人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率课前预习ppt课件

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1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
在直线的倾斜角和斜率的概念的形成过程中，提升数学抽象素养；通过借助图形及向量推导直线的斜率计算公式，提升数学运算、逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、直线的倾斜角1.思考　(1)在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
提示　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同.
(2)在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，如图中过点P的直线有什么区别？
2.填空　(1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以______为基准，x轴______与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)直线的倾斜角α的取值范围是_____________________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为______.温馨提醒 (1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°).(2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度.
{α|0°≤α＜180°}
3.做一做　判断正误(1)任意一条直线都有唯一的倾斜角.( )(2)一条直线的倾斜角可以为－30°. ( )提示　倾斜角不可能为负.(3)倾斜角为0°的直线有无数条. ( )(4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1). ( )提示　当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故sin α∈[0，1].
(1)对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示　可以.
(2)上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示　可以.(3)通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示　与倾斜角的正切值相等.
2.填空　(1)直线的斜率①斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝________.
温馨提醒　(1)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线不存在斜率.(2)不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值就是斜率，此时斜率和倾斜角可以相互转化.
3.做一做　判断正误(1)任一条直线都有倾斜角，都存在斜率.( )提示　倾斜角为90°的直线的斜率不存在.(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. ( )提示　倾斜角为135°的直线的斜率为－1.(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α. ( )提示　当直线的倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在.(4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. ( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 (1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)A.α＋40°B.α－140°C.140°－αD.当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140°
当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
解析　根据题意，画出图形，如图所示.
因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，
(2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为______________.
解析　两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
训练1 下列命题正确的是(　　)
解析　0°≤α＜180°，当α＝90°，此时直线不存在斜率，B错；α>60°时，3α>180°，与倾斜角的范围矛盾，C错；tan 45°＝1，D错.
例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2，3)，B(4，5)；(2)C(－2，3)，D(2，－1)；
即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)P(a，2)，Q(3，6).
训练2 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为________.
(2)若过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________.
解析　设直线l的斜率为k，
(4)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90°到达l′位置，则l′的斜率为________.
解　直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，即l′的斜率k′＝tan 135°＝－1.
例3 证明A(－2，12)，B(1，3)，C(4，－6)三点在同一条直线上.证明　易知直线AB，AC的斜率都存在，
∴kAB＝kAC，又AB，AC过同一点A，∴A，B，C三点共线.
又0°≤α<180°，∴45°≤α≤120°.
(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴.当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线.否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可.(2)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
解　由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
1.重要思想与方法(1)直线的倾斜角与斜率的关系直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
(2)在研究直线的倾斜角和斜率的过程中应用了数形结合的思想方法.
2.易错易混点提醒运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率应注意的问题：(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应).(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.直线x＝1的倾斜角是(　　)A.0° B.45° C.90° D.不存在
解析　直线x＝1与x轴垂直，故倾斜角为90°.
2.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A.k1＜k3＜k2B.k3＜k1＜k2C.k1＜k2＜k3D.k3＜k2＜k1
解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，∴tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0，故选A.
4.下列各组中，能构成三角形的三个顶点为(　　)A.(1，3)，(5，7)，(10，12)B.(－1，4)，(2，1)，(－2，5)C.(0，2)，(2，5)，(3，7)D.(1，－1)，(3，3)，(5，7)
解析　A，B，D三个选项中三点均共线.
5.已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则(　　)A.a＝3，b＝1 　　　　B.a＝2，b＝2C.a＝2，b＝3 　　　　D.a＝3，b∈R且b≠1
解析　∵A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，
即a＝3，b∈R且b≠1.
6.斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________.
∴a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.
7.已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为_______________.
(3，0)或(0，3)
解析　由题意知，kPA＝－1.若点P在x轴上，则设P(m，0)(m≠1)，
故点P的坐标为(3，0)或(0，3).
8.若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________.
9.已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角.
又l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，故这四条直线的倾斜角分别为22.5°，45°，67.5°，90°.
考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，
又0°≤α1<180°，0°≤α2<180°，故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°.结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是{α|45°≤α≤150°}.
11.直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是(　　)
解析　如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2].故直线l的斜率k的最大值为2.
12.(多选)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角可以为(　　)A.α B.90°－αC.90°＋α D.180°－α解析　如图所示，当l向上的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.
设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，
14.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
解　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
∵CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，
所以斜率kOB＝kCD＝0；
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，所以两对角线的斜率分别为