安徽省芜湖市弋江区2021-2022学年八年级上期末数学试题(含答案)

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安徽省芜湖市弋江区2021-2022学年八年级上期末数学试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A x＜3 B. x＞3 C. x≠3 D. x＝3
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，由边长为1的小等边三角形构成的网格图中，有3个小等边三角形已涂上阴影．在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影等边三角形组成一个轴对称图形，符合选取条件的空白小等边三角形有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）

A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB，AC分别于D，E，连接CD，若∠B=70°，则∠DCB等于（ ）

A. 20° B. 30° C. 35° D. 40°
7. 若为正整数，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，AD垂直平分BC，垂足为D，∠BAC＝45°，CE⊥AB于E，交AD于F，BD＝2，则AF等于（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 分解因式x2-5x-14，正确结果是（ ）
A. （x－5）（x－14） B. （x－2）（x－7） C. （x－2）（x＋7） D. （x＋2）（x－7）
10. 已知，则的值为（ ）
A. －5 B. 27 C. 23 D. 25
11. 若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A. m＜﹣10 B. m≤﹣10
C. m≥﹣10且m≠﹣6 D. m＞﹣10且m≠﹣6
12. 如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC=9，AB=5，PB=3，则PC的长可能是（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上．
13. 用科学记数法表示0.0000064，可写成________．
14. 若xy=-3，x+y=5，则2x2y+2xy2=________．
15. 计算：的结果是____________．
16. 正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
17. 若，则的值为________．
18. 【问题背景】（1）过等腰直角△ABC两个锐角顶点，分别向直角顶点C所在的一条直线作垂线，垂足分别为点D，E．如图1，这种图形可归纳为“一线三等角”．其中已知∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，又由∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，得到∠ACD=∠CBE，所以△ACD≌△CBE，这种判定三角形全等的依据是________（填写SSS，SAS，ASA，AAS或HL）．

图1
【问题解决】（2）如图2，已知平面直角坐标系中的两点A（-2，4），B（3，1），在直线AB的上方，以AB为边作等腰直角△ABM，写出所有符合条件的点M坐标：________．

图2
三、解答题（本大题共5个小题，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19. 如图，是平面直角坐标系中网格线，每一小格的边长都是为1，△ABC的顶点都是格点．

（1）在网格图中作出△ABC关于y轴的对称图形，并直接写出点A的对应点的坐标；
（2）在x轴上有一点P，使得AP＋BP最短，找出并标记点P位置．
20. 2021年12月14日，安徽省确定中长跑是2022年初中学业水平体育与健康学科考试必考项目．某体育用品商店预测某款运动鞋能够畅销，就用16000元购进了一批这款运动鞋，上柜后很快销完，该商店又用40000元购进第二批这款运动鞋，所购数量是第一批的2倍，但每双鞋的进价却高了10元，求第一次购买时，这款运动鞋每双的进价．
21. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，点E在AB上，将△BCE沿CE对折得到△FCE，EF恰好过点A，FC边与AD边交于点G，且DC=DG．

（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）试判断△FAG的形状，并说明理由．
22. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．

（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：FA平分∠BFE．
23. 已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．

（1）若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．
（2）在图1中，BD，CE与BC的数量关系是 ．
（3）若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ．



安徽省芜湖市弋江区2021-2022学年八年级上期末数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据轴对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
考点：轴对称图形．
2. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＜3 B. x＞3 C. x≠3 D. x＝3
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：要使有意义，则x－3≠0，即x≠3，故答案选C.
考点：分式有意义的条件.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得．
【详解】解： A、，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．
4. 如图，由边长为1的小等边三角形构成的网格图中，有3个小等边三角形已涂上阴影．在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影等边三角形组成一个轴对称图形，符合选取条件的空白小等边三角形有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形的性质进而得出符合题意的图形即可．
【详解】解：轴对称图形如1所示．

故符合选取条件的空白小等边三角形有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）

A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．
【详解】解：BF=EC，

A 添加一个条件AB=DE，
又

故A不符合题意；
B. 添加一个条件∠A=∠D
又

故B不符合题意；
C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意；
D. 添加一个条件AC∥FD

又

故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB，AC分别于D，E，连接CD，若∠B=70°，则∠DCB等于（ ）

A. 20° B. 30° C. 35° D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】已知∠B=70°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ACD=∠A，易求∠BCD．
【详解】解：∵∠B=70°，AB=AC，
∴∠A=180°-2×70°=40°，
又∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．主要了解线段垂直平分线的性质即可求解．
7. 若为正整数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解．
【详解】=，
故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
8. 如图，AD垂直平分BC，垂足为D，∠BAC＝45°，CE⊥AB于E，交AD于F，BD＝2，则AF等于（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】求出∠ACE=45°，证明∠EAC=∠ACE，利用同角的余角相等，证明∠BAD=∠BCE，利用ASA证明即可解答．
【详解】解：∵AD垂直平分BC，BD=2，
∴BC=2BD=4，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACE=90°-45°=45°，
∴∠EAC=∠ACE，
∴AE=CE，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B+∠BCE=90°，
∴∠BAD=∠BCE，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF=BC=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟记全等三角形的判定方法．
9. 分解因式x2-5x-14，正确的结果是（ ）
A. （x－5）（x－14） B. （x－2）（x－7） C. （x－2）（x＋7） D. （x＋2）（x－7）
【答案】D
【解析】
【分析】根据-14=-7×2，-5=-7+2，进行分解即可．
【详解】解：x2-5x-14=（x-7）（x+2），
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．
10. 已知，则的值为（ ）
A. －5 B. 27 C. 23 D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】等式两边同时平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是根据题目信息，两边同时平方，利用等式变形求解．
11. 若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A. m＜﹣10 B. m≤﹣10
C. m≥﹣10且m≠﹣6 D. m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【解析】
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得，
解得，
由方程的解为正数，得到，且，，
则m范围为且，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
12. 如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC=9，AB=5，PB=3，则PC的长可能是（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】在AC上取AE=AB=5，然后证明△AEP-ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE=PB=3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：在AC上截取AE=AB=5，连接PE，

∵AC=9，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，
∴∠CAD=∠BAD，
在△APE和△APB中，，
∴△APE≌△APB（SAS），
∴PE=PB=3，
∵4-3＜PC＜4+3，
解得1＜PC＜7，
观察四个选项，PC的长可能是6，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上．
13. 用科学记数法表示0.0000064，可写成________．
【答案】6.4×10-6
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000064=6.4×10-6；
故答案为：6.4×10-6．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14. 若xy=-3，x+y=5，则2x2y+2xy2=________．
【答案】-30
【解析】
【分析】对原式用提公因式法因式分解，然后把x+y、xy整体代入，即可求出原式的值．
【详解】解：2x2y+2xy2=2xy（x+y）．
∵xy=-3，x+y=5．
∴原式=2×（-3）×5，
=-30．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，整体代入是本题的关键．
15. 计算：的结果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【详解】解：



，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
16. 正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
【答案】12
【解析】
【分析】先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．
【详解】解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．
17. 若，则的值为________．
【答案】7
【解析】
【分析】将已知变形为m-n=-5mn，再将原式变形，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，即=5，
∴n-m=5mn，即m-n=-5mn，
∴=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查分式的求值，整体代入是解题的关键．
18. 【问题背景】（1）过等腰直角△ABC的两个锐角顶点，分别向直角顶点C所在的一条直线作垂线，垂足分别为点D，E．如图1，这种图形可归纳为“一线三等角”．其中已知∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，又由∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，得到∠ACD=∠CBE，所以△ACD≌△CBE，这种判定三角形全等的依据是________（填写SSS，SAS，ASA，AAS或HL）．

图1
【问题解决】（2）如图2，已知平面直角坐标系中的两点A（-2，4），B（3，1），在直线AB的上方，以AB为边作等腰直角△ABM，写出所有符合条件的点M坐标：________．

图2
【答案】 ①. AAS ②. （1，9），（6，6），（2，5）
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC=∠CEB=90°，根据余角的性质得到∠ACD=∠BCE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）当∠M1AB=90°，△ABM1是等腰直角三角形，当∠M3BA=90°，△ABM3是等腰直角三角形，当∠AM2B=90°，△ABM2是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD和△CBE中，，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
故答案为：AAS；
（2）解：当∠M1AB=90°，△ABM1是等腰直角三角形，
过A作直线l∥y轴，过B作BF⊥直线l于F，过M1作M1E⊥直线l于E，

∴∠AEM1=∠AFB=90°，
∵∠BAM1=90°，
∴∠EAM1+∠FAB=∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠EAM1=∠ABF，
∵AM1=AB，
∴△AEM1≌△BFA（AAS），
∴AE=BF，AF=EM1，
∵点A（-2，4），B（3，1），
∴AE=BF=5，AF=EM1=3，
∴M1（1，9），
当∠M3BA=90°，△ABM3是等腰直角三角形，
过B作直线m∥x轴，分别过A，M3作AF⊥m于F，M3G⊥m于G，
同理，M3（6，6）；
当∠AM2B=90°，△ABM2是等腰直角三角形，
∴∠M2AB=∠ABM2=∠M1AM2=∠AM1M2=45°，
∴M11M2=BM2，
∴M2是线段BM1的中点，
∴M2（2，5），
综上所述，符合条件的点M坐标为：（1，9），（6，6），（2，5），
故答案为：（1，9），（6，6），（2，5）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19. 如图，是平面直角坐标系中的网格线，每一小格的边长都是为1，△ABC的顶点都是格点．

（1）在网格图中作出△ABC关于y轴的对称图形，并直接写出点A的对应点的坐标；
（2）在x轴上有一点P，使得AP＋BP最短，找出并标记点P位置．
【答案】（1）见解析，（1，2）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质即可在网格图中作出△ABC关于y轴的对称图形，并直接写出点A的对应点的坐标；
（2）先找到点B关于x轴的对称点B″，连接B″A与x轴交于点P即可．
【小问1详解】
解：（1）如图，△A'B'C即为所求；

点A的对应点A'的坐标为（1，2）；
【小问2详解】
解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
20. 2021年12月14日，安徽省确定中长跑是2022年初中学业水平体育与健康学科考试必考项目．某体育用品商店预测某款运动鞋能够畅销，就用16000元购进了一批这款运动鞋，上柜后很快销完，该商店又用40000元购进第二批这款运动鞋，所购数量是第一批的2倍，但每双鞋的进价却高了10元，求第一次购买时，这款运动鞋每双的进价．
【答案】第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为40元．
【解析】
【分析】设第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为x元，则第二次进价为（x+10）元，接下来，用含x的式子可表示出两次购进这款运动鞋的数量，最后依据第二批所购数量是第一批的2倍列方程求解即可．
【详解】解：设第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为x元，则

解得x=40．
检验：当x=40时，x（x+10）≠0．所以x=40是原方程的解．
答：第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为40元．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用，依据第二批所购数量是第一批的2倍列出关于x的方程是解题的关键．
21. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，点E在AB上，将△BCE沿CE对折得到△FCE，EF恰好过点A，FC边与AD边交于点G，且DC=DG．

（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）试判断△FAG的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）根据SAS即可证明结论；
（2）结合（1）可得∠BCA=∠DAC，然后根据平行线的性质可得∠FAG=∠AFG=∠FGA，进而可以解决问题．
【小问1详解】
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵在△BCA和△DCA中，
，
∴△BAC≌△DCA（SAS）；
【小问2详解】
解：△FAG是等边三角形．理由如下：
∵△BAC≌△DCA，
∴∠BCA=∠DAC，
∴BC∥AD，
∴∠FAG=∠ABC，
由折叠的性质知：∠ABC =∠BFC，
∴∠FAG=∠AFG，
∵DC=DG，
∴∠DCG=∠DGC=∠FGA，
∵AB∥CD，
∴∠AFG=∠DCG，
∴∠FAG=∠AFG=∠FGA，
所以△FAG是等边三角形．
【点睛】本题考查翻折变换，全等三角形的判定与性质，利用平行线的性质，确定△FAG是等边三角形是解本题的关键．
22. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．

（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：FA平分∠BFE．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据SAS证明结论即可；
（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线性质即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
【小问2详解】
证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．

由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．
23. 已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．

（1）若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．
（2）在图1中，BD，CE与BC的数量关系是 ．
（3）若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取AB的中点F，连接OF．证明△BOF是等边三角形，△DOF≌△EOC，即可解决问题；
（2）结论：，利用全等三角形的性质证明即可；
（3）结论：，证明方法类似（2）．
【小问1详解】
证明：取AB的中点F，连接OF．
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∵点O与点F分别是BC与AB的中点，
∴，
∴△BOF是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∵在△DOF和△EOC中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：结论：．
理由：∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
【小问3详解】
结论：．
理由如图2中，取的中点F，连接OF．

同（1）中的方法可证是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．