2021学年7.2 复数的四则运算教案

复数的四则运算

【第一课时】

复数的加、减运算及其几何意义

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？

2．复数的加、减法的几何意义是什么？

二、新知探究

探究点1：

复数的加、减法运算

　（1）计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）；

（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2．

解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i＝－11i．

（2）因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，

所以（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，

所以所以所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i．

解决复数加、减运算的思路

两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．

探究点2：

复数加、减法的几何意义

　已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．

（1）求表示的复数；

（2）求表示的复数．

解：（1）因为＝－，

所以表示的复数为－（3＋2i），即－3－2i．

（2）因为＝－，

所以表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i．

互动探究：

1．变问法：若本例条件不变，试求点B所对应的复数．

解：因为＝＋，所以表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i．所以点B所对应的复数为1＋6i．

2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．

解：由题意知，点M为OB的中点，

则＝，由互动探究1中知点B的坐标为（1，6），得点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i．

复数加、减法几何意义的应用技巧

（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．

（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．

三、课堂总结

1．复数加、减法的运算法则及加法运算律

（1）加、减法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i．

（2）加法运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．

②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．

2．复数加、减法的几何意义

如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是．

四、课堂检测

1．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）的结果为（　　）

A．5－3i B．3＋5i

C．7－8i D．7－2i

解析：选C．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i＝7－8i．

2．已知复数z1＝（a2－2）－3ai，z2＝a＋（a2＋2）i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．

解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋（a2－3a＋2）i是纯虚数，得⇒a＝－2．

答案：－2

3．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i．

（1）求z1－z2；

（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．

解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i．

（2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中．

【第二课时】

复数的乘、除运算

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？

2．复数乘法的运算律有哪些？

3．如何在复数范围内求方程的解？

二、新知探究

探究点1：

复数的乘法运算

　（1）（1－i）（1＋i）＝（　　）

A．1＋i B．－1＋i

C．＋i D．－＋i

（2）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（　　）

A．5－4i B．5＋4i

C．3－4i D．3＋4i

（3）把复数z的共轭复数记作，已知（1＋2i） ＝4＋3i，求z．

解：（1）选B．（1－i）（1＋i）

＝（1－i）（1＋i）

＝（1－i2）

＝2＝－1＋i．

（2）选D．因为a－i与2＋bi互为共轭复数，

所以a＝2，b＝1，所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i．

（3）设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，

由已知得，（1＋2i）（a－bi）＝（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，由复数相等的条件知，解得a＝2，b＝1，

所以z＝2＋i．

复数乘法运算法则的应用

复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a＋bi）2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，（a＋bi）3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋（3a2b－b3）i．　

探究点2：

复数的除法运算

　计算：

（1）；

（2）．

解：（1）＝

＝＝＝＋i．

（2）＝＝

＝＝＝＝1－i．

复数除法运算法则的应用

复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．

探究点3：

i的运算性质

　（1）复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为（　　）

A．1 B．－1

C．i D．－i

（2）等于________．

解析：（1）z2＝＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1．

（2）＝＝＝i2 019＝（i4）504·i3＝1504·（－i）＝－i．

答案：（1）B

（2）－i

（1）i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0（n∈N*）．

（2）记住以下结果，可提高运算速度．

①（1＋i）2＝2i，（1－i）2＝－2i．

②＝－i，＝i．

③＝－i．

探究点4：

在复数范围内解方程

　在复数范围内解下列方程．

（1）x2＋5＝0；

（2）x2＋4x＋6＝0．

解：（1）因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，

又因为（i）2＝（－i）2＝－5，

所以x＝±i，

所以方程x2＋5＝0的根为±i．

（2）法一：因为x2＋4x＋6＝0，

所以（x＋2）2＝－2，

因为（i）2＝（－i）2＝－2，

所以x＋2＝i或x＋2＝－i，

即x＝－2＋i或x＝－2－i，

所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．

法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，

所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．

在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），

则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，

所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，

整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，

所以

又因为b≠0，

所以

解得a＝－2，b＝±．

所以x＝－2±i，

即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．

在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法

（1）求根公式法

①当Δ≥0时，x＝．

②当Δ<0时，x＝．

（2）利用复数相等的定义求解

设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），将此代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解．

三、课堂总结

1．复数乘法的运算法则和运算律

（1）复数乘法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），

则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．

（2）复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

2．复数除法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0）（a，b，c，d∈R），

则＝＝＋i（c＋di≠0）．

■名师点拨

对复数除法的两点说明

（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．

（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．

四、课堂检测

1．若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（　　）

A．－2 B．－

C． D．2

解析：选D．因为（1＋bi）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．

2．已知i为虚数单位，则复数的模等于（　　）

A． B．

C． D．

解析：选D．因为＝＝＝－＋i，

所以||＝|－＋i|＝＝，故选D．

3．计算：（1）＋；

（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．

解：（1）＋

＝＋＝i（1＋i）＋

＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．

（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）

＝22－14i＋25－25i＝47－39i．