苏科版九年级上册2.2 圆的对称性综合训练题

这是一份苏科版九年级上册2.2 圆的对称性综合训练题，共28页。试卷主要包含了以下命题，已知点A等内容，欢迎下载使用。

2.2圆的对称性同步练习题

一．选择题
1．P为⊙O内一点，OP＝3，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．以下命题：①直径是弦； ②长度相等的弧是等弧； ③相等的弦所对的弧也相等； ④圆的对称轴是直径；其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知点A（0，﹣4），B（8，0）和C（a，a﹣8），若过点C的圆的圆心是线段AB的中点，则这个圆的半径的最小值是（　　）
A．4 B． C． D．
4．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（　　）

A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
5．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（　　）

A． B． C．1 D．2
6．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　　）

A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
7．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧、、，如果+＝，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　）

A．AB+CD＝EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．不能确定
8．如图放置等腰Rt△ABC，其中C在⊙O上，AC过点O，若DE＝2，BC＝7，则OC为（　　）

A． B． C．3 D．
二．填空题
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为　 　．

10．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是　 　．

11．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则AE的长度是 　 　，CD的长度是 　 　．

12．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是　 　．

13．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有　 　个．

14．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　 　．

15．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C．当△PAB是以AP为腰的等腰三角形时，线段BC的长为　 　．

16．如图，⊙O的半径为10，点A、E、B在圆周上，∠AOB＝45°，点C、D分别在OB、OA上，菱形OCED的面积为　 　．

17．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是　 　．

18．如图，已知AB＝8，点C是的中点，CD⊥AB，垂足为D，CD＝2，△ABE的面积是24，且∠BAE＝45°，点F是上的一动点，则EF的最大值是　 　．

19．如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，若HG＝60，AB＝80，GF＝50，CB＝20，则能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是　 　mm．


20．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是　 　．

21．如图，弦CD⊥AB于P，AB＝8，CD＝8，⊙O半径为5，则OP长为　 　．

22．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为　 　．

23．半径为2的圆的圆心O在直角坐标系的原点，两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差是　 　．

三．解答题
24．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．

25．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．

（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．
（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为SMNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．
26．高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病．
（1）养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？
（2）为防止禽流感蔓延，防疫部门规定，离疫点3千米范围内为捕杀区．所有的禽类全部捕杀．离疫点3～5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路AB的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号）



27．如图为桥洞的形状，其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．
（1）求所在⊙O的半径DO；
（2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．

28．如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．


参考答案
一．选择题
1．解：如图，过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则线段AB是过P点的最短的弦，连接OA，
则∠OPA＝90°，
由勾股定理得：AP＝＝＝4，
∵OP⊥AB，OP过圆心O，
∴BP＝AP＝4，
即AB＝4+4＝8，
故选：C．
2．解：①直径是弦，是真命题；
②在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；
④圆的对称轴是直径所在的直线，原命题是假命题；
故选：D．
3．解：如图，点C在直线y＝x﹣8上运动设直线y＝x﹣8交y轴于D，取AB的中点F，连接CF，当CF⊥CD时，⊙F的半径最小．
过点A作AM⊥CD于M．
∵A（0，﹣4），B（8，0），
∴OA＝4，OB＝8，直线AB的解析式为y＝x﹣4，
∴AB＝＝＝4，
∴AB∥CD，
∵AM⊥CD，FC⊥CD，
∴AM＝FC，
∵∠AOB＝∠MAB＝∠AMD＝90°，
∴∠BAO+∠DAM＝90°，∠DAN+∠ADM＝90°，
∴∠BAO＝∠ADM，
∴CF＝AM＝，
故选：C．

4．解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．

5．解：∵OD⊥AC，AC＝2，
∴AD＝CD＝1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO＝∠OFE＝90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE＝∠ADO＝90°，
∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，
∴∠DAO＝∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF＝AD＝1，
故选：C．
6．解：连接AC，
由题意得，BC＝OB+OC＝9，
∵直线L通过P点且与AB垂直，
∴直线L是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC＝9，
在Rt△AOC中，AO＝＝2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
故选：A．

7．解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，
则弧FM＝弧AB，
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF．
故选：B．

8．解：过O点作OM⊥AB于M，连接OD，
∵DE＝2，OM过O，
∴ME＝DM＝1，
设MO＝h，CO＝DO＝x，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，
∴∠MAO＝45°，
∴AO＝h
∵AO＝7﹣x，
∴h＝7﹣x，
在Rt△DMO中，
h2＝x2﹣1，
∴2x2﹣2＝49﹣14x+x2，解得：x＝﹣17（舍去）或x＝3，
即OC＝3，
故选：C．
二．填空题
9．解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴CE＝＝，
∴AE＝＝，
∴AD＝2AE＝，
故答案为．

10．解：连接OC，OM，

∵M为CD的中点，OM过圆心O，
∴OM⊥CD，
即∠OMC＝90°，
∵CP⊥AB，
∴∠CPO＝90°，
即∠OMC+∠CPO＝180°，
∴O、P、M、C四点共圆（设圆心为E），
要使PM值最大，PM为⊙E的直径，
∴∠PCM＝90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴OC＝PM，
∵直径AB＝8，
∴半径OC＝4，
即PM＝4，
∴l的最大值是4，
故答案为：4．
11．解：连接OC，

∵OB＝5，
∴OA＝OC＝OB＝5，
∵OE⊥AC，
∴∠OEA＝90°，
由勾股定理得：AE＝＝＝4，
∵OE⊥AC，OE过圆心O，
∴AE＝CE＝4，
即AC＝8，
设OF＝x，则AF＝5+x，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
由勾股定理得：CF2＝OC2﹣OF2＝AC2﹣AF2，
即52﹣x2＝82﹣（5+x）2，
解得：x＝1.4，
∴OF＝1.4
即CF＝＝＝4.8，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，
∴DF＝CF＝4.8，
∴CD＝CF+DF＝9.6，
故答案为：4，9.6．
12．解：连接OD、OE，
∵的度数为35°，
∴∠AOD＝35°，
∵CD＝CO，
∴∠ODC＝∠AOD＝35°，
∵OD＝OE，
∴∠ODC＝∠E＝35°，
∴∠DOE＝110°，
∴∠AOE＝75°，
∴∠BOE＝105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．

13．解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
又∵点P的坐标为（0，﹣7），
∴BP＝3，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，
在Rt△BCP中，CP＝＝4；
故CD＝2CP＝8，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD＝直径AE＝10；
所以，8≤CD≤10，
所以符合的弦有4条，整数值是8（一条弦），9（两条弦），10（一条弦），
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个，
故答案为：3．

14．解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值为，
故答案为：．
15．解：①当AB＝AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE＝AB＝4，
∴BD＝DP，
在Rt△AEO中，AE＝4，AO＝5，
∴OE＝3，
∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°，
∴BD＝，
∴BD＝PD＝，
即PB＝，
∵AB＝AP＝8，
∴∠ABD＝∠P，
∵∠PAC＝∠ADB＝90°，
∴CP＝，
∴BC＝CP﹣BP＝﹣＝；
②当PA＝PB时，
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF＝FB＝4，
在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，∴OF＝3，
∴FP＝8，
∵∠PAF＝∠ABP＝∠CBG，∠AFP＝∠CGB＝90°，
设BG＝t，则CG＝2t，
∵∠PAF＝∠ACG，∠AFP＝∠AGC＝90°，
∴＝，解得t＝，
在Rt△BCG中，BC＝t＝，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为或，
故答案为：或．

16．解：连接OE，CD交于点G，过D作DF⊥OB于F，
∵∠AOB＝45°，
∴△ODF是等腰直角三角形，
设OF＝x，则DF＝x，OD＝x，
∵四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，OG＝EG＝OE＝5，
∵OC＝OD，
∴∠ODG＝∠DCF，
∵∠DFC＝∠OGD＝90°，
在Rt△OCG中，，
解得x2＝50+25（舍）或50﹣25，
∴菱形OCED的面积＝CD•OE＝•10＝＝50﹣50，
故答案为：50﹣50．

17．解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，
即圆心的坐标是（﹣1，1），
故答案为（﹣1，1）

18．解：设圆心为O，
∵点F是上的一动点，
∴当EF过圆心O时，EF的值最大，
连接EO并延长交⊙O于F，
过E作EH⊥AB于H，过O作OG⊥EH于G，
∵CD⊥AB，
∴四边形DOGH为矩形，
∴HG＝DO，DH＝OG，
∵点C是的中点，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4，
连接OA，
∵CD＝2，
∴AO2＝AD2+OD2，
即AO2＝42+（AO﹣2）2，
∴AO＝5，
∴OF＝5，
∵△ABE的面积是24，
∴×8×EH＝24，
∴EH＝6，
∵∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AH＝EH＝6，
∴DH＝2，
∴HG＝OD＝3，OQ＝DH＝2，
∴GE＝3，
∴OE＝＝＝，
∴EF＝OF+OE＝5+，
∴EF的最大值是5+，
故答案为：5+．

19．解：如图，设圆心为O，
连接AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM＝30，AN＝40，
∵CM2+OM2＝AN2+ON2，
∴302+OM2＝402+（70﹣OM）2，
解得：OM＝40，
∴OC＝＝50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．
故答案为：50．

20．解：如图，

过O作OG⊥AB，交⊙O于G，交AB于H，连接AG、AO，
由折叠得：GH＝OH，
∴AG＝AO，
∵AO＝OG，
∴AO＝OG＝AG，
∴△AGO是等边三角形，
∴∠AOG＝60°，
同理∠BOG＝60°，
∴∠BOC＝90°+60°＝150°，
则弧的度数是150°；
故答案为：150°．
21．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝8，
∴BM＝DN＝4，
∴OM＝ON＝＝3，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝3．
故答案为：3．

22．解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H．
根据垂径定理，得到BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝＝3，
OF＝＝＝4，
∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，
BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC＝7，
则PA+PC的最小值为．
故答案为：

23．解：∵M（1，），
∴OM＝，
①如图1，当AC、BD相等，且OM平分两弦的相交的角时，这时O到弦的距离为：OM×sin45＝，
由勾股定理及垂径定理知弦长为：，
∴S＝××＝5；
②当弦BD经过圆心O，此时四边形ABCD的面积最小，如图2，
∵M（1，），
∴OM＝，MC＝1，
根据垂径定理，AC＝2MC＝2，
∴BD＝4，
∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差5﹣4＝1．
故答案为：1．


三．解答题
24．证明：（1）∵C是的中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
∵，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，

Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，
∵，
∴，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，
解得：r＝1（舍）或3，
∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，
∴BF＝2；
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，

∵，
∴∠HAC＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CH＝CE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），
∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），
∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝2+2＝4，
∴AB＝4+2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝∠ABC，
∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，
∴BF＝BC＝2．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，

∵C是的中点，
∴OC⊥BD，
∴DH＝BH，
∵OA＝OB，
∴OH＝AD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，
∴△COE≌△BOH（AAS），
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝EF＝＝2，
∴BF＝＝＝2．
25．解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．

∵EF∥BC，
∴OH⊥EF，
∴BG＝BC，EH＝EF
∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，
∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．
（2）设盒子的高为xcm．
由题意：（22﹣2x）•＝9
解得x＝8或12.5（舍弃），
∴MQ＝6，MN＝1.5
∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8，
∴能装入盒子．
26．解：（1）第四天，共有1+10+100+1000＝1111只鸡得了禽流感；
第五天，共有1111+10000＝11111只鸡得了禽流感，
那么到了第六天将会有十多万只鸡会得禽流感，而养殖场有4万只鸡，
所以到第六天，所有的鸡都会感染禽流感；
（2）如图，过O作OE⊥AB于E，
OA＝5千米，OC＝3千米，OE＝1千米，
由作法得，CE＝DE，AE＝BE，
在Rt△OCE中，CE＝＝2，
∴CD＝2CE＝4，
在Rt△OAE中，AE＝＝2，
∴AB＝2AE＝4，
∴AB﹣CD＝4（﹣）千米．
答：这条公路在该免疫区内有4（﹣）千米．

27．解：（1）∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF＝4m，FO＝DO﹣2（m），
在Rt△DFO中，DO2＝FO2+DF2，
则DO2＝（DO﹣2）2+42，
解得：DO＝5；
答：所在⊙O的半径DO为5m；
（2）如图所示：假设矩形的船为矩形MQRN，船沿中点O为中心通过，
连接MO，
∵MN＝6m，∴MY＝YN＝3m，
在Rt△MOY中，MO2＝YO2+NY2，
则52＝YO2+32，
解得：YO＝4，
答：船能通过桥洞时的最大高度为4m．

28．解：方法一：如图①，画TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点，
依据是垂径定理；
方法二：如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F画直线L交HT于点D，则点D就是HT的中点，
由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF＝TF，又OH＝OT，所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD＝TD；
方法三：如图③．（原理同方法二）