人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时综合训练题

第四章　4.2　4.2.1　第2课时

A级——基础过关练

1．(2021年河北模拟)在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝(　　)

A．－12　 B．－13

C．12　 D．13

【答案】B　【解析】由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13．

2．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)

A．10　　 B．20　　

C．30　　 D．40

【答案】A　【解析】设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知，偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10．

3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．1或2

【答案】D　【解析】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0．所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2．

4．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝(　　)

A．20　　 B．25　　

C．10　 D．15

【答案】D　【解析】由等差数列的性质可得a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15．

5．(2021年佛山期末)下列命题中正确的是(　　)

A．若a，b，c成等差数列，则a－3，b－3，c－3成等差数列

B．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列

C．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列

D．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列

【答案】A　【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2b－6＝a＋c－6，即2(b－3)＝(a－3)＋(c－3)，∴a－3，b－3，c－3成等差数列．

6．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________．

【答案】18　【解析】根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11，又a2＋a3＋a10＋a11＝36，∴a5＋a8＝18．

7．已知等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________．

【答案】15　【解析】∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(a3＋a15)＝15．

8．某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．

【答案】23.2　【解析】根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4千米时，每增加1 千米，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4千米处的车费，公差d＝1.2．那么当出租车行至14千米处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．

9．已知等差数列{an}的公差d＞0且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式．

解：由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝－4，

又a3a7＝－12，

∴a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两个根．

又d＞0，∴a3＝－6，a7＝2．

∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2．

∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12．

10．已知四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．

解：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则

整理得解得

故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1．

B级——能力提升练

11．在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)

A．10　　 B．20

C．40　　 D．2＋log25

【答案】B　【解析】∵在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，∴a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，∴a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20．

12．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列是等差数列，则a4等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A　【解析】令bn＝，则b2＝＝，b6＝＝1，由条件知{bn}是等差数列，∴2b4＝b6＋b2＝，b4＝．∵b4＝，∴a4＝．

13．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)

A．无实数根　　　　 B．有两个相等实数根

C．有两个不等实数根 D．不能确定有无实数根

【答案】A　【解析】∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，又a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3．∴方程为x2＋6x＋10＝0，Δ＝－4<0，无实数根．

14．(2021年上海模拟)如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________．

【答案】19　【解析】因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19．又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19．

15．(2021年福州期末)已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}，则{bn}的通项公式为bn＝______．

【答案】13－20n　【解析】数列{bn}是数列{an}的一个子数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列，即其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列．∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n．数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…．设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即{bn}的通项公式为bn＝13－20n．

16．在△ABC中，三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，求证：△ABC为正三角形．

证明：∵，，成等差数列，

∴＋＝2，平方得a＋c＋2＝4b．

又∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，

∴＝b，故(－)2＝0．

∴a＝b＝c．故△ABC为正三角形．

C级——探究创新练

17．(多选)(2021年山东二模)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　)

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺

B．春分和秋分两个节气的晷长相同

C．立冬的晷长为一丈五寸

D．立春的晷长比立秋的晷长短

【答案】ABC　【解析】设从冬至到夏至的晷长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝135，a13＝15，解得d＝－10．∴相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故A正确；春分的晷长为a7＝75，由题意及等差数列的性质知，秋分的晷长为75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确；立冬和立春的的晷长相同，为a4＝105，即为一丈五寸，故C正确；立春的晷长为a4＝105，立秋的晷长和立夏的相等，即为a10＝45，故D不正确．

18．(2020年山西期末)定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N*，d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝(　　)

A．4×1 0002－1　 B．4×1 0012－1

C．4×1 0022－1　 D．4×1 0012

【答案】A　【解析】由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则＝2n－1，所以＝·＝(2×1 001－1)(2×1 000－1)＝(2×1 000＋1)(2×1 000－1)＝4×1 0002－1．