人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念第1课时测试题

第四章数列

4.2　等差数列

4.2.1　等差数列的概念

第1课时　等差数列的概念及通项公式

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为(　　)

A.an=3n-1 B.an=2n+1

C.an=2n+3 D.an=3n+2

解析an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.

答案A

2.若△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,则cos(A+C)=(　　)

A. B.

C.- D.-

解析因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B.又因为A+B+C=π,所以A+C=,故cos(A+C)=-.

答案C

3.在等差数列{an}中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=(　　)

A.50 B.49 C.48 D.47

解析设等差数列{an}的公差为d,∵a1=,a4+a5=,∴2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)×,则ak==33,解得k=50.

答案A

4.在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为 (　　)

A. B.- C.- D.-1

解析设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,

解得d=-,因此新等差数列的公差为-.

答案B

5.(多选)等差数列20,17,14,11,…中的负数项可以是 (　　)

A.第7项 B.第8项

C.第9项 D.第10项

解析∵a1=20,d=-3,

∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,

∴a7=2>0,a8=-1<0.

故数列中的负数项是第8项及其之后的项,故选BCD.

答案BCD

6.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=　　　　　. 

解析∵{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,

∴a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,

解得a1=-10,d=3,

∴a3=a1+2d=-10+6=-4.

答案-4

7.已知a>0,b>0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m=　　　　　. 

解析∵a>0,b>0,2a=3b=m≠1,∴a=,b=.

∵a,ab,b成等差数列,∴2ab=a+b,

∴2×.

∴lg m=(lg 2+lg 3)=lg 6=lg .则m=.

答案

8.正项数列{an}满足a1=1,a2=2,2(n∈N*,n≥2),则a7=　　　　　. 

解析因为2(n∈N*,n≥2),

所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列,

所以=1+3(n-1)=3n-2,

所以an=,n≥1.

所以a7=.

答案

9.已知x,y,z成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.

证明因为x,y,z成等差数列,所以2y=x+z,

而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x

=x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),

故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.

10.已知数列{an},a1=1,an+1=2an+2n.

(1)设bn=,证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

解(1)因为an+1=2an+2n,

所以+1,

所以=1,n∈N*.

又因为bn=,所以bn+1-bn=1.所以数列{bn}是等差数列,其首项b1=a1=1,公差为1.

(2)由(1)知bn=1+(n-1)×1=n,

所以an=2n-1bn=n·2n-1.

能力提升练

1.已知等差数列的前4项分别是a,x,b,2x,则等于 (　　)

A. B. C. D.

解析依题意,得解得.

答案C

2.下列命题正确的是(　　)

A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列

B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列

C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列

D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列

解析因为a,b,c为等差数列,所以2b=a+c,

所以2(b+2)=(a+2)+(c+2),故a+2,b+2,c+2成等差数列,即C项正确.ABD三项通过举反例易知不正确.

答案C

3.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是(　　)

A.a6 B.a8 C.a10 D.a12

解析设等差数列{an}的公差为d.

∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,

∴a6=0,则{an}中一定为零的项是a6.

答案A

4.已知{an}是公差为d的等差数列,若3a6=a3+a4+a5+12,则d=　　　　　. 

解析3a6=a3+a4+a5+12⇒3(a1+5d)=a1+2d+a1+3d+a1+4d+12⇒6d=12,解得d=2.

答案2

5.已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*),且a1=1,则a10=　　　　　. 

解析设等差数列{an}的公差为d,

则an=1+(n-1)d=dn+1-d,

∴=d2n+2d(1-d)+为等差数列,

根据等差数列的性质可知=0,

即d=1,∴a10=10.

答案10

6.已知数列{an},a1=1,a2=,且(n≥2),则an=　　　　　. 

解析∵,

∴数列是等差数列,公差d=.

∴+(n-1)d=1+(n-1)=.

∴an=.

答案

7.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….

(1)求等差数列{an}的通项公式.

(2)135,4b+19(b∈N*)是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?

(3)若am,at(m,t∈N*)是数列{an}中的项,则2am+3at是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?

解(1)设等差数列{an}的公差为d.

依题意,得a1=3,d=7-3=4,

故an=3+4(n-1)=4n-1.

(2)令an=4n-1=135,解得n=34,

故135是数列{an}的第34项.∵4b+19=4(b+5)-1,且b∈N*,∴4b+19是数列{an}的第(b+5)项.

(3)∵am,at是数列{an}中的项,∴am=4m-1,at=4t-1,

∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1.

∵2m+3t-1∈N*,

∴2am+3at是数列{an}的第(2m+3t-1)项.

8.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).

(1)证明:数列是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式;

(3)若λan+≥λ对任意的n≥2恒成立,求实数λ的取值范围.

(1)证明由3anan-1+an-an-1=0(n≥2),

整理得=3(n≥2),

所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.

(2)解由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,

所以an=.

(3)解λan+≥λ对任意的n≥2恒成立,

即+3n-2≥λ对任意的n≥2恒成立,

整理,得λ≤对任意的n≥2恒成立.

令f(n)=,

则f(n+1)-f(n)==3-.

因为n≥2,所以f(n+1)-f(n)>0,

即f(2)<f(3)<f(4)<…,所以f(2)最小.

又f(2)=,所以λ≤,

所以实数λ的取值范围为.

素养培优练

数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.

(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.

(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.

解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,

所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.

从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.

(2)数列{an}不可能为等差数列,

证明如下:

由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,

得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),

a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).

若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,

即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.

于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.

这与{an}为等差数列矛盾,所以不存在λ使{an}是等差数列.