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微专题 数列的单调性与最值 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练
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这是一份微专题 数列的单调性与最值 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共33页。
微专题：数列的单调性与最值
【考点梳理】
数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求.
数列最值：若则an最大；若则an最小.
【题型归纳】
题型一：判断数列的增减性
1．已知等比数列的前项和为，且，则“数列递增”是“数列递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．若等比数列的公比，则为递增数列；
B．若等比数列的公比，为递减数列；
C．常数列既是等差数列又是等比数列；
D．若是等差数列，则是等比数列.
3．已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：确定数列中的最大（小）项
4．已知数列的通项公式为，则数列的前n项和最小时n的值是（ ）
A．4或5 B．4 C．5 D．5或6
5．已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．数列存在最小项 D．数列存在最大项
6．数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列是常数列
B．若，则是递增数列
C．若，则
D．若，则的最小项的值为
题型三：根据数列的单调性求参数
7．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
9．数列{an}满足a1＝1，，若，b1＝－λ，且数列{bn}满足bn＋1＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
10．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11．已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差等于（ ）
A．1 B．2 C．9 D．10
12．在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
13．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
14．已知数列的通项公式为，则数列各项中最大项是（ ）
A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项
15．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得成立的的最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
16．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
17．已知数列的通项公式为，则数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性
18．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．已知数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
21．已知数列的前项和为，，且，满足，数列的前项和为，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．数列的最大项为 D．
22．对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得，，则称是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7
23．数列{an}满足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n为单调递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
24．已知等差数列的前项和记为，则“”是“为单调数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
25．已知等比数列前项和满足（），数列是递增的，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、 单选题
26．已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
27．已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
28．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
29．已知数列满足则数列的最大项为（ ）
A． B． C． D．
30．已知正项数列满足，当最大时，的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
31．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
33．已知曲线在点处的切线为l，数列的首项为1，点为切线l上一点，则数列中的最小项为（ ）
A． B． C． D．
34．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数列
二、多选题
35．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
36．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列，的一个通项公式是
B．数列的图象是一群孤立的点
C．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列
D．数列，，是递增数列
37．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若为中的不同两项，且，则最小值是1 D．若恒成立，则的最小值为
38．在平面四边形ABCD中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前n项和为，则（ ）
A．为等比数列 B．为递减数列
C．为等差数列 D．
三、填空题
39．高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如．已知数列满足，，设数列的前n项和为，则______．
40．已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为____.
41．请写出一个符含下列要求的数列的通项公式：①为无穷数列；②为单调递增数列；③.这个数列的通项公式可以是______.
42．已知，且数列是递增数列，则实数的取值范围是______．
43．已知等差数列的各项均为正数，且数列的前项和为，则数列的最大项为___________.（用数字作答）
44．已知数列满足，，数列是单调递增数列，且，，则实数的取值范围为___________.
四、解答题
45．已知数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最小项的值.
46．已知数列满足：．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．
47．已知数列的前n项和为，，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前n项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数m的最大值.
48．已知数列的通项公式为.
（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由
（2）计算，并判断其符号；
（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？
49．已知数列各项都不为，且满足，
(1)求的通项公式；
(2)若，的前n项和为，求取得最小值时的n的值．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
从“数列递增”和“数列递增”两方面作为条件分别证明结论是否成立即可.
【详解】
因为，且数列递增，所以，因此，所以数列递增，所以“数列递增”是“数列递增”的充分条件；
若数列递增，则，所以，又，所以对成立，即，则，但是的符号不确定，所以数列不一定递增，所以“数列递增”是“数列递增”的不必要条件；
因此“数列递增”是“数列递增”的充分不必要条件.
故选：A
2．D
【解析】
【分析】
对A,B,C举反例判断即可，对D，设，，再根据等比数列的定义判断即可
【详解】
对A，等比数列的首项公比，则为递减数列，故A错误；
对B，等比数列的首项公比，则为递增数列，故B错误；
对C，若常数列满足，则不是等比数列，故C错误；
对D，设，，则，又为常数且不为0，故是等比数列，故D正确；
故选：D
3．A
【解析】
【分析】
由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件即可得出答案.
【详解】
解：设数列的公比为，
若，
则，所以，
则，
，所以，
所以为递减数列；
若为递减数列，
当时，，数列为递减数列，
此时，
所以由为递减数列不一定能得到，
所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．A
【解析】
【分析】
令，求出，再根据数列的符号即可得出答案.
【详解】
解：令，则，
又，
所以数列的前n项和最小时n的值是4或5.
故选：A.
5．C
【解析】
【分析】
对AB，举公比为负数的反例判断即可
对CD，设等比数列公比为，分和两种情况讨论，再得出结论即可
【详解】
对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列；
对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；
当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值
综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误
故选：C
6．D
【解析】
【分析】
由题设可得且()，进而可知时偶数项、奇数项的值分别相等，再结合各项的描述判断正误.
【详解】
当时，，
当时，，则，
而不一定成立，故不一定是常数列，A错误；
由，显然且，即不单调，B错误；
若，则，，故，偶数项为3，奇数项为，
而，C错误；
若，则，，故，偶数项为，奇数项为2，故的最小项的值为，D正确.
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
由数列是单调递增数列，可得，从而有恒成立，由，可求得的取值范围.
【详解】
解：由题意得：
由数列是单调递增数列，所以，
即，即（）恒成立，
又因为数列是单调递减数列
所以当时，取得最大值，所以.
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围
【详解】
因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故选：D
9．C
【解析】
【分析】
由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，，且求得实数的取值范围.
【详解】
解：由得，，则，
由，得，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
由，得，
因为数列满足，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
综上：实数的取值范围是.
故选：C.
10．B
【解析】
【分析】
当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
11．A
【解析】
【分析】
根据给定条件结合等差数列性质计算出，进而求出与即可得解.
【详解】
在等差数列中，依题意，，
解得，而，且为递增数列，即，则，，
所以数列的公差.
故选：A
12．B
【解析】
【分析】
首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
13．D
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.
【详解】
解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，
由于数列满足，
所以对任意的都成立，
故数列单调递增，且满足，，
所以，
解得．
故选：．
14．C
【解析】
【分析】
由给定条件知数列首项不是最大项，利用数列最大项比它前一项和后一项都不小的特点列式即可作答.
【详解】
依题意得，设数列的最大项为，于是有，
从而得，整理得：，解得，而，则，
所以数列各项中最大项是第15项.
故选：C
15．C
【解析】
【分析】
根据求通项公式，注意讨论、并判断是否可合并，再应用裂项法求，最后根据不等式求的最大值即可.
【详解】
当时，；当时，；而也符合，
∴，.又，
∴，要使，
即，得且，则的最大值为19.
故选：C.
16．A
【解析】
【分析】
由与的关系化简即可求出及，可得，分析单调性即可求解.
【详解】
∵,
∴,则,即,
∴.
易知,
∵,
当时, ,
∴当时, ,
当时,,
又,
∴当时, 有最小值.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了数列与的关系，数列的单调性，属于中档题.
17．B
【解析】
【分析】
根据题意，化简，得到，即可求解.
【详解】
由题意，数列的通项公式为，
可得（且），
所以，即数列为递减数列.
故选：B.
18．D
【解析】
【分析】
利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可
【详解】
解：由题意可得，
整理得，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故选：D
19．A
【解析】
【分析】
根据，求得，对恒成立，进而得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，数列的通项为，
则，
即，对恒成立，
当时，取得最小值，所以，
所以“”是“，”的充分不必要条件.
故选：A.
20．D
【解析】
【分析】
根据题意，可知数列的通项公式，根据二次函数的性质可知，当或3时，取得最小值，从而得出答案.
【详解】
解：由题可知，，
由于，所以当或3时，取得最小值，
所以数列的最小项是第2项、第3项.
故选：D.
21．D
【解析】
当且时，由代入可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，由可判断A选项的正误；利用的表达式可判断BC选项的正误；求出，可判断D选项的正误.
【详解】
当且时，由，
由可得，
整理得（且）.
则为以2为首项，以2为公差的等差数列，.
A中，当时，，A选项正确；
B中，为等差数列，显然有，B选项正确；
C中，记，
，
，故为递减数列，
，C选项正确；
D中，，，.
，D选项错误.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：利用与的关系求通项，一般利用来求解，在变形过程中要注意是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用将递推关系转化为有关的递推数列来求解.
22．C
【解析】
【分析】
由数列通项公式写出前n项，结合数列 “谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”.
【详解】
由an＝，则，，，
当n≥7，n∈N*时恒有> 0，
∴an＝＝，此时数列{an}递增，
综上，a2
故选：C.
23．C
【解析】
【分析】
根据给定条件求出数列{an}通项，再由数列{bn}为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答．
【详解】
数列{an}中，an+1＝2an+1，a1＝1，则有an+1+1＝2（an+1），而a1+1＝2，
因此，数列{an+1}是公比为2的等比数列，，即，
则，因数列{bn}为单调递增数列，即∀n∈N*，bn+1﹣bn＞0，
则（2n+1﹣1）﹣（n+1）2+4（n+1）﹣[（2n﹣1）﹣n2+4n]＝⋅2n﹣2n+3＞0，，
令，则，n∈N*，
当n≤2时，cn+1＞cn，当n≥3时，cn+1＜cn，
于是得是数列{cn}的最大项，即当n＝3时，取得最大值，从而得，
所以的取值范围为．
故选： C．
24．A
【解析】
【分析】
由条件求得公差，从而求得，根据一元二次函数的性质，结合对称轴的位置判断命题是充分必要性即可.
【详解】
设公差为d，由，则，，
，对称轴为，
则当时，，对于，数列是单减数列，故“”是“是单调数列”的充分条件；
弱对于，数列是单调数列，根据一元二次函数的性质知，对称轴，即，故“”是“是单调数列”的不必要条件；
综上所说，“”是“是单调数列”的充分不必要条件
故选：A
【点睛】
关键点点睛：根据条件求得公差，及的表达式，利用一元二次函数的性质判断单调性即可.
25．C
【解析】
【分析】
由等比数列前项和满足，分别求出前3 项，利用等比数列中，求出，再根据数列是递增的，且，利用中求出实数的取值范围
【详解】
解：因为等比数列前项和满足（），
所以，
，
，
因为等比数列中，
所以，解得或（舍去），
所以，
因为数列是递增的，
所以，
所以，
因为，所以，
故选：C
26．C
【解析】
先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.
【详解】
因为数列的前n项和，
当时，；
当时，满足上式，
所以，
又，恒成立，所以，恒成立；
令，
则对任意，显然都成立，
所以单调递增，
因此，即的最小值为，
所以，即实数的最大值是.
故选：C
【点睛】
思路点睛：
根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.
27．D
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得．
【详解】
解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，
而在上单调递减，；；，则，且，
当且为偶数时，，
，所以，所以时，取得最大值．
故选：D．
28．D
【解析】
根据题意求出数列的首项和公差，再求出，可得出是单调递增数列，即可判断.
【详解】
设等差数列的公差为，，，
，解得，，
，
，可得是单调递增数列，
所以在，，，中，最大的为．
故选：D.
29．B
【解析】
本题先根据递推公式进行转化得到．然后令，可得出数列是等比数列．即．然后用累乘法可求出数列的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列的最大项．
【详解】
解：由题意，可知：
．
令，则．
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
．
．
，
，
．
各项相乘，可得：
．
．
令，
则，根据二次函数的知识，可知：当或时，取得最小值．
，，
的最小值为．
．
数列的最大项为．
故选：．
【点睛】
本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；
30．B
【解析】
【分析】
先令，两边取对数，再分析的最值即可求解.
【详解】
令，两边取对数，有，
令，则，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以时，取到最大值，从而有最大值，
因此，对于，当时，；当时，.
而，因此，当最大时，.
故选：B
31．D
【解析】
【分析】
根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项.
【详解】
解：若是递增数列，则，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选：D．
32．D
【解析】
【分析】
由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.
【详解】
当时，；
由，当时，，
两式相减，可得，
解得，当时，也符合该式，故．
所以
由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，
故选：D．
33．C
【解析】
【分析】
首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则，从而求出的通项公式，再构造不等式组求出数列中的最小项；
【详解】
因为，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率.
所以切线l的方程为.
所以.
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.
所以.
所以由，解得.
因为，所以.
所以数列中的最小项为.
故选：C.
34．C
【解析】
【分析】
利用作差法判断.
【详解】
因为，
所以数列是递增数列，
故选：C
35．ABD
【解析】
【分析】
根据已知条件求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和；利用裂项相消法可得和，讨论数列的单调性，即可得出的范围.
【详解】
A：由可得，所以等比数列的公比，所以.
由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A正确；
B：，所以B正确；
C：，所以C不正确；
D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.
故选：ABD.
36．ACD
【解析】
【分析】
由可判断A；由数列的通项公式以及可判断B；由数列定义可判断C；
由递减数列定义可判断D．
【详解】
对于A，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A错误；
对于B，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；
对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；
对于D，数列，，是递减数列，故选项D错误．
故选：ACD．
37．ACD
【解析】
【分析】
对于A，从前后两个图之间的关系可求出，对于B，由题意可知，数列是1为首项，为公比的等比数列，从而可求出，对于C，由结合，可得，而，从而可求出的值，则可求出的值，进而可求得最小值，对于D，由在上递增和在上递增，可求得结果.
【详解】
解：对于A，由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以数列是公比为，首项为3的等比数列，所以，所以A正确，
对于B，由题意可知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，所以数列是1为首项，为公比的等比数列，所以，所以B错误，
对于C，由，，得，所以，所以，因为，所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以最小值是1，所以C正确，
对于D，因为在上递增，所以，即，
令，则在上递增，
所以，即，即，
因为恒成立，所以的最小值为，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：此题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，考查数列单调性的应用，解题的关键是正确理解题意，求出数列和的通项公式，考查计算能力，属于较难题
38．BCD
【解析】
【分析】
设与交于点，由面积比得，根据平面向量基本定理得与关系，从而得数列递推关系，然后根据各选项求解数列，判断结论，其中选项D需要用错位相减法求和．
【详解】
设与交于点，，
，
共线，所以存在实数，使得，
所以，
所以，所以，，
所以，，，不是等比数列，A错；
因为，所以，即，所以是等差数列，C正确；
又因为，则，即，，
所以当时，，即，所以是递减数列，B正确；
因为，
，
所以两式相减得
，
所以，D正确．
故选：BCD．
39．2021
【解析】
【分析】
首先利用裂项得到再化简，利用裂项相消求和，再利用高斯函数的定义，即可求解.
【详解】
因为，所以，
所以．
因为，
所以，所以，
所以，
故．
故答案为：
40．7
【解析】
【分析】
先求出的通项公式，然后参变分离转化为求最值
【详解】
令m=1，则an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，
所以λan ≤+12⇒λn≤n2+12⇒λ≤n+，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
当或时，
所以
故答案为：7
41．.
【解析】
【分析】
数列是特殊的函数，利用函数的性质可得答案.
【详解】
因为函数的定义域为，且在上单调递增，，
所以满足3个条件的数列的通项公式可以是，
故答案为：.
42．
【解析】
【分析】
利用递增数列的定义可得，然后参变分离可得.
【详解】
因为是递增数列，
所以对任意的，都有，
即，
整理得，即，
因为，
所以，所以．
故答案为：.
43．1
【解析】
【分析】
由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前和公式，可判定数列为递减数列，进而可得到该数列的最大项.
【详解】
由题，等差数列的各项均为正数，所以，，
且，
所以数列是递增数列，
又，
所以，
即是递减数列，
所以当时，得到数列的最大项为，
故答案为：1
44．
【解析】
【分析】
首先利用递推关系式求出数列和的通项公式，再利用数列的单调性建立不等关系，进一步求出参数的范围．
【详解】
因为，
所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
又
所以，
所以，
又是单调递增数列，
所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，即当时，恒成立，
所以；
又，即，所以．
综上，．
故答案为：．
45．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用可将已知化为，根据与关系可求得通项公式；
（2）由（1）得到，从而得到，由此可确定当时，；当时，，则最小值为，代入通项公式可得到结果.
【详解】
（1），，则，
即，
当时，；
当时，；
经检验适合，
（2）由（1）知： ，，
，
当时，，
当时，；当时，；
又，，当时，有最小值.
【点睛】
易错点睛：在利用与关系求解数列通项公式时，需注意验证首项是否满足时所求解的通项公式，若不满足，则通项公式为分段数列的形式，即.
46．（1），；（2）；（3）.
【解析】
（1）与代入即可求出；（2）由题意得
，两式相减可得，然后构造新数列可得，所以是等比数列，即可求得通项；（3）代入作差可判断出数列前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为，然后可转化为求解.
【详解】
（1）当时，，所以，当时，，得．
（2） 由题可知：， ①
， ②
②－①可得，即，
又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴．
（3）由（2）可得，，
由，可得，
由可得，
所以，
故有最大值，
所以对任意，有，
由题意恒成立，则，
故有， 解得或，
所以实数的取值范围是．
【点睛】
思路点睛：本题考查了数列的通项与最值的问题：
（1）已知与的关系解题时，要注意由求的关系：，根据题目已知条件，通过构造等差数列或等比数列进行求解；
（2）数列的恒成立问题需要转化为数列的最值问题求解，求数列的最值可通过判断数列的单调性进行，解题时通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列的最值.
47．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用可得数列的递推关系，，然后可证明是等比数列；
（2）由（1）求出，即得，利用错位相减法求得，不等式对于恒成立，转化为恒成立，求出的最小值即可得结论．
【详解】
（1）由，
得（），
两式相减得，所以（），
因为，所以，，.
所以是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由，又由（1）可知，得，
∴，则，
两式相减得，
所以.
由恒成立，即恒成立，
又，
故当时，单调递减；当时，；
当时，单调递增；当时，；
则的最小值为，所以实数m的最大值是.
【点睛】
本题考查由求，考查等比数列的证明，等比数列的通项公式，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
48．（1）是，第17项；（2）；大于零；（3），无最大项.
【解析】
【分析】
（1）令,求解即可；
（2）化简即可得,由即可判断其符号；
（3）由（2）可得数列是递增数列,最小项为首项,无最大项
【详解】
（1）是,
令,即,解得,
0.25是数列的项,是第17项
（2）由题,
,,,即
（3）由（2）可得数列是递增数列,则最小项为首项,即,无最大项
【点睛】
本题考查数列的项的判断,考查利用递推公式判断数列增减性,考查数列的最大（小）项
49．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由得时，， ①②得，分奇偶项即可求出
（2）由得，当时，，当时，
当时，取得最小值
（1）①当时，②①②的奇数项和偶数项各自成等差数列且为奇数），（为偶数
（2），当时，，当时，当时，取得最小值
微专题：数列的单调性与最值
【考点梳理】
数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求.
数列最值：若则an最大；若则an最小.
【题型归纳】
题型一：判断数列的增减性
1．已知等比数列的前项和为，且，则“数列递增”是“数列递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．若等比数列的公比，则为递增数列；
B．若等比数列的公比，为递减数列；
C．常数列既是等差数列又是等比数列；
D．若是等差数列，则是等比数列.
3．已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：确定数列中的最大（小）项
4．已知数列的通项公式为，则数列的前n项和最小时n的值是（ ）
A．4或5 B．4 C．5 D．5或6
5．已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．数列存在最小项 D．数列存在最大项
6．数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列是常数列
B．若，则是递增数列
C．若，则
D．若，则的最小项的值为
题型三：根据数列的单调性求参数
7．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
9．数列{an}满足a1＝1，，若，b1＝－λ，且数列{bn}满足bn＋1＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
10．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11．已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差等于（ ）
A．1 B．2 C．9 D．10
12．在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
13．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
14．已知数列的通项公式为，则数列各项中最大项是（ ）
A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项
15．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得成立的的最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
16．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
17．已知数列的通项公式为，则数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性
18．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．已知数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
21．已知数列的前项和为，，且，满足，数列的前项和为，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．数列的最大项为 D．
22．对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得，，则称是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7
23．数列{an}满足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n为单调递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
24．已知等差数列的前项和记为，则“”是“为单调数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
25．已知等比数列前项和满足（），数列是递增的，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、 单选题
26．已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
27．已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
28．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
29．已知数列满足则数列的最大项为（ ）
A． B． C． D．
30．已知正项数列满足，当最大时，的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
31．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
33．已知曲线在点处的切线为l，数列的首项为1，点为切线l上一点，则数列中的最小项为（ ）
A． B． C． D．
34．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数列
二、多选题
35．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
36．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列，的一个通项公式是
B．数列的图象是一群孤立的点
C．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列
D．数列，，是递增数列
37．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若为中的不同两项，且，则最小值是1 D．若恒成立，则的最小值为
38．在平面四边形ABCD中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前n项和为，则（ ）
A．为等比数列 B．为递减数列
C．为等差数列 D．
三、填空题
39．高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如．已知数列满足，，设数列的前n项和为，则______．
40．已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为____.
41．请写出一个符含下列要求的数列的通项公式：①为无穷数列；②为单调递增数列；③.这个数列的通项公式可以是______.
42．已知，且数列是递增数列，则实数的取值范围是______．
43．已知等差数列的各项均为正数，且数列的前项和为，则数列的最大项为___________.（用数字作答）
44．已知数列满足，，数列是单调递增数列，且，，则实数的取值范围为___________.
四、解答题
45．已知数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最小项的值.
46．已知数列满足：．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．
47．已知数列的前n项和为，，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前n项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数m的最大值.
48．已知数列的通项公式为.
（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由
（2）计算，并判断其符号；
（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？
49．已知数列各项都不为，且满足，
(1)求的通项公式；
(2)若，的前n项和为，求取得最小值时的n的值．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
从“数列递增”和“数列递增”两方面作为条件分别证明结论是否成立即可.
【详解】
因为，且数列递增，所以，因此，所以数列递增，所以“数列递增”是“数列递增”的充分条件；
若数列递增，则，所以，又，所以对成立，即，则，但是的符号不确定，所以数列不一定递增，所以“数列递增”是“数列递增”的不必要条件；
因此“数列递增”是“数列递增”的充分不必要条件.
故选：A
2．D
【解析】
【分析】
对A,B,C举反例判断即可，对D，设，，再根据等比数列的定义判断即可
【详解】
对A，等比数列的首项公比，则为递减数列，故A错误；
对B，等比数列的首项公比，则为递增数列，故B错误；
对C，若常数列满足，则不是等比数列，故C错误；
对D，设，，则，又为常数且不为0，故是等比数列，故D正确；
故选：D
3．A
【解析】
【分析】
由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件即可得出答案.
【详解】
解：设数列的公比为，
若，
则，所以，
则，
，所以，
所以为递减数列；
若为递减数列，
当时，，数列为递减数列，
此时，
所以由为递减数列不一定能得到，
所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．A
【解析】
【分析】
令，求出，再根据数列的符号即可得出答案.
【详解】
解：令，则，
又，
所以数列的前n项和最小时n的值是4或5.
故选：A.
5．C
【解析】
【分析】
对AB，举公比为负数的反例判断即可
对CD，设等比数列公比为，分和两种情况讨论，再得出结论即可
【详解】
对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列；
对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；
当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值
综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误
故选：C
6．D
【解析】
【分析】
由题设可得且()，进而可知时偶数项、奇数项的值分别相等，再结合各项的描述判断正误.
【详解】
当时，，
当时，，则，
而不一定成立，故不一定是常数列，A错误；
由，显然且，即不单调，B错误；
若，则，，故，偶数项为3，奇数项为，
而，C错误；
若，则，，故，偶数项为，奇数项为2，故的最小项的值为，D正确.
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
由数列是单调递增数列，可得，从而有恒成立，由，可求得的取值范围.
【详解】
解：由题意得：
由数列是单调递增数列，所以，
即，即（）恒成立，
又因为数列是单调递减数列
所以当时，取得最大值，所以.
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围
【详解】
因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故选：D
9．C
【解析】
【分析】
由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，，且求得实数的取值范围.
【详解】
解：由得，，则，
由，得，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
由，得，
因为数列满足，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
综上：实数的取值范围是.
故选：C.
10．B
【解析】
【分析】
当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
11．A
【解析】
【分析】
根据给定条件结合等差数列性质计算出，进而求出与即可得解.
【详解】
在等差数列中，依题意，，
解得，而，且为递增数列，即，则，，
所以数列的公差.
故选：A
12．B
【解析】
【分析】
首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
13．D
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.
【详解】
解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，
由于数列满足，
所以对任意的都成立，
故数列单调递增，且满足，，
所以，
解得．
故选：．
14．C
【解析】
【分析】
由给定条件知数列首项不是最大项，利用数列最大项比它前一项和后一项都不小的特点列式即可作答.
【详解】
依题意得，设数列的最大项为，于是有，
从而得，整理得：，解得，而，则，
所以数列各项中最大项是第15项.
故选：C
15．C
【解析】
【分析】
根据求通项公式，注意讨论、并判断是否可合并，再应用裂项法求，最后根据不等式求的最大值即可.
【详解】
当时，；当时，；而也符合，
∴，.又，
∴，要使，
即，得且，则的最大值为19.
故选：C.
16．A
【解析】
【分析】
由与的关系化简即可求出及，可得，分析单调性即可求解.
【详解】
∵,
∴,则,即,
∴.
易知,
∵,
当时, ,
∴当时, ,
当时,,
又,
∴当时, 有最小值.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了数列与的关系，数列的单调性，属于中档题.
17．B
【解析】
【分析】
根据题意，化简，得到，即可求解.
【详解】
由题意，数列的通项公式为，
可得（且），
所以，即数列为递减数列.
故选：B.
18．D
【解析】
【分析】
利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可
【详解】
解：由题意可得，
整理得，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故选：D
19．A
【解析】
【分析】
根据，求得，对恒成立，进而得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，数列的通项为，
则，
即，对恒成立，
当时，取得最小值，所以，
所以“”是“，”的充分不必要条件.
故选：A.
20．D
【解析】
【分析】
根据题意，可知数列的通项公式，根据二次函数的性质可知，当或3时，取得最小值，从而得出答案.
【详解】
解：由题可知，，
由于，所以当或3时，取得最小值，
所以数列的最小项是第2项、第3项.
故选：D.
21．D
【解析】
当且时，由代入可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，由可判断A选项的正误；利用的表达式可判断BC选项的正误；求出，可判断D选项的正误.
【详解】
当且时，由，
由可得，
整理得（且）.
则为以2为首项，以2为公差的等差数列，.
A中，当时，，A选项正确；
B中，为等差数列，显然有，B选项正确；
C中，记，
，
，故为递减数列，
，C选项正确；
D中，，，.
，D选项错误.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：利用与的关系求通项，一般利用来求解，在变形过程中要注意是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用将递推关系转化为有关的递推数列来求解.
22．C
【解析】
【分析】
由数列通项公式写出前n项，结合数列 “谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”.
【详解】
由an＝，则，，，
当n≥7，n∈N*时恒有> 0，
∴an＝＝，此时数列{an}递增，
综上，a2
故选：C.
23．C
【解析】
【分析】
根据给定条件求出数列{an}通项，再由数列{bn}为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答．
【详解】
数列{an}中，an+1＝2an+1，a1＝1，则有an+1+1＝2（an+1），而a1+1＝2，
因此，数列{an+1}是公比为2的等比数列，，即，
则，因数列{bn}为单调递增数列，即∀n∈N*，bn+1﹣bn＞0，
则（2n+1﹣1）﹣（n+1）2+4（n+1）﹣[（2n﹣1）﹣n2+4n]＝⋅2n﹣2n+3＞0，，
令，则，n∈N*，
当n≤2时，cn+1＞cn，当n≥3时，cn+1＜cn，
于是得是数列{cn}的最大项，即当n＝3时，取得最大值，从而得，
所以的取值范围为．
故选： C．
24．A
【解析】
【分析】
由条件求得公差，从而求得，根据一元二次函数的性质，结合对称轴的位置判断命题是充分必要性即可.
【详解】
设公差为d，由，则，，
，对称轴为，
则当时，，对于，数列是单减数列，故“”是“是单调数列”的充分条件；
弱对于，数列是单调数列，根据一元二次函数的性质知，对称轴，即，故“”是“是单调数列”的不必要条件；
综上所说，“”是“是单调数列”的充分不必要条件
故选：A
【点睛】
关键点点睛：根据条件求得公差，及的表达式，利用一元二次函数的性质判断单调性即可.
25．C
【解析】
【分析】
由等比数列前项和满足，分别求出前3 项，利用等比数列中，求出，再根据数列是递增的，且，利用中求出实数的取值范围
【详解】
解：因为等比数列前项和满足（），
所以，
，
，
因为等比数列中，
所以，解得或（舍去），
所以，
因为数列是递增的，
所以，
所以，
因为，所以，
故选：C
26．C
【解析】
先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.
【详解】
因为数列的前n项和，
当时，；
当时，满足上式，
所以，
又，恒成立，所以，恒成立；
令，
则对任意，显然都成立，
所以单调递增，
因此，即的最小值为，
所以，即实数的最大值是.
故选：C
【点睛】
思路点睛：
根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.
27．D
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得．
【详解】
解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，
而在上单调递减，；；，则，且，
当且为偶数时，，
，所以，所以时，取得最大值．
故选：D．
28．D
【解析】
根据题意求出数列的首项和公差，再求出，可得出是单调递增数列，即可判断.
【详解】
设等差数列的公差为，，，
，解得，，
，
，可得是单调递增数列，
所以在，，，中，最大的为．
故选：D.
29．B
【解析】
本题先根据递推公式进行转化得到．然后令，可得出数列是等比数列．即．然后用累乘法可求出数列的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列的最大项．
【详解】
解：由题意，可知：
．
令，则．
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
．
．
，
，
．
各项相乘，可得：
．
．
令，
则，根据二次函数的知识，可知：当或时，取得最小值．
，，
的最小值为．
．
数列的最大项为．
故选：．
【点睛】
本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；
30．B
【解析】
【分析】
先令，两边取对数，再分析的最值即可求解.
【详解】
令，两边取对数，有，
令，则，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以时，取到最大值，从而有最大值，
因此，对于，当时，；当时，.
而，因此，当最大时，.
故选：B
31．D
【解析】
【分析】
根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项.
【详解】
解：若是递增数列，则，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选：D．
32．D
【解析】
【分析】
由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.
【详解】
当时，；
由，当时，，
两式相减，可得，
解得，当时，也符合该式，故．
所以
由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，
故选：D．
33．C
【解析】
【分析】
首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则，从而求出的通项公式，再构造不等式组求出数列中的最小项；
【详解】
因为，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率.
所以切线l的方程为.
所以.
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.
所以.
所以由，解得.
因为，所以.
所以数列中的最小项为.
故选：C.
34．C
【解析】
【分析】
利用作差法判断.
【详解】
因为，
所以数列是递增数列，
故选：C
35．ABD
【解析】
【分析】
根据已知条件求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和；利用裂项相消法可得和，讨论数列的单调性，即可得出的范围.
【详解】
A：由可得，所以等比数列的公比，所以.
由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A正确；
B：，所以B正确；
C：，所以C不正确；
D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.
故选：ABD.
36．ACD
【解析】
【分析】
由可判断A；由数列的通项公式以及可判断B；由数列定义可判断C；
由递减数列定义可判断D．
【详解】
对于A，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A错误；
对于B，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；
对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；
对于D，数列，，是递减数列，故选项D错误．
故选：ACD．
37．ACD
【解析】
【分析】
对于A，从前后两个图之间的关系可求出，对于B，由题意可知，数列是1为首项，为公比的等比数列，从而可求出，对于C，由结合，可得，而，从而可求出的值，则可求出的值，进而可求得最小值，对于D，由在上递增和在上递增，可求得结果.
【详解】
解：对于A，由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以数列是公比为，首项为3的等比数列，所以，所以A正确，
对于B，由题意可知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，所以数列是1为首项，为公比的等比数列，所以，所以B错误，
对于C，由，，得，所以，所以，因为，所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以最小值是1，所以C正确，
对于D，因为在上递增，所以，即，
令，则在上递增，
所以，即，即，
因为恒成立，所以的最小值为，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：此题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，考查数列单调性的应用，解题的关键是正确理解题意，求出数列和的通项公式，考查计算能力，属于较难题
38．BCD
【解析】
【分析】
设与交于点，由面积比得，根据平面向量基本定理得与关系，从而得数列递推关系，然后根据各选项求解数列，判断结论，其中选项D需要用错位相减法求和．
【详解】
设与交于点，，
，
共线，所以存在实数，使得，
所以，
所以，所以，，
所以，，，不是等比数列，A错；
因为，所以，即，所以是等差数列，C正确；
又因为，则，即，，
所以当时，，即，所以是递减数列，B正确；
因为，
，
所以两式相减得
，
所以，D正确．
故选：BCD．
39．2021
【解析】
【分析】
首先利用裂项得到再化简，利用裂项相消求和，再利用高斯函数的定义，即可求解.
【详解】
因为，所以，
所以．
因为，
所以，所以，
所以，
故．
故答案为：
40．7
【解析】
【分析】
先求出的通项公式，然后参变分离转化为求最值
【详解】
令m=1，则an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，
所以λan ≤+12⇒λn≤n2+12⇒λ≤n+，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
当或时，
所以
故答案为：7
41．.
【解析】
【分析】
数列是特殊的函数，利用函数的性质可得答案.
【详解】
因为函数的定义域为，且在上单调递增，，
所以满足3个条件的数列的通项公式可以是，
故答案为：.
42．
【解析】
【分析】
利用递增数列的定义可得，然后参变分离可得.
【详解】
因为是递增数列，
所以对任意的，都有，
即，
整理得，即，
因为，
所以，所以．
故答案为：.
43．1
【解析】
【分析】
由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前和公式，可判定数列为递减数列，进而可得到该数列的最大项.
【详解】
由题，等差数列的各项均为正数，所以，，
且，
所以数列是递增数列，
又，
所以，
即是递减数列，
所以当时，得到数列的最大项为，
故答案为：1
44．
【解析】
【分析】
首先利用递推关系式求出数列和的通项公式，再利用数列的单调性建立不等关系，进一步求出参数的范围．
【详解】
因为，
所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
又
所以，
所以，
又是单调递增数列，
所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，即当时，恒成立，
所以；
又，即，所以．
综上，．
故答案为：．
45．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用可将已知化为，根据与关系可求得通项公式；
（2）由（1）得到，从而得到，由此可确定当时，；当时，，则最小值为，代入通项公式可得到结果.
【详解】
（1），，则，
即，
当时，；
当时，；
经检验适合，
（2）由（1）知： ，，
，
当时，，
当时，；当时，；
又，，当时，有最小值.
【点睛】
易错点睛：在利用与关系求解数列通项公式时，需注意验证首项是否满足时所求解的通项公式，若不满足，则通项公式为分段数列的形式，即.
46．（1），；（2）；（3）.
【解析】
（1）与代入即可求出；（2）由题意得
，两式相减可得，然后构造新数列可得，所以是等比数列，即可求得通项；（3）代入作差可判断出数列前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为，然后可转化为求解.
【详解】
（1）当时，，所以，当时，，得．
（2） 由题可知：， ①
， ②
②－①可得，即，
又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴．
（3）由（2）可得，，
由，可得，
由可得，
所以，
故有最大值，
所以对任意，有，
由题意恒成立，则，
故有， 解得或，
所以实数的取值范围是．
【点睛】
思路点睛：本题考查了数列的通项与最值的问题：
（1）已知与的关系解题时，要注意由求的关系：，根据题目已知条件，通过构造等差数列或等比数列进行求解；
（2）数列的恒成立问题需要转化为数列的最值问题求解，求数列的最值可通过判断数列的单调性进行，解题时通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列的最值.
47．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用可得数列的递推关系，，然后可证明是等比数列；
（2）由（1）求出，即得，利用错位相减法求得，不等式对于恒成立，转化为恒成立，求出的最小值即可得结论．
【详解】
（1）由，
得（），
两式相减得，所以（），
因为，所以，，.
所以是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由，又由（1）可知，得，
∴，则，
两式相减得，
所以.
由恒成立，即恒成立，
又，
故当时，单调递减；当时，；
当时，单调递增；当时，；
则的最小值为，所以实数m的最大值是.
【点睛】
本题考查由求，考查等比数列的证明，等比数列的通项公式，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
48．（1）是，第17项；（2）；大于零；（3），无最大项.
【解析】
【分析】
（1）令,求解即可；
（2）化简即可得,由即可判断其符号；
（3）由（2）可得数列是递增数列,最小项为首项,无最大项
【详解】
（1）是,
令,即,解得,
0.25是数列的项,是第17项
（2）由题,
,,,即
（3）由（2）可得数列是递增数列,则最小项为首项,即,无最大项
【点睛】
本题考查数列的项的判断,考查利用递推公式判断数列增减性,考查数列的最大（小）项
49．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由得时，， ①②得，分奇偶项即可求出
（2）由得，当时，，当时，
当时，取得最小值
（1）①当时，②①②的奇数项和偶数项各自成等差数列且为奇数），（为偶数
（2），当时，，当时，当时，取得最小值
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