高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时同步练习题

第四章数列

4.3　等比数列

4.3.2　等比数列的前n项和公式

第1课时　等比数列的前n项和

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于(　　)

A.10 B.210

C.a10-2 D.211-2

解析∵=2,∴数列{an}是公比为2的等比数列,且a1=2.∴S10==211-2.

答案D

2.在等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为 (　　)

A.81 B.120 C.168 D.192

解析因为=27=q3,所以q=3,a1==3,S4==120.

答案B

3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=(　　)

A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1

解析设公比为q,则q=,

于是a1+a1=,因此a1=2,于是Sn==4,而an=2,于是=2n-1.

答案D

4.在14与之间插入n个数组成一个等比数列,若各项总和为,则此数列的项数为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

解析设a1=14,an+2=,则Sn+2=,

解得q=-.所以an+2=14·,

解得n=3.故该数列共5项.

答案B

5.(多选)(2020山东高二期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则下列结论正确的有(　　)

A.为等比数列

B.{an}的通项公式为an=

C.{an}为递增数列

D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4

解析因为+3,

所以+3=2,又+3=4≠0,

所以是以4为首项,2为公比的等比数列,+3=4×2n-1,即an=,{an}为递减数列,的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=2(21+22+…+2n)-3n=2×-3n=2n+2-3n-4.故选ABD.

答案ABD

6.对于等比数列{an},若a1=5,q=2,Sn=35,则an=　　　　　. 

解析由Sn=,得an==20.

答案20

7.在等比数列{an}中,设前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=　　　　. 

解析因为a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减,得a4-a3=2a3,即a4=3a3,所以q==3.

答案3

8.已知等比数列{an}是递减数列,Sn是{an}的前n项和,若a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两个根,则公比q=　　　　　,S5=　　　　　. 

解析∵a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两根,且等比数列{an}是递减数列,∴a1=1,a2=,则公比q=,

∴S5=.

答案

9.已知等比数列{an}满足a3=12,a8=,记其前n项和为Sn.

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)若Sn=93,求n.

解(1)设等比数列{an}的公比为q,

则解得

所以an=a1qn-1=48·.

(2)Sn==96.

由Sn=93,得961-=93,解得n=5.

10.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,方程ax2-3x+2=0的解为1和b(b≠1).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{an}满足bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和Tn.

解(1)因为方程ax2-3x+2=0的两根为x1=1,x2=b,

可得解得所以an=2n-1.

(2)由(1)得bn=(2n-1)·2n,

所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n, ①

2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1, ②

由①-②,得-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2(2+22+23+…+2n)-(2n-1)·2n+1-2=2·-(2n-1)·2n+1-2=(3-2n)·2n+1-6.所以Tn=(2n-3)·2n+1+6.

能力提升练

1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=8,则Sn=(　　)

A.2n-1 B.2n-1-1

C.2n+1-1 D.2n+1

解析显然q≠1,由已知,得=3×,

整理,得q=2.因为a1a2a3=8,所以=8,

所以a2=2,从而a1=1.于是Sn==2n-1.

答案A

2.(多选)(2020江苏启东中学高二开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则(　　)

A.数列{an}为等差数列

B.数列{an}为等比数列

C.+…+

D.m+n为定值

解析由题意,当n=1时,S1=2a1-2,解得a1=2,

当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,所以Sn-Sn-1=an=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1,

所以=2,所以数列{an}是以首项a1=2,公比q=2的等比数列,an=2n,故选项A错误,选项B正确;

数列{}是以首项=4,公比q1=4的等比数列,

所以+…+,故选项C错误;

aman=2m2n=2m+n=64=26,所以m+n=6为定值,故选项D正确.

故选BD.

答案BD

3.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a5=27,+…+=3,则a3=(　　)

A.±9 B.9 C.±3 D.3

解析设公比为q,则由已知可得

两式相除,得q4=9,即=9,所以a3=±3.

答案C

4.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比q=　　　　. 

解析由题意,得a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),又a1≠0,q≠0,故q=-.

答案-

5.1++…+=　　　　. 

解析设Sn=1++…+,

则Sn=+…+,两式相减,得Sn=1++…+.

所以Sn=3-.

答案3-

6.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3+S6=2S9,则公比q等于　　　　　. 

解析若q=1,S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9.

∴q≠1,∴,

即 2q9-q6-q3=0,∴q3(2q6-q3-1)=0.

∵q≠0,∴2q6-q3-1=0,∴(q3-1)(2q3+1)=0,

∴q3=-或q3=1(舍),∴q=-.

答案-

7.(2019全国Ⅱ,文18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=log2an.求数列{bn}的前n项和.

解(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,

即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.

因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.

(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.

8.已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3n·bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.

(1)求an,bn;

(2)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn.

解(1)当n≥2时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,两式相减,得an=an-an-1+2n-1,∴an-1=2n-1.∴an=2n+1.

∴3n·bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3.

∴bn+1=,∴当n≥2时,bn=.

又b1=3适合上式,∴bn=.

(2)由(1)知bn=,

∴Tn=+…+,①

Tn=+…+,②

①-②,得Tn=3++…+

=3+4·=5-.

∴Tn=.

素养培优练

设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1.

(1)求证:数列{an}为等比数列;

(2)求数列{log3an}的前n项和Tn.

(1)证明∵2Sn=an+1-1,∴2a1=a2-1.

又∵a1=1,∴a2=3.

当n≥2时,∵2Sn=an+1-1,

∴2Sn-1=an-1,

两式相减,得2an=an+1-an,即an+1=3an,

∴=3(n≥2).又∵a1=1,∴a2=3.所以=3,

∴{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.

(2)解由(1)知{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n-1(n∈N*),所以log3an=log33n-1=n-1,

所以Tn=1+2+…+(n-1)=.