微专题 指数函数的最值问题 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 指数函数的最值问题 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共32页。

微专题：指数函数的最值问题
【考点梳理】
求y＝af(x)或y＝f(ax)(a＞0，且a≠1)的值域，均遵循复合函数“由内向外”的求值域原则，为了清晰起见，常利用换元法解题.

【题型归纳】
题型一： 求已知指数型函数的最值
1．已知函数，，则（       ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
2．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
3．当时，，则的取值范围是（       ）
A．， B．， C．， D．


题型二： 根据指数函数的最值求参数
4．如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（       ）
A．3 B． C．-5 D．3或
5．若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
6．若函数在上有最大值，则实数a的值为（       ）
A．1 B． C．1或 D．1或


题型三： 含参指数函数的最值
7．已知函数，若时，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
8．定义在上的函数，则下列结论中错误的是（       ）
A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是
C．的最大值是 D．的最小值是
9．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．


题型四：指数函数最值与不等式的综合问题
10．已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
11．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
12．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．




【双基达标】
13．函数在区间上最小值是（       ）
A．1 B．3 C．6 D．9
14．已知函数为奇函数，，若对任意､，恒成立，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
15．已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
16．对于函数，在使成立的所有常数M中，我们把M的最小值称为函数的“上确界”，则函数的“上确界”为（       ）
A．1 B． C．2 D．16
17．已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
18．若函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为
A． B． C． D．3
19．定义为双曲余弦函数，为双曲正弦函数，它们是一类与三角函数类似的函数.类比同角三角函数的平方关系，可以写出与的关系式：.若，不等式恒成立，则实数取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
20．函数在区间[1，2]上的最大值是（　　）
A． B． C．2 D．
21．已知函教，若对任意恒成立，则实数的最小值为（       ）
A． B． C． D．
22．已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（       ）
A．1 B． C． D．
23．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
24．若公比为的无穷等比数列满足：对任意正整数，都存在正整数，使得，则（       ）
A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值1 D．有最小值2
25．已知，记关于的方程的所有实数根的乘积为，则（       ）
A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值
C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值

【高分突破】
一、 单选题
26．已知两个随机变量，呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则（       ）
A．变量的估计值的最大值为 B．变量的估计值的最小值为
C．变量的估计值的最大值为 D．变量的估计值的最小值为
27．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（       ）（参考数据：取）
A． B． C． D．
28．已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
29．若，则函数必有（       ）
A．最大值4 B．最小值4 C．最大值 D．最小值
30．若函数在上的最大值为9，最小值为n，且函数在上是单调减函数，则（       ）
A．3 B． C．9 D．
31．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
32．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
33．给出下列结论，其中正确的结论是（       ）
A．函数的最大值为
B．已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是
C．函数满足，则
D．已知定义在上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021
34．给出下列结论，共中正确的结论是（     ）
A．函数的最大值为
B．已知则的最小值为
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D．已知定义在上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021
35．下列说法正确的是（          ）
A．设 ，则关于x的方程 有一根为-1的一个充要条件是 ;
B．若，则
C． 是 的必要不充分条件
D．函数的最大值
36．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（       ）
A． B． C． D．
三、填空题
37．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为______．
38．若不等式(m2－m)2x－()x<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是____．
39．若实数，使得恒成立，则实数a的取值范围是______．
40．若指数函数在区间上的最大值和最小值的差为，则底数_______
41．已知函数，如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数，在①；②；③；④；⑤中，函数的包容数是_________（填出所有正确答案的序号）.
42．函数的最大值是______．
四、解答题
43．已知f(x)是定义在[0，+∞）上的函数，满足：①对任意x∈[0，+∞），均有f(x)＞0；②对任意0≤x1＜x2，均有f（x1）≠f（x2）．数列{an}满足：a1＝0，an+1＝an+，n∈N*．
（1）若函数f(x)＝（x≥0），求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N*，使得n＞n0时，均有an＞M；
（3）求证：“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的充分非必要条件．
44．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
45．已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
（1）求的值；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围
46．设函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若有且只有一个零点，求实数的取值范围.
47．已知函数.
（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据指数函数的知识确定正确选项.
【详解】
在上是增函数，
所以最小值为，没有最大值.
故选：C
2．A
【解析】
【分析】
原问题等价于，使得，利用函数的单调性求出最大值即可求解.
【详解】
解：，使得，等价于， ，
由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，
又在上单调递增，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
分类讨论和两种情况，根据对数和指数函数的单调性结合得出的取值范围.
【详解】
解：由题意可得：
当时，结合可得：，不满足题意；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
满足题意时有：，即：．
求解不等式可得实数的取值范围是：．
故选：C
4．D
【解析】
【分析】
利用换元法，令ax＝t，转化为二次函数，根据单调性由区间[－1，1]上的最大值是14，求出a的值.
【详解】
令ax＝t，则．
当a＞1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（a＝-5舍去）．
当0＜a＜1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
则ymax＝，
解得（舍去）．
综上知a＝3或．
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，参变分离可得恒成立，再根据幂函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为，所以，又恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，所以，所以，即；
故选：B
6．A
【解析】
【分析】
由题可得，，即求.
【详解】
∵函数在上有最大值，
∴，，
∴，解得或（舍去）.
故选：A.
7．C
【解析】
【分析】
将不等式转化为，然后再求最值即可.
【详解】
不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有．
故选：C
8．B
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性判断．
【详解】
设，，它是增函数，且，，
，它在时递增，在上递减，
因此在上递增，在上递减，A正确，B错误，
，C正确，，，最小值是，D正确．
故答案为：B．
9．A
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性得，，进而将问题转化为当时，恒成立，再结合指数型复合函数的单调性求解最值即可得答案.
【详解】
解：因为，，且为偶函数，为奇函数
所以
所以，即
因为，
所以，.
因为当时，
所以当时，不等式恒成立等价于当时，恒成立，即当时，恒成立，
令，由于函数在单调递增，
所以根据复合函数单调性得在单调递增，
所以，
所以当时，恒成立时，.
所以的最小值为.
故选：A
10．D
【解析】
【分析】
根据给定条件求出函数的最小值，的最小值即可列式求解．
【详解】
函数在上单调递增，则有，
又在上单调递减，则有，
因为，，使得，于是得，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：D
11．A
【解析】
【分析】
分析可知，由已知可得对任意的恒成立，解得对任意的恒成立，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】
因为函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，故对任意的，，
对任意的，不等式恒成立，
即，即对任意的恒成立，
且为正数，则，可得，所以，，可得.
故选：A.
12．D
【解析】
【分析】
分析可知对任意的恒成立，利用二次不等式的性质可得出关于实数的不等式，即可得解.
【详解】
由已知可得，则对任意的恒成立，
因为，所以，，解得.
故选：D.
13．B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性，结合给定区间求最小值即可.
【详解】
∵在上单调递增，
∴.
故选：B.
14．A
【解析】
【分析】
由奇函数性质求得，求得函数的解析式，不等式等价于，由此求得答案.
【详解】
解：因为函数的定义域为，又为奇函数，∴，解得，∴，所以，
要使对任意､，恒成立，
只需，又，∴，即，
故选：A.
15．A
【解析】
根据题意，先求得，把不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，
当时，函数显然不存在最大值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数无最大值，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得函数在上单调递增，所以，即，
综上可得，即实数的取值范围是.
故选：A.
16．C
【解析】
【分析】
求出的最大值后可得．
【详解】
，时取等号．
所以的最大值为2，所以，的最小值为2．
故选：C．
17．D
【解析】
根据函数有最小值可得出函数的单调性，然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】
由于函数有最小值，则函数在区间上不为增函数，可得.
当时，，，此时函数无最小值；
当时，即当时，函数在区间上为减函数，
①若函数在上为增函数，则，
且有，即，解得，此时；
②若函数在上为减函数，则，
且，所以，，即，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用分段函数的最值求参数，解题时要根据题意分析出两支函数在各自定义域上的单调性，并分析出间断点处函数值的大小关系，本题易错的地方在于忽略函数在区间上单调递减，忽略这一条件的分析，进而导致求解出错.
18．A
【解析】
【分析】
先由函数解析式得函数在给定区间单调，根据题意列出方程，即可求出结果.
【详解】
易知在上单调，
因此，在上的最值在区间端点处取得，
由其最大值与最小值之和为可得，
即，化简得，解得.
故选A
【点睛】
本题主要考查指数函数与对数函数单调性的应用，熟记性质即可，属于常考题型.
19．B
【解析】
【分析】
根据化简，参变分离可得恒成立，再根据的单调性求解即可
【详解】
因为，故
，因为在，单增，故也单增，因为，，即
故选：B
20．C
【解析】
根据指数函数的单调性求得最值.
【详解】
∵函数在区间[1，2]上单调递增，
∴函数在区间[1，2]上的最大值是f（2）＝2，
故选：C
【点睛】
本小题主要考查指数函数最值的求法，属于基础题.
21．D
【解析】
【分析】
先利用函数的解析式判断出函数关于点对称，从而将对任意恒成立，转化为对任意恒成立，再利用导数判断函数的单调性，利用单调性去掉“”，从而得到对任意恒成立，进行参变量分离后再利用换元法以及基本不等式求解最值，即可得到的最小值．
【详解】
因为函数，
所以，
则函数关于点对称，
所以，
故对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，则函数在上单调递增，
所以对任意恒成立，
令，则，
所以对任意恒成立，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
则实数的最小值为．
故选：．
【点睛】
不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
22．D
【解析】
【分析】
根据题意，由函数奇偶性的定义分析、的值，即可得的解析式，由复合函数单调性的判断方法分析的单调性，据此分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，是定义在，上的偶函数，则有，则，
同时，即，则有，必有，
则，其定义域为，，
则，设，若，则有，
在区间，上，且为减函数，
在区间，上为增函数，
则在，上为减函数，其最大值为，
故选：．
23．A
【解析】
【分析】
本题先将条件转化为不等式，再根据不等式求解即可.
【详解】
解：∵对任意，存在，使得，
∴
∵，∴ ，
∵，∴
∴ ，解得，
故选：A.
【点睛】
本题考查恒成立问题与存在性问题，关键在于问题的转化，是中档题.
24．B
【解析】
【分析】
由题得，得到，即得解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
因为对于任意正整数，都存在正整数，使得，
所以，
因为,
所以有最大值.
故选：B
【点睛】
方法点睛：最值问题的求解常用的解法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
25．D
【解析】
【分析】
求出方程的实数根，从而可得，再根据指数函数的性质即可得解.
【详解】
解：由，
得，所以或，
故，
所以函数既无最大值，也无最小值.
故选：D.
26．A
【解析】
【分析】
根据题意可得出，再根据二次函数和指数函数的性质可求出最值.
【详解】
依题意，，则，
则，故当时，变量的估计值的最大值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查变量间的相关关系，涉及指数函数和二次函数的性质，属于基础题.
27．C
【解析】
【分析】
根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.
【详解】
由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，
则由，得，
所以，
故正整数的最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
28．A
【解析】
【分析】
首先根据幂函数的性质得到，分别求出函数和在区间的值域，再结合题意即可得到答案.
【详解】
因为幂函数在上单调递增，
所以，即.
，则的值域为，
又因为函数在上为增函数，
所以，的值域为，
因为，，使得成立，
所以，解得.
故选：A
29．C
【解析】
【分析】
由已知可得，根据正弦函数的有界性，即可求出结论.
【详解】
，
，
又，
所以函数的最大值为，最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查复合函数的最值，涉及到指数函数的单调性和三角函数的有界性，考查计算求解能力，属于基础题.
30．B
【解析】
由在上是单调减函数，可得，然后对指数函数分和两种情况讨论其在区间的最值即可得答案
【详解】
∵在上是单调减函数，
∴，
当时，的最大值为，即，，不符合题意；
当时，的最大值为，即，，符合题意，
综上，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：根据的单调性可得到，根据在定义域上的最值求参数，关键是分和两种情况讨论.
31．A
【解析】
【分析】
问题就是方程在有解，变形为，引入新函数，求得函数的值域即可得结论．
【详解】
因为是定义在上的“倒戈函数，
存在满足，
，
，
构造函数，，
令，，
在单调递增，
在单调递减，所以取得最大值0，
或取得最小值，，
，，
故选：A．
【点睛】
本题考查函数新定义，解题关键理解新定义，把问题进行转化．本题新定义转化为方程有解，再转化为求函数的值域．
32．D
【解析】
【分析】
将不等式整理为，令，根据二次函数性质可求得的最小值为，由此可得，解不等式可求得结果.
【详解】
由得：，
令，则当时，，，
，解得：，即实数的取值范围为.
故选：D.
33．CD
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质，结合函数的最值对A进行判断；利用对数函数的性质及复合函数的单调性对B进行判断；由得，，，对C进行判断；利用函数的零点与方程根的关系，结合奇函数的性质对D进行判断，从而得结论.
【详解】
对于A，因为，所以，因此有最小值，无最大值，所以A错误，
对于B，因为函数（且）在上是减函数，
所以，解得，实数的取值范围是，所以B错误，
对于C，由得，，，∴.所以C正确，
对于D，因为定义在上的奇函数在内有1010个零点，所以函数在内有1010个零点，而，因此函数的零点个数为，所以D正确，
故选：CD
34．CD
【解析】
【分析】
根据指数型复合函数的性质判断A，根据分段函数的解析式，分别求出各段函数的最小值，再比较即可得到函数在整个定义域上的最小值，即可判断B，根据反函数的性质判断C，根据奇函数的对称性及性质判断D；
【详解】
解： 对于A，令，则，即的最大值为1，又在定义域上单调递减，所以的最小值为，不存在最大值，故A错误；
对于B，因为，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当且仅当，即时取等号，因为，所以，故B错误；
对于C，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称，故C正确，
对于D，定义在上的奇函数在内有1010个零点，
则在内有1010个零点，且．
故函数的零点个数为，故D正确，
故选：CD．
35．ABC
【解析】
【分析】
利用充要条件的定义结合方程根的知识即可判断；利用指数与对数的互化及对数的运算即可判断；利用必要不充分条件的定义即可判断；取即可判断．
【详解】
对于，必要性证明：关于的方程有一根为，代入有，故必要性成立，
充分性证明：若，则必有，故为程的一个根，故正确；
对于，若，则，，
则，，
所以，故正确；
对于，由可得，则，而由可得，则，
故是的必要不充分条件，故正确；
对于，函数，当时，，故错误，
故选：．
36．BC
【解析】
【分析】
对分类讨论，结合指数函数的单调性，求得函数的最大值和最小值，列出方程，即可求解.
【详解】
当时，函数在区间上为单调递增函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以；
当时，函数在区间上为单调递减函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以.
综上可得，实数的值为或.
故选：BC
37．
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，求得，把在上恒成立，转化为在上恒成立，再利用指数函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】
由题意，函数满足，①
因为定义在上的偶函数和奇函数满足，则，
即，②
由①②，解得．
又由在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立
又因为函数在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中利用函数的奇偶性求得函数的解析式，熟练掌握恒成立问题的分离参数法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
38．－2 【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题即可．
【详解】
解：（m2﹣m）2x1对一切x∈（﹣∞，﹣1]恒成立等价为
（m2﹣m）2x1，
即（m2﹣m）（）2，
∵x∈（﹣∞，﹣1]，
∴
即（）26，
即（m2﹣m）＜6，
则m2﹣m﹣6＜0，
解得﹣2＜m＜3，
故答案为﹣2＜m＜3
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立问题，利用指数函数的性质将参变分离是解决本题的关键．
39．
【解析】
【分析】
利用参变分离法，然后求函数的最值即可.
【详解】
要使在实数时恒成立等价于在实数时恒成立，则，
令，为减函数，
∴在上为减函数，故当时，，
即实数a的取值范围是．
故答案为：.
40．或##或
【解析】
【分析】
就分类讨论后可得关于的方程，从而可得的值.
【详解】
若，则指数函数在区间上的最大值为，最小值为1，
所以，即，
若，则指数函数在区间上的最大值为1，最小值为，
故，即，
故答案为：或.
41．②③
【解析】
【分析】
求得函数在区间上的值域为，设函数在区间上的值域为，由题意可得，对实数分和两种情况讨论，求出，结合可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，进而可得出结论.
【详解】
当时，为增函数，则.
设函数在区间上的值域为，由题意可得，
分以下两种情况讨论：
（i）当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
此时，，此时，不符合题意；
（ii）当时，函数在区间上单调递减，此时，由，可得，
所以不符合题意，、满足不等式，、不满足不等式.因此，和是函数的包容数，
故答案为：②③.
42．9
【解析】
【分析】
计算的范围，然后根据指数函数的单调性简单计算即可.
【详解】
由题可知：，所以
又指数函数为R上的增函数，所以的最大值为
故答案为：9
43．（1）a＞1；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由f(x)满足①求出，并且此时f(x)恒满足②，由此可得解；
（2）利用函数的单调性以及递推关系放缩可得，再累加可得，由得，取，可证结论成立；
（3）先证非必要性：令特殊函数，满足，但函数不为增函数；
再证充分性：假设对一切n∈N*，均有f（an+1）≥2f（an）＞0，然后推出矛盾，说明假设不成立，从而说明充分性成立.
【详解】
（1）由f(x)＝＞0，即对一切x∈[0，+∞）恒成立，所以a＞1，
当a＞1时，f(x)在x∈[0，+∞）上单调递增，所以对任意0≤x1＜x2，均有f（x1）≠f（x2），
综上，实数a的取值范围为：a＞1；
（2）证明：由函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，即对一切x∈[0，+∞），均有f(x)≤f（0），
所以对一切n∈N*，均有f（an）≤f（0），可得：，
所以，
所以恒成立，
对任意正实数M，由得，
取，
当n＞n0时，.
（3）证明：非必要性：取，在[0，+∞）不为增函数，
但a1＝0，，，，，
所以“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”推不出“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”.
所以“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的非必要条件．
充分性：假设对一切n∈N*，均有f（an+1）≥2f（an）＞0，
所以：，
由递推式,
所以，，，，
累加得，
因为函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以，
又，
所以，所以，
所以当时，上述不等式不成立，
所以假设成立，即存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）．
所以充分性得证.
所以“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的充分非必要条件．
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则.
44．（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）结合指数函数性质首先求的值，再解指数不等式；
（2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.
【详解】
（1）由题意知定点A的坐标为，
∴解得.
∴.
∴由得，.
∴.
∴.
∴.
∴不等式的解集为.
（2）由得令，则，
.
∴当，即，时，，
当，即，时，.
【点睛】
本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．
45．（1）； （2）； （3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程组，即可求解；
（2）由题意得到，根据转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）化简得到，令，得到，根据题意转化为方程有两个根且，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得对称轴为，
当时，在上为增函数，可得，即，
解得；
当时，在上为减函数，可得，即，
解得，
因为，所以.
（2）由（1）可得，所以，
方程化为，所以，
令，则，
因为，可得，令，
当时，可得，所以，即实数的取值范围是.
（3）方程，可化为，
可得且，
令，则方程化为，
方程有三个不同的实数解，
所以由的图象知，
方程有两个根且，
记，则或，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.

46．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）令，，，利用二次函数的性质求出函数的值域；
（2）设，则有且只有一个零点等价于方程有且只有一个正实根，然后分有一根为0、有一正实根和一负实根、有两相等正实根三种情况求解即可
【详解】
解：（1）当时，，
令，，.
当时，，
所以的值域为.
即的值域为.
（2）因为，
设，则有且只有一个零点等价于方程有且只有一个正实根.
①若有一根为0时，则，即，
则，所以，不合题意，舍去；
②若有一正实根和一负实根时，则，即；
③若有两相等正实根时，则，无解.
综上，实数的取值范围是.
47．（1）；（2）.
【解析】
（1）换元，问题转化为求二次函数在时有最小值，求实数的值，然后分、两种情况讨论，分析二次函数在区间上的单调性，求出函数的最小值，进而可求得实数的值；
（2）由（1）结合，可得出对任意的恒成立，分析函数在区间上的单调性，求出的值域，由此可得出实数的取值范围.
【详解】
（1），
换元，则.
①当时，二次函数在区间上单调递增，无最小值；
②当时，二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，，解得.
综上所述，；
（2）由（1）知，若对任意的恒成立，则，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，其中，易知函数在区间上单调递增，
当时，，即，所以，，
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.