高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时复习练习题

第四章数列

4.2　等差数列

4.2.2　等差数列的前n项和公式

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用

课后篇巩固提升

基础达标练

1.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-11,=2,则S11=(　　)

A.-11 B.11 C.10 D.-10

解析∵{an}为等差数列,∴为等差数列,首项=a1=-11,设的公差为d,则=2d=2,

∴d=1,

∴=-11+10d=-1,∴S11=-11.

答案A

2.某等差数列共有13项,其中偶数项之和为30,则奇数项之和为(　　)

A.34 B.35

C.36 D.不能确定

解析由题意可得,偶数项的S偶=a2+a4+…+a12=30,由等差数列的性质可知,6a7=30,即a7=5,因为共有13项,∴S奇=S偶+a7=35.

答案B

3.若Sn表示等差数列{an}的前n项和,,则=(　　)

A. B. C. D.

解析由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列.∵,∴S10=3S5,

∴S15=6S5,S20=10S5,∴.

答案C

4.(多选)(2019山东莱州一中高三月考)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有(　　)

A.a10=0 B.S7=S12

C.S10最小 D.S20=0

解析因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确,

又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确,

当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误,

又S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误,故选AB.

答案AB

5.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若,则=(　　)

A. B. C. D.

解析∵,则根据等差数列的性质可知.

答案D

6.已知等差数列{an},Sn为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6=　　　　　. 

解析∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5.

答案5

7.已知等差数列{an},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是　　　　. 

解析由|a5|=|a9|,且d>0,得a5<0,a9>0,且a5+a9=0,即2a1+12d=0,即a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且为最小值.

答案6或7

8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,n∈N*,若S12>0,S13<0,则数列{|an|}的最小项是　　　　　. 

解析设等差数列{an}的公差为d.

∵a1>0,n∈N*,S12>0,S13<0,

∴6(a6+a7)>0,13a7<0.

∴a6>0,a7<0,且a6>-a7>0.

而-a7<-a8<…,则数列{|an|}的最小项是a7.

答案a7

9.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4.

(1)求数列{an}的前n项和Sn;

(2)求数列的前n项和Tn.

解(1)设{an}的公差为d,

由题意,得

即解得

所以Sn=3n+×(-1)=-n2+n.

(2)由(1),得=-n+,

所以=-(n+1)+=-,

即数列是首项为=3,公差为-的等差数列,故Tn=3n+=-n2+n.

10.在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.

解等差数列{an}的公差d==3,

故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.

由an<0,得3n-63<0,即n<21.

故数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.

设Sn,S'n分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,

当n≤20时,S'n=-Sn

=-=-n2+n;

当n≥21时,S'n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+×3-2×

=n2-n+1 260.故数列{|an|}的前n项和为S'n=

能力提升练

1.在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则这个数列前30项的绝对值之和为(　　)

A.495 B.765 C.46 D.76

解析由已知可以判断数列{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n-63.

∵a1<0,d>0,a21=0,a22>0,

∴数列前30项的绝对值之和为S30-2S21=30×(-60)+×3-2×=765.

答案B

2.(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且,则使得为整数的正整数n可以是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.6

解析=7+.

当n=1,2,3,5,11时,为整数,即当n=1,2,3,5,11时,为整数.故选ABC.

答案ABC

3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,nSn+1>(n+1)Sn(n∈N*),且<-1,则在Sn中(　　)

A.最小值是S7 B.最小值是S8

C.最大值是S8 D.最大值是S7

解析由nSn+1>(n+1)Sn,得,即>0.而,所以d>0.因为<-1,所以<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7.

答案A

4.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a4和a5是方程x2-20x+99=0的两个根,若对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,则k的值为　　　　　. 

解析∵a4和a5是方程x2-20x+99=0的两个根,

∴a4+a5=20,a4·a5=99.

∵对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,即Sk是和的最大值,从而d<0,∴a4=11,a5=9,d=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=19-2n,

当n≤9时,an>0,当n>9时,an<0,

若对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,则k=9.

答案9

5.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数k为　　　　. 

解析因为等差数列{an}的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S2 011=S2 014,Sk=S2 009,可得,解得k=2 016.

答案2 016

6.已知数列{an}是以3为公差的等差数列,Sn是其前n项和,若S10是数列{Sn}中的唯一最小项,则数列{an}的首项a1的取值范围是　　　　. 

解析依题意,得解得-30<a1<-27.

答案(-30,-27)

7.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是和an的等差中项.

(1)证明:数列{an}为等差数列,并求an;

(2)若bn=-n+5,求{an·bn}的最大值,并求出取最大值时n的值.

(1)证明由已知,得2Sn=+an,且an>0.

当n=1时,2a1=+a1,解得a1=1.

当n≥2时,2Sn-1=+an-1.

所以2Sn-2Sn-1=+an-an-1,即2an=+an-an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.

因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).

故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.

(2)解由(1)可知an=n.设cn=an·bn,

则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-.

∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,{cn}的最大项为6.

故{an·bn}的最大值为6,此时n=2或n=3.

素养培优练

在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22.

(1)数列{an}的前多少项和最大?

(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.

解(1)设{an}的公差为d,由a10=23,a25=-22,得解得

所以an=a1+(n-1)d=-3n+53.

令an>0,得n<,所以当n≤17,n∈N*时,an>0;当n≥18,n∈N*时,an<0,故数列{an}的前17项和最大.

(2)当n≤17,n∈N*时,|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+n;

当n≥18,n∈N*时,|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a17-a18-a19-…-an=2(a1+a2+…+a17)-(a1+a2+…+an)=n2-n+884.

故Sn=