统考版高中数学（文）复习2-2函数的单调性与最值学案

这是一份统考版高中数学（文）复习2-2函数的单调性与最值学案，共17页。学案主要包含了必记2个知识点，必明3个常用结论，必练4类基础题，数形结合法等内容，欢迎下载使用。
1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2．会运用基本初等函数图象分析函数的单调性．
考向预测·
考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用，其中函数单调性及应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．
学科素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的________．
(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当________时，f(x)在区间D上为增函数；当________时，f(x)在区间D上为减函数．
(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，否则为减函数．简称“同增异减”．
[提醒] 有多个单调区间时应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．
2．函数的最值
[提醒] (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值)．
二、必明3个常用结论
1．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)0)的单调递增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调递减区间是[－a，0)，(0，a].
3．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔fx1-fx2x1-x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
听课笔记：
一题多变
(变条件，变问题)例3中，函数f(x)满足的条件改为“定义域为(0，＋∞)，fx1x2＝f(x1)－f(x2)，当x>1时，f(x)f(2－x)的解集．
反思感悟
求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(m)b>a
C．a>c>b D．b>a>c
2．设函数f(x)＝2xx-2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则m2M＝( )
A．23 B．38 C．32 D．83
3．如果函数f(x)＝(2-a)x+1，x0成立，那么实数a的取值范围是( )
A．(0，2) B．(1，2)
C．(2，＋∞) D．32，2
4．[2023·济南模拟]已知函数f(x)＝x3，x≤0，lnx+1，x>0，若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
微专题❺求函数最值的常用方法
思想方法
一、单调性法
[例1] 函数f(x)＝－ax＋b(a>0)在12，2上的值域为12，2，则a＝________，b＝________．
解析：∵f(x)＝－ax＋b(a>0)在12，2上是增函数，
∴f(x)min＝f(12)＝12，f(x)max＝f(2)＝2.
即-2a+b=12，-a2+b=2，解得a＝1，b＝52.
答案：1 52
名师点评 利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性．
二、不等式法
主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常用的不等式有以下几种：
a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；
a+b2≥ab(a≥0，b≥0)；
ab≤a+b22≤a2+b22(a，b为实数)．
[例2] 已知函数f(x)＝sin2xsinx+2，则f(x)的最大值为________．
解析：设t＝sin x＋2，则t∈[1，3]，则sin2x＝(t－2)2，则g(t)＝t-22t＝t＋4t－4(1≤t≤3)，由“对勾函数”的性质可得g(t)在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g(1)＝1，g(3)＝13，所以g(t)max＝g(1)＝1.即f(x)的最大值为1.
答案：1
名师点评 在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正”“二定”“三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．
三、换元法
换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
[例3] (1)函数f(x)＝x＋21-x的最大值为________；
(2)求函数y＝x－4-x2的值域．
解析：(1)设1-x＝t(t≥0)，所以x＝1－t2，所以y＝f(x)＝x＋21-x＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所以当t＝1即x＝0时，ymax＝f(x)max＝2.
(2)换元法：由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
所以设x＝2csθ(θ∈[0，π])，
则y＝2cs θ－4-4cs2θ＝2csθ－2sin θ
＝22cs θ+π4，
因为θ＋π4∈π4，5π4，
所以cs θ+π4∈-1，22，
所以y∈[－22，2].
答案：(1)2 (2)y∈[－22，2]
名师点评 在使用换元法时注意换元后新元的范围(即定义域)，特别是三角换元后新函数的周期性对值域的影响．
四、数形结合法
数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．
[例4] 对a，b∈R，记max{a，b}＝a，a≥bb，a