－1679　解析：原式＝-32-2＋50012-105+25-25+2＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.

1．解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．在运算过程中要先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数，如果底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
2．这类问题的运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一．

考点2　指数函数的图象及应用——综合性

(1)已知函数f(x)＝4＋2ax-1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是(　　)
A．(1，6) B．(1，5)
C．(0，5) D．(5，0)
A　解析：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2ax-1的图象恒过点P(1，6)．故选A.
(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为_________．
(0，1)　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0，1)．


在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？
b≥1或b＝0　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是b≥1或b＝0.



指数函数图象的应用问题的求解方法
(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

1．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝13x的图象的说法正确的是(　　)
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．都在x轴的上方 D．都过点(0，1)
ACD　解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝13x的图象(略)，知两函数的图象关于y轴对称，A项正确．
由指数函数的性质，知选项CD正确．
2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是_________．
[－1，1]　解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.

3．已知实数a，b满足等式12a＝13b，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中可能成立的有_________．(填序号)
①②⑤　解析：函数y1＝12x与y2＝13x的图象如图所示．

由12a＝13b得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．

考点3　指数函数的性质及应用——应用性

考向1　比较大小
(1)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则(　　)
A．b C．b A　解析：因为a＝243＝423>425＝b，c＝2513＝523>423＝a，所以b (2)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)
A．ln (y－x＋1)＞0 B．ln (y－x＋1)＜0
C．ln |x－y|＞0 D．ln |x－y|＜0
A　解析：因为2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y.
因为y＝2x－3－x＝2x－13x在R上单调递增，
所以x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln (y－x＋1)＞ln 1＝0.

比较幂的大小的方法
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
考向2　解指数不等式
若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为_____________．
{x|x＞4或x＜0}　解析：当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
所以f(x)＝2x-4，x≥0，2-x-4，x＜0.
当f(x－2)＞0时，有x-2≥0，2x-2-4＞0或x-2＜0，2-x+2-4＞0，
解得x＞4或x＜0.
所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．

解简单指数不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解，要注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
考向3　指数型函数的单调性
函数f(x)＝12-x2＋2x＋1的单调递减区间为_________．
(－∞，1]　解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝12u在R上为减函数，所以函数f(x)＝12-x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1].

在本例中，若将“f(x)＝12-x2＋2x＋1”改为“f(x)＝2－x2＋2x＋1”，则结果如何？
[1，＋∞)　解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝2u在R上为增函数，所以函数f(x)＝2－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间．又u＝-x2＋2x＋1的单调递减区间为[1，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间为[1，＋∞)．

求函数f(x)＝ag(x)单调性的方法
(1)先将f(x)＝ag(x)视为是由y＝au与u＝g(x)复合而成的．
(2)分别讨论函数y＝au与u＝g(x)的单调性，利用“同增异减”的方法得出函数f(x)＝ag(x)的单调性．
考向4　指数型函数的最值
(1)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝_________．
－32　解析：当a>1时，易知f(x)在[－1，0]上单调递增，
则f-1=-1，f0=0， 即a-1+b=-1，1+b=0， 无解．
当0 则f0=-1，f-1=0，即1+b=-1，a-1+b=0，解得a=12，b=-2.所以a＋b＝－32.
(2)若函数f(x)＝13ax2－4x＋3有最大值3，则a＝_________．
1　解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝13hx.因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此有a>0， 12a-164a=-1，解得a＝1.

1．研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．
2．研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．

1．已知a＝243，b＝225，c＝913，则(　　)
A．b C．b A　解析：a＝243=212 ×43＝223，b＝225，c＝913＝323.由2<3，得a25，得a>b，所以c>a>b.故选A.
2．已知函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1>x2≥1时，f(x)单调递增，则关于a的不等式f(9a＋1) A．(－∞，1) B．(－∞，log32)
C．(log32，1) D．(1，＋∞)
B　解析：因为函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数y＝f(x)关于x＝1对称．
因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)为增函数，所以函数y＝f(x)在(－∞，1]为减函数．不等式f(9a＋1) 即|3a－6|>9a⇒3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)得到：t2－t＋6<0或t2＋t－6<0.
当t2－t＋6<0时，无解．
当t2＋t－6<0时，(t＋3)(t－2)<0，解得t<2，即3a<2，a 3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　)
A．[9，81] B．[3，9]
C．[1，9] D．[1，＋∞)
C　解析：由f(x)的图象过定点(2，1)可知b＝2.因为f(x)＝3x-2在[2，4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝32-2＝1，f(x)max＝f(4)＝34-2＝9.故选C.
4．若函数f(x)＝(2a－1)x-3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________；又f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围是_________．
(3，－1)　12，1　解析：对于函数f(x)＝(2a－1)x-3－2，令x－3＝0，得x＝3，则f(x)＝(2a－1)0－2＝1－2＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．
又∵函数f(x) ＝(2a－1)x-3－2 在R上是减函数，故有0<2a－1<1，求得 12

设a＝3525，b＝2535，c＝2525，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b　　 B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
[四字程序]
读
想
算
思
比较大小
比较大小的方法是什么
式子变换
转化与化归
a, b, c均为幂值的形式
1．利用函数单调性．
2．通过中间量比较大小．
3．作差或商比较
1．构造函数．
2．统一幂指数．
3．化为根式形式
注意分数指数幂的等价变形以及运算法则


思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．
A　解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝25x. 因为0<25<1，所以函数y＝25x为减函数．又因为35>25，所以b＝2535<2525＝c. 再比较a与c，因为ac＝3225>320＝1，且a，c均大于0，所以a>c，所以a>c>b.故选A.

思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．
A　解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝352＝925，b5＝253＝8125，c5＝252＝425，所以a5>c5>b5，即a>c>b.故选A.

思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．
A　解析：因为a＝5925，b＝58125，c＝5425，所以a>c>b.故选A.

1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法3比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法3，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．
2．基于新课程标准，解决比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识．解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．

函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb“拼接”而成．
(1)求F(x)的解析式；
(2)比较ab与ba的大小；
(3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求m的取值范围．

解：(1)依题意得a14=12，14b=12，
解得a=116，b=12，
所以F(x)＝116x，x≤14 ，x12，x>14.
(2)因为ab＝11612=122，ba=12116，
指数函数y＝12x在R上单调递减，
所以122＜12116，即ab＜ba.
(3)由m+4-12＜3-2m-12，得
m+4＞0， 3-2m＞0， m+4＞3-2m，
解得－13＜m＜32，
所以m的取值范围是-13，32.
课时质量评价(十)
A组　全考点巩固练
1．函数y＝16-2x的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[0，4]
C．[0，4)　　　　　　 D．(0，4)
C　解析：函数y＝16-2x中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0，16]，所以16－2x∈[0，16)．故y＝16-2x∈[0，4)．
2．(2022·北京卷) 已知函数f(x)＝11+2x，则对任意实数x，有(　　)
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(－x)＋f(x)＝1
D．f(－x)－f(x)＝13
C　解析：f(－x)＋f(x)＝11+2-x+11+2x＝2x1+2x+11+2x＝1，故A错误，C正确；
f(－x)－f(x)＝11+2-x-11+2x＝2x1+2x-11+2x＝2x-12x+1＝1－22x+1，不是常数，故BD错误．故选C.
3．若00，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b等于(　　)
A．6 B．－2或2
C．－2 D．2
C　解析：因为ab＋a－b＝22，所以a2b＋a-2b＝8－2＝6，
所以(ab－a－b)2＝a2b＋a-2b－2＝4.
因为00，所以ab 4．函数y＝122x-x2的值域为(　　)
A．12，+∞ B．-∞，12
C．0，12 D．(0，2]
A　解析：设t＝2x－x2，t≤1，所以y＝12t，t≤1，所以y∈12 ，+∞.故选A.
5．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝_________．
1　解析：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)，故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)．
因为f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x)，
即x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，整理得到(a－1)(2x＋2－x)＝0，故a＝1.
6．(2022·保定模拟)函数f(x)＝12x-2的定义域是_________．
(－∞，－1]　解析：要使函数f(x)＝12x-2有意义，自变量x须满足：12x－2≥0，解得x≤－1，故函数f(x)＝12x-2的定义域为(－∞，－1].
7．已知函数f(x)＝a|x+1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为_______，f(－4)与f(1)的大小关系是_________．
(1，＋∞)　f(－4)>f(1)　解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x+1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x+1|在(－1，＋∞)上单调递增，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)．
B组　新高考培优练
8．若函数f(x)＝2x+12x-a是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
C　解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2-x+12-x-a＝－2x+12x-a，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，所以a＝1，所以f(x)>3，即为2x+12x-1>3，当x>0时，2x－1>0，所以2x＋1>3·2x－3，解得0 9．(多选题)下列说法中，正确的是(　　)
A．当a>0，且a≠1时，有a3>a2
B．y＝(3)－x是增函数
C．y＝2|x|的最小值为1
D．在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称
CD　解析：当a>1时，a3>a2；当0 10．(2023·枣庄模拟)已知函数f(x)＝m·9x－3x，若存在非零实数x0，使得f(－x0)＝f(x0)成立，则实数m的取值范围是_________．
0，12　解析：由题意可得m·9x－3x＝m·9－x－3－x有解，即m(9x－9－x)＝(3x－3－x)有解，可得1m＝3x＋3－x≥2 ①，求得0＜m≤12.
再由x0为非零实数，可得①中等号不成立，故0＜m＜12.
11．(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝2-x-a，x≤1，-12x+1，x＞1，若f(1)是函数f(x)的最大值，则实数a的取值范围为 _________．
[1，2]　解析：当x＞1时，f(x)＝－12x＋1单调递减，且f(x)＜－12＋1＝12，
当x≤1时，f(x)＝2－|x－a|＝12x-a，在(－∞，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，
若a＜1，x≤1，则f(x)在x＝a处取得最大值，不符合题意；
若a≥1，x≤1，则f(x)在x＝1处取得最大值，
若f(1)是函数f(x)在R上的最大值，则12a-1≥12，解得1≤a≤2.
12．(2022·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12x.
(1)若f(x)＝32，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x<0时，f(x)＝0，此时f(x)＝32无解．
当x≥0时，f(x)＝2x－12x，由2x－12x＝32，
得2·(2x)2－3·2x－2＝0，
看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－12.因为2x>0，所以x＝1.
(2)当t∈[1，2]时，不等式为2t22t-122t＋m2t-12t≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)．
因为t∈[1，2]，所以22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)．
而t∈[1，2]时，－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．