人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时练习

2.2  基本不等式(精练)

【题组三  基本不等式求最值】

1．(2021·浙江高一期末)已知正数a，b满足，则的最小值为(    )

A．8 B．10 C．9 D．6

【答案】A

【解析】因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即，时取等号，故选：A

2．(2021·上海浦东新区·华师大二附中高一月考)若，则的最大值是___________.

【答案】

【解析】因为，所以，

又，

取等号时，即，所以的最大值为，故答案为：.

3．(2021·广东珠海市·高一期末)已知、，且，则的最大值是_________.

【答案】

【解析】因为、，由基本不等式可得，得，

当且仅当，即，时，等号成立.

因此，的最大值是.故答案为：.

4．(2021·广东惠州市·高一期末)若正实数，满足，则的最大值为______．

【答案】

【解析】因为正数，满足，所以，所以，

解得，当且仅当，时取等号．

故答案为：．

5．(2021·广东湛江市·高一期末)已知正数、满足，则的最大值为_________．

【答案】

【解析】因为且，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.

6．(2021·吉林长春市)已知为正实数，且，则的最小值是_____．

【答案】8

【解析】由题意，正实数且，可得，

则，当且仅当时，即时等号成立，

所以的最小值是.

故选：B.

7．(2021·全国高一课时练习)若，则的最小值为_____．

【答案】2

【解析】由，则，

当且仅当时取“”，即的最小值为2．故答案为：2.

8．(2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考)已知为正实数，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由题得，

设，则.

当且仅当时取等.

所以的最小值为6.故答案为：6

9．(2021·上海高一期末)若､都是正数，且，则的最大值是_________.

【答案】

【解析】因为､都是正数，且，所以，

当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.

10．(2021·云南丽江市·高一期末)若，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】因为，所以，

所以，

当且仅当即时，取等号成立.

故的最小值为，

故答案为：

11．(2021·江苏盐城市·盐城中学高一期末)若，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】因为，所以

所以

当且仅当，即，时取等号，

故答案为：

12．(2021·浙江高一期末)设，为正数，且，则的最小值为_____．

【答案】

【解析】当时，

，

当且仅当时，即取等号，

.

13．(2021·上海交大附中高一开学考试)函数，的最小值为__________．

【答案】

【解析】，

当且仅当，即时取等号，

所以函数，的最小值为．

故答案为：8.

14．(2021·吴县中学高一月考)已知，则的最小值为________.

【答案】

【解析】，

，

当且仅当，即，解得是等号成立，

所以的最小值是

15．(2021·安徽滁州市·高一期末)已知，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】，

，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

16．(2021·合肥一六八中学高一期末)若，，则的最小值为     

【答案】3

【解析】因为，，所以同正，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

即的最小值为.

17．(2021·江苏南通市·高一期末)已知正数a，b满足，则的最小值为          

【答案】9

【解析】因为正数a，b满足，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：B.

18．(2021·重庆市清华中学校高一期末)已知，，，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由，得，

所以

，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

19．(2021·全国高一课时练习)若，则的最小值为             

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】4

【解析】由题意得，，
，
∴，当且仅当时取等号，即，
则函数的最小值是4，
故选D．

20．(2021·浙江高一期末)已知正数满足，则的最大值是      

【答案】

【解析】，

因为，所以，

因此

，

(当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号)，

所以.

21．(2020·泰州市第二中学高一月考)已知，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】令，则，

所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为.

故答案为：.

22．(2021·全国高一课时练习)函数的最小值为______．

【答案】5

【解析】．

，，

(当且仅当，即时取等号)，

．

故答案为：5．

【题组二  利用基本不等式求参数】

1．(2021·浙江高一期末)已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】因为、为两个正实数，由可得，

因为，当且仅当时，等号成立.

所以，，因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

2．(2021·四川雅安市·雅安中学高一期中)已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【解析】∵，，且，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

∴的最小值为8，

由解得，

∴ 实数的取值范围是

故答案为：．

3．(2021·天津)若不等式对恒成立，则实数m的最大值为________.

【答案】

【解析】因为不等式对恒成立，

所以且，所以

又因为，所以，

所以，取等号时且，即，

所以，所以，所以的最大值为，

故答案为：.

4．(2021·上海市)已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______.

【答案】

【解析】由已知得：，

，

当且仅当时取等号；

由题意：，

即，

解得：或，

故答案为：.
5．(2020·天津一中高一期中)若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__.

【答案】

【解析】因为两个正实数，满足，

所以，

则，

当且仅当时取得等号，

所以不等式恒成立，等价为，即，

解得，所以实数的取值范围是，.

故答案为：，.

6．(2020·全国高一单元测试)若对任意，恒成立，则的取值范围是_____．

【答案】

【解析】，，当且仅当，即时等号成立，

.故答案为：.

7．(2020·湖南高一月考)已知对任意，且，恒成立，则的取值范围              

【答案】

【解析】因为，，则

，

当且仅当，即时，等号成立；

因此为使恒成立，只需，

8．(2021·安徽宿州市)若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是         

【答案】

【解析】若对任意满足的正数，都有成立，

则，

当且仅当即时等号成立，所以，

所以，即，即，解得或，

所以实数的取值范围是，

【题组三 利用基本不等式比较大小】

1．(2021·全国高二单元测试)若a>0，b>0，则 与 的大小关系是_____.

【答案】

【解析】因为，

所以，当且仅当时，等号成立.

故答案为：.

2．(2021·全国高一课时练习)已知，是不相等的正数，，，则，的大小关系是__________.

【答案】

【解析】∵x2＝＝＝<＝a＋b.＝()2＝y2，∴x<y.

3(2020·上海高一专题练习)若，，且，则在中最大的一个是_______.

【答案】

【解析】因为，

所以，且，

由不等式的基本性质得，

所以在中最大的一个是

故答案为：

4．(2020·福建省泰宁第一中学高一月考)若，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)正确，证明见解析；(2)正确，证明见解析；(3)正确，证明见解析.

【解析】(1)正确

(2)正确

(3)正确

5．(2021·全国高一课时练习)已知，求证：(1)；(2)．

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】(1)因为，两边同时加上，得．即．

(2)因为，两边同时加上，得，即．

【题组四  基本不等式的综合运用】

1．(2021·滨海县八滩中学高一期末)(多选)设正实数m、n满足，则下列说法正确的是(    )

A．的最小值为3 B．的最大值为1

C．的最小值为2 D．的最小值为2

【答案】ABD

【解析】因为正实数m、n，

所以，

当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；

由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；

因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；

，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确．故选：ABD

2．(2021·重庆市杨家坪中学高一月考)(多选)下列说法正确的是(    )

A．若，则函数的最小值为3

B．若，则的最小值为5

C．若，则的最大值为

D．若，则的最小值为1

【答案】BC

【解析】对于A中，由，可得函数，

当且仅当时，即时等号成立，

因为，所以等号不成立，所以函数的最小值为不是，所以A不正确；

对于B中，由，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，

所以B正确；

对于C中，由，则

因为，当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最大值为，所以C正确；

对于D中，由，可得，当且仅当时，等号成立，

所以，即，

解得，即，所以的最大值为1，所以D不正确.

故选：BC.

3．(2021·东莞市光明中学高一开学考试)(多选)下列结论正确的是(    )

A．当时，

B．当时，的最小值是2

C．当时，的最小值是5

D．设，，且，则的最小值是

【答案】AD

【解析】时，，当且仅当时取等号，正确；

当时，，没有最小值，错误；

当时，，

有最大值，没有最小值， 错误；

，，，

则，

当且仅当且即，时取等号，

故选：AD．

4．(2021·福建龙岩市·高一期末)(多选)已知，，且，则(     )

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】对于A：由，得，

当且仅当时，等号成立，A错；

对于B：由得，，进一步得，，

即，

且，，，可得，同理可得，，，

所以，当且仅当，时，等号成立，B对；

对于C：由，得，

当且仅当，时，等号成立，C错；

对于D：且，，由基本不等式可得，

，当且仅当时，等号成立，

又，，且，得，所以，即，D对.

故选：BD.

5．(2021·江苏宿迁市·高二期末)(多选)已知，且，则以下结论正确的有(    )

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】A．因为(，所以等号取不到)，所以，故正确；

B．因为，且，所以，所以，故正确；

C．因为，又因为，所以，所以，故错误；

D．因为，所以，故错误，

故选：AB.

6．(2021·全国高三专题练习)(多选)设，则下面不等式中恒成立的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】对于A，，

所以，故A正确；

对于B，当时，，，所以，

当时， ，

即，当且仅当时取等号，故B正确；

对于C，，，

当且仅当时取等号，故C正确；

对于D，，，

，当且仅当时取等号，故D错误.

故选：ABC

7．(2021·江苏南通市·高一开学考试)(多选)若，，且，则下列不等式成立的是(    )

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；

对于B选项，，，

当且仅当时，等号成立，B选项正确；

对于C选项，，

当且仅当时，等号成立，C选项正确；

对于D选项，由A选项可知，，即，，D选项错误.

故选：ABC.

8．(2021·江苏高一)(多选)下列不等式正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【解析】对于A选项，当时，，则，

当且仅当时，等号成立，A选项正确；

对于B选项，，则，

，

当且仅当时，即，显然不成立，等号不成立，

所以，，B选项正确；

对于C选项，取，可得，C选项错误；

对于D选项，，，

当且仅当时，等号成立，D选项正确.

故选：ABD.

9．(2021·福建省福州格致中学高一期末)(多选)已知，，且，则下列结论正确的是(    )

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】A．因为，所以，所以，取等号时，故正确；

B．因为，取等号时，故正确；

C．因为，取等号时，故错误；

D．因为，所以，取等号时，故正确.

故选：ABD.

10．(2020·江苏南京市·南京一中高一月考)(多选)已知，则下列不等式一定成立的是(   )

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】对A， ，

当且仅当“”时“”成立，故A正确；

对B，，

当且仅当“”时“”成立，故B正确；

对C，，

当且仅当“”时“”成立，故C正确；

对D，当时，，，此时不成立，故D错误；

故选：ABC.

11．(2021·广州市)(多选)若，则下列不等式中恒成立的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】，，，

，

即，即，故正确；

，

故，故错误；

，故正确；

，故正确；

故选：ACD.

12．(2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考)(多选)下列不等式中恒成立的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】对于A，.

对于B，当时，，，此时，所以B错误

对于C，， 当且仅当时取“=”.

对于D，当，时，，左边，右边>0；

当，时，，所以.

故选：ACD

13．(2021·浙江高一期末)(多选)已知，.若，则(    )

A．的最小值为9

B．的最小值为9

C．的最大值为

D．的最大值为

【答案】BC

【解析】

A.，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，故的最小值是4，故A不正确；

B. ，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，的最小值为9，故B正确；

C.，当时等号成立，即 时等号成立，故C正确；

D.，当且仅当时等号成立，又因为，解得：时，等号成立，但，所以等号不能成立，故D不正确.

故选：BC

【题组五  实际生活中的基本不等式】 

1．(2021·全国单元测试)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2．

【答案】25

【解析】设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，

∴y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25．

故答案为：25

2．(2021·浙江高一期末)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则x的值是_________，y的最小值是________．

【答案】30    240   

【解析】设一年的总运费与总存储费用之和为，显然，

则，当且仅当，即时取等号，

故要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则，

故答案为：30，240

3．(2021·全国高一课时练习)工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂和仓库之间的距离为___________千米时，运费与仓储费之和最小.

【答案】2

【解析】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，

设；

当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，

所以，，则；

所以运费与仓储费之和为，

因为，当且仅当，即时，运费与仓储费之和最小为万元.

故答案为：2

4(2021·浙江高一期末)某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元.

【答案】8

【解析】设仓库与车站距离为x，土地费用为，运输费用为，于是

，解得，

设总费用为，则，当且仅当即时取等号，

两项费用之和的最小值是8万元.

故答案为：8

5．(2021·全国高一单元测试)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站___________km处

【解析】设仓库到车站距离为，每月土地费用为，每月货物的运输费用为，

由题意可设，，

把与分别代入上式得，

，

费用之和，

当且仅当，即x=5时等号成立．

当仓库建在离车站5km处两项费用之和最小．

故答案为：5.

6．(2021·江苏南通市·高一开学考试)某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域修建花圃，规定的每条边长不超过20米.如图所示，要求矩形区域用来种花，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域.设米，种花区域的面积为平方米.

(1)将表示为的函数；

(2)求的最大值.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)因为，矩形区域的面积为100，所以，

则，，

所以，

因为，，解得，

所以；

(2)由，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最大值为.

7．(2020·江苏省江浦高级中学高一月考)某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本万元与年产量吨之间的关系可近似地表示为.求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本.

【答案】200  10万元

【解析】依题意，每吨平均成本为

当且仅当，即时取得等号，由题可知能取到。

所以年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，每吨的最低成本为10万元.