高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线课文配套课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线课文配套课件ppt，文件包含331抛物线及其标准方程pptx、331抛物线及其标准方程DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。

1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程.2.明确抛物线方程中参数p的几何意义.3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题.
通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、抛物线的定义1.思考　利用信息技术作图.如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
提示　点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
温馨提醒　(1)定义可归纳为“一动，三定”：一动点M，一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值(即动点到焦点和准线的距离比值为常数1).(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
2.填空　平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的__________的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______.
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.( )(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线. ( )提示　由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线. ( )(4)抛物线准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. ( )
由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}.
二、抛物线的方程1.思考　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可使所求抛物线的方程形式简单？提示　我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K， 并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.
2.填空　抛物线标准方程的几种形式(p＞0)
温馨提醒　(1)标准方程结构特征：顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上.(2)p的几何意义：焦点到准线的距离.(3)抛物线的开口方向：其开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.
3.做一做　(1)准线为x＝1的抛物线的标准方程为(　　)A.y2＝4x B.y2＝－4xC.x2＝4y D.x2＝－4y
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(－2，0)；(2)准线为y＝－1；
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
解　(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).
训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，－4)；
解　法一　∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
法二　抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0).
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解　令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
角度1　焦半径公式及其应用
所以x0＝1，故选A.
(2)抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为________________.
(6，9)或(－6，9)
解析　设点P(x0，y0)，由抛物线方程x2＝4y，知焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1.由抛物线的定义，得|PF|＝y0＋1＝10，所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.∴P点坐标为(±6，9).
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题.
例3 平面上一动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
∴动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).
法二　(定义法)　由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点都符合题意；当x≥0时，题中条件等于点P到点F(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).
解决有关抛物线的轨迹问题的方法求解有关抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于动点到定直线的距离这个条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.
例4 设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点.(1)求点P到A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
解　如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离.
于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小.
(2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值.
解　易知B在抛物线内部.如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，
|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即最小值为4.
最值问题的处理方法与抛物线上的点到定点、定直线的距离有关的最值问题时，常利用抛物线定义，将抛物线上的点到抛物线的焦点的距离和到准线的距离相互转化.即化折线为直线解决问题.
训练2 (1)若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是(　　)A.y2＝－16x B.y2＝－32xC.y2＝16x D.y2＝32
解析　∵点P到点(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4，0)的距离.根据抛物线的定义，可知P点的轨迹是以点(4，0)为焦点.以直线x＝－4为准线的抛物线.设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x，即P点的轨迹方程为y2＝16x，故选C.
解析　如图，由抛物线定义知
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，则当A，P，F三点共线且P在A，F中间时，|PA|＋|PF|取得最小值.
例5 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
训练3 如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
解　以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，∵点B在抛物线上，
∴抛物线方程为x2＝－ay.
1.重要思想方程(1)应用抛物线的定义要抓住动点到定点与定直线的距离相等.(2)抛物线的标准方程只有一个参数p，求其方程，只需求出p的值，常用待定系数法，首先确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定，可设为y2＝ax(a≠0)或者x2＝ay；当抛物线不在标准位置时，用定义来求.(3)求最值问题：数形结合，利用抛物线的定义转化为几何知识求解. 2.易错易混点提醒(1)抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在定直线l上.(2)求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)A.(2，0) B.(－2，0) C.(4，0) D.(－4，0)解析　∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2，0).
2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
解析　法一　设动点P的坐标为(x，y).
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线.法二　显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
3.(多选)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值可以为(　　)A.－4 B.－2 C.2 D.4
解析　由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，
将点P的坐标代入x2＝－8y，得m2＝－8×(－2)，解得m＝±4.
4.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
5.已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为(　　)A.7 B.8 C.9 D.10
解析　由抛物线方程，知抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1.连接PF，并延长PQ交准线于点M，根据抛物线的定义知，
|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
8.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________.
解析　设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3的距离相等，且点A不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，
∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
解　因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
解　依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，如图所示，因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).
解　设车辆高h米，则|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
解析　如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.
12.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切.
(1)抛物线C的标准方程为________________.
解析　依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，
解得p＝2.故抛物线C的标准方程为x2＝4y.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2).
解　因为抛物线y2＝2px(p＞0)的准线过点(－1，1)，
(2)若P是抛物线上的一个动点，设C(3，2)，求|PC|＋|PF|的最小值.
解　过点P向准线作垂线，垂足为D，过点C向准线作垂线，垂足为E，如图.
根据抛物线的定义可知，|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PD|，所以|PC|＋|PF|＝|PC|＋|PD|.由图可知，|PC|＋|PD|的最小值为点C到抛物线准线的距离.又|CE|＝3＋1＝4，所以|PC|＋|PF|的最小值为4.
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
解　如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B(0，2)，A(2，4).
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线.设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
解　要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|的值最小.如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，∴|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，