高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数导学案及答案

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教材要点
要点一 对数的概念
1．定义：如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么________叫作以________为底，________的对数，记作b＝lgaN.
2．相关概念
底数与真数
其中，________叫作对数的底数，________叫作真数．
状元随笔 lgaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
要点二 对数与指数间的关系
当a＞0，且a≠1时，ab＝N⇔b＝lgaN.前者叫指数式，后者叫对数式．
状元随笔
要点三 对数的性质
要点四 对数的基本恒等式
algaN＝N(a＞0且a≠1，N＞0)；
b＝lgaab(b∈R，a>0且a≠1)．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)lgaN是lga与N的乘积．( )
(2)因为(－4)2＝16，所以lg(－4)16＝2.( )
(3)因为3x＝81，所以lg813＝x.( )
(4)lg32＝lg23.( )
2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有( )
A．lg2M＝a B．lgaM＝2
C．lga2＝M D．lg2a＝M
3．若lg8x＝－23，则x的值为( )
A．14 B．4
C．2 D．12
4．3lg32＋lg21＝________．
对数的概念
例1 (1)在M＝lg(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( )
A．(－∞，3] B．(3，4)∪4，+∞
C．(4，＋∞) D．(3，4)
(2)将下列指数式、对数式互化．
①54＝625；②lg216＝4；③10－2＝0.01；④lg5125＝6.
方法归纳
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1 (1)(多选)下列指数式与对数式的互化正确的是( )
A．30＝1与lg31＝0
B．lg39＝2与912＝3
C.8-13＝12与lg812＝－13
D．lg77＝1与71＝7
(2)对数式lg(x－1)(x＋2)中x的取值范围是________．
对数的计算
例2 求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)lg7(x＋2)＝2；
(3)lgx27＝32.
方法归纳
(1)lgaN＝x与ax＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)是等价的，转化前后底数不变．
(2)对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．
跟踪训练2 求下列各式中x的值：
(1)lg2x＝12；(2)lg216＝x；(3)lgx27＝3.
对数的性质及对数恒等式的应用
例3 (1)已知lg2[lg4(lg3x)]＝0，则x＝________；
(2)计算：51+lg53＋102＋lg 2＋eln 3.
方法归纳
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式值的解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg\”后再求解．
2．利用对数恒等式求解的方法
首先利用指数运算性质变形，变形为algab的形式，再利用对数恒等式计算求值．
跟踪训练3 (1)2－1＋lg22＝( )
A．22 B．2
C．12+2 D．22
(2)计算：lg3[lg3(lg28)]＝________．
易错辨析 忽视对数的底数致误
例4 使对数lga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．12，1∪1，+∞ B.0，12
C．(0，1)∪1，+∞ D.-∞，-12
解析：使对数lga(－2a＋1)有意义的a需满足a＞0，a≠1，-2a+1＞0，
解得0＜a＜12.
答案：B
易错警示
课堂十分钟
1．若a＞0，且a≠1，c＞0，则将ab＝c化为对数式为( )
A．lgab＝c B．lgac＝b C．lgbc＝a D．lgca＝b
2．若lg2(lgx9)＝1，则x＝( )
A．3 B．±3 C．9 D．2
3．在lg3(m－1)中，实数m的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
4．式子2lg25＋lg321的值为________．
5．求下列各式中x的值：
(1)若lg31+2x3＝1，求x的值；
(2)若lg2 021(x2－1)＝0，求x的值．
4．3 对数函数
4．3.1 对数的概念
新知初探·课前预习
要点一
1．b a (正)数N
2．a N
要点三
零和负数 0 0 1 1
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：由对数的定义可知lgaM＝2.
答案：B
3．解析：由对数与指数的互化可得：x＝8-23＝23×(-23)＝14.
答案：A
4．解析：原式＝2＋0＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由对数的定义可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x－3>0且x－3≠1.))
解得x>3且x≠4.
故选B.
(2)①由54＝625得lg5625＝4.
②由lg216＝4得24＝16.
③由10－2＝0.01得lg 0.01＝－2.
④由lg5125＝6得( eq \r(5) )6＝125.
跟踪训练1 解析：(1)对于A，30＝1可化为0＝lg31，所以A中互化正确；对于B，lg39＝2可化为32＝9，所以B中互化不正确；对于C，8－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,2) 可化为lg8 eq \f(1,2) ＝－ eq \f(1,3) ，所以C中互化正确；对于D，lg77＝1可化为71＝7，所以D中互化正确．故选ACD.
(2)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,x－1>0且x－1≠1.)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>－2，,x>1且x≠2，)) ∴x>1且x≠2.
答案：(1)ACD (2)(1，2)∪(2，＋∞)
例2 解析：(1)∵4x＝5·3x，
∴ eq \f(4x,3x) ＝5，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3))) eq \s\up12(x) ＝5，
∴x＝lg435.
(2)∵lg7(x＋2)＝2，
∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.
(3)∵lgx27＝ eq \f(3,2) ，∴x32＝27，
∴x＝2723＝32＝9.
跟踪训练2 解析：(1)∵lg2x＝ eq \f(1,2) ，∴x＝212，∴x＝ eq \r(2) .
(2)∵lg216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.
(3)∵lgx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.
例3 解析：(1)∵lg2[lg4(lg3x)]＝0＝lg21，
∴lg4(lg3x)＝1.
又lg4(lg3x)＝lg44＝1，
∴lg3x＝4，
∴x＝34＝81.
(2)原式＝5·5lg53＋102·10lg 2＋eln 3
＝5×3＋102×2＋3
＝218.
答案：(1)81 (2)见解析
跟踪训练3 解析：(1)2-1+lg22＝2－1·2lg22＝ eq \f(1,2) × eq \r(2) ＝ eq \f(\r(2),2) .
(2)lg3[lg3(lg28)]＝lg3[lg3(lg223)]＝lg3(lg33)＝lg31＝0.
答案：(1)A (2)0
[课堂十分钟]
1．解析：由对数的定义直接可得lgac＝b.
答案：B
2．解析：∵lg2(lgx9)＝1，∴lgx9＝2，即x2＝9，又∵x>0，∴x＝3.
答案：A
3．解析：由m－1>0得m>1.
答案：D
4．解析：由对数性质知，2lg25＝5，lg321＝0，故原式＝5.
答案：5
5．解析：(1)∵lg3 eq \f(1＋2x,3) ＝1，∴ eq \f(1＋2x,3) ＝3，
∴1＋2x＝9，∴x＝4.
(2)∵lg2 021(x2－1)＝0，
∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝± eq \r(2) .
最新课程标准
学科核心素养
1.理解对数的概念．
2．理解对数的性质．
1.理解对数的概念．(数学抽象)
2．掌握指数与对数的互化、简单求值．(数学运算)
性质1
________没有对数
性质2
1的对数是________，即lga1＝__(a＞0，且a≠1)
性质3
底的对数是______，即lgaa＝______(a＞0，且a≠1)
易错原因
纠错心得
忽视了底数a的范围致误，易错选D.
对数式中只要底数和真数都含有参数，都需要考虑，否则致错．