高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案，共12页。

(1)结合具体实例，了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象．(2)借助函数图象，理解参数A，ω，φ的意义，能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定其解析式．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1．φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响❶
2．ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响❷
3．A(A>0)对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响❸
助 学 批 注
批注❶ φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
批注❷ ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
批注❸ A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)将函数y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y＝cs x的图象．( )
(2)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．( )
(3)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin 2x的图象．( )
(4)在y＝A sin (ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴之间的距离为1个周期．( )
2．把函数y＝sin x的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－π3 B．y＝sin x＋π3
C．y＝sin (x－π3) D．y＝sin (x＋π3)
3．函数y＝sin 4x的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到( )
A．所有点的横坐标变为原来的4倍
B．所有点的横坐标变为原来的14倍
C．所有点的纵坐标变为原来的4倍
D．所有点的纵坐标变为原来的14倍
4．若函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 三角函数图象的变换
例1 如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin (2x－π3)＋1的图象？
方法归纳
由y＝sin x的图象得到函数y＝A sin (ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)的图象变化方法：
(1)y＝sin x 相位变换 y＝sin (x＋φ) 周期变换 y＝sin (ωx＋φ) 振幅变换 y＝A sin (ωx＋φ)．
(2)y＝sin x 周期变换 y＝sin ωx 相位变换 y＝sin [ω(x＋φω)]＝sin (ωx＋φ) 振幅变换 y＝A sin (ωx＋φ).
特别提醒：两种变换方法顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移φω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
巩固训练1 (1)为了得到函数y＝sin (2x－π6)的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移π6个单位
B．向右平移π6个单位
C．向左平移π12个单位
D．向右平移π12个单位
(2)为了得到y＝sin (x＋π3)的图象只需将函数y＝cs x的图象________而得到．
题型 2 “五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
例2 作出函数y＝2sin (x2+π6)的一个周期内的简图．
方法归纳
用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤
巩固训练2 [2022·山东临沂高一期末]用“五点法\”作出函数y＝2sin 2x+π4在[0，π]上的图象．
题型 3 由图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
例3 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．
方法归纳
由y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象
确定解析式常用的2种方法
巩固训练3
如图是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则下列说法正确的是( )
A．ω＝2，φ＝2π3
B．ω＝1，φ＝2π3
C．ω＝2，φ＝π3
D．ω＝2，φ＝π6
题型 4 三角函数图象与性质的综合应用
例4 (多选)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移π12个单位后得到函数g(x)的图象，则( )
A．f(x)与g(x)的最小正周期都是π
B．g(x)的图象关于点(－π12，0)对称．
C．f(x)的图象关于直线x＝π6对称
D．g(x)在区间[－π3，π6]上单调递增
方法归纳
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的对称轴方程与对称中心的判断方法
对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z求得，即x＝kπ+π2-φω，k∈Z；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得，即为(kπ-φω，0)，k∈Z.
2．奇偶性的判断方法
对于函数y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±π2(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝A cs (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±π2(k∈Z)时为奇函数．
巩固训练4 函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝π6，则φ的值为________.
5.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．左 右
2.1ω
3．A
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．解析：根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移π3个单位长度后得到y＝sin (x＋π3)的图象．
答案：D
3．解析：将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的14倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin 4x的图象．
答案：B
4．解析：由图象可得T2＝12·2πω＝x0+π4－x0＝π4，解得ω＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1 解析：方法一 y＝sin x 向右平移π3个单位长度 y＝sin (x－π3) y＝sin (2x－π3)y＝3sin (2x－π3) 向上平移1个单位长度 y＝3sin 2x-π3＋1.
方法二 y＝sin xy＝sin 2x 向右平移π6个单位长度 y＝sin 2(x－π6)y＝3sin 2(x－π6)＝3sin (2x－π3) 向上平移1个单位长度 y＝3sin (2x－π3)＋1.
巩固训练1 解析：(1)y＝sin (2x－π6)＝sin 2(x－π12)，
故将函数y＝sin 2x的图象向右平移π12个单位，可得y＝sin (2x－π6)的图象．
(2)y＝sin (x＋π3)＝cs [π2－(x＋π3)]
＝cs (π6－x)＝cs (x－π6)，
只需把y＝cs x的图象向右平移π6个单位长度即得到y＝sin (x＋π3)．
答案：(1)D (2)向右平移π6个单位长度
例2 解析：令t＝x2＋π6，列表如下：
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：
巩固训练2 解析：列出x，y的对应值表：
描点，连线，如图所示．
例3 解析：方法一 (逐一定参法)：由图象知A＝3，
T＝5π6--π6＝π，∴ω＝2πT＝2，
∴y＝3sin (2x＋φ)．∵点-π6，0在函数图象上，
∴0＝3sin (－π6×2＋φ)．
∴－π6×2＋φ＝kπ，得φ＝π3＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<π2，∴φ＝π3.
∴y＝3sin (2x＋π3)．
方法二 (待定系数法)：由图象知A＝3.
∵图象过点(π3，0)和(5π6，0)，
∴5πω6+φ=2π，πω3+φ=π，解得φ=π3，ω=2，
∴y＝3sin (2x＋π3)．
巩固训练3 解析：由图象得A＝2，T2＝11π12-5π12，
则T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin (2x＋φ)，
∴f(11π12)＝2sin (2×11π12＋φ)＝2，
得φ＝－4π3＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜π，
∴φ＝2π3.
答案：A
例4 解析：由题知f(x)＝sin 2x，g(x)＝sin [2(x＋π12)]＝sin (2x＋π6)，
f(x)与g(x)的最小正周期均为T＝2π2＝π，故A正确；
g(－π12)＝sin [2×(－π12)＋π6]＝sin 0＝0，故B正确；
f(π6)＝sin (2×π6)＝sin π3＝32≠±1，所以x＝π6不是对称轴，故C错误；
g(x)的单调递增区间为2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，当k＝0时，递增区间为[－π3，π6]，故D正确．
答案：ABD
巩固训练4 解析：由题意知2×π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，
所以φ＝π6＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，
所以φ＝－56π.
答案：－56π
x
－π3
2π3
5π3
8π3
11π3
t
0
π2
π
3π2
2π
y
0
2
0
－2
0
x
－π8
π8
3π8
5π8
7π8
2x＋π4
0
π2
π
3π2
2π
y
0
2
0
－2
0