2020-2021学年6.2 指数函数备课课件ppt
展开1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念.2.掌握指数函数的图象及简单性质.3.会用指数函数的图象与性质解决问题.
通过指数函数的图象及性质的理解与应用,提升学生的直观想象素养、逻辑推理素养和数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、指数函数的概念1.思考 已知某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩余的这种物质是原来的84%.(1)经过x年后剩余量y与x的关系是什么?(设该放射性物质最初时的量为1)提示 经过1年,剩余量为y=1×84%=0.841;经过2年,剩余量为y=0.84×0.84=0.842;……经过x年,剩余量为y=0.84x.
(2)你能从上面的例子中得到的关系式里得到什么启示呢?提示 变量x与y构成的函数关系式是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数.
2.填空 函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域是____.
3.做一做 思考辨析,判断正误(1)函数y=2x+1是指数函数.( )提示 因为指数不是x,所以函数y=2x+1不是指数函数.(2)函数y=(-5)x是指数函数.( )提示 因为底数小于0,所以函数y=(-5)x不是指数函数.(3)若函数f(x)=(a-1)·ax是指数函数,则a=2.( )
二、指数函数y=ax(a<0,a≠1)的图象与性质1.思考 (1)利用信息技术作出下列指数函数的图象:y=1.1x,y=2x,y=πx,y=19.2x,…;当底数大于1时,函数的图象有什么特征,分别对应函数的哪些性质?提示 它们的定义域都是R,值域都是(0,+∞),都过定点(0,1),在R上都是增函数.
提示 它们的定义域都是R,值域都是(0,+∞),都过定点(0,1),在R上都是减函数.
2.填空 指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质
3.做一做 (1)指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则( )
A.a<0,b<0B.a<0,b>0C.01D.0解析 结合指数函数图象的特点可知01.
(2)若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)=________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 指数函数的概念
例1 (1)给出下列函数:①y=-3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x-3;⑤y=(-2)x.其中,指数函数的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.4
解析 ①中,3x的系数是-1,故①不是指数函数;②中,y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数;③中,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一项,故③是指数函数;④中,y=x-3的底为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.⑤中,底数-2<0,不是指数函数.
1.指数函数的解析式必须具有三个特征:(1)底数a为大于0且不等于1的常数;(2)指数位置是自变量x;(3)ax的系数是1.2.求指数函数的关键是求底数a,并注意a的限制条件.
训练1 (1)若函数y=a2(2-a)x是指数函数,则( )A.a=1或-1 B.a=1C.a=-1 D.a>0且a≠1
(2)已知指数函数f(x)的图象过点(3,π),则函数f(x)的解析式为______________.
题型二 指数函数的性质
角度1 函数图象过定点例2 函数f(x)=2ax+1-3(a>0,a≠1)的图象恒过的定点是________________.
角度2 函数的定义域、值域例3 (1)若函数f(x)=2x+3,x∈[2,3],则函数f(x)的值域为________. (2)函数f(x)=2-x-1的值域是______________.
(1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点.(2)合理利用指数函数的单调性、图象的变化规律及中间值进行幂的大小判断.(3)对于三个(或三个以上)数的大小比较,则应先根据特殊值0,1进行分组,再比较各组数的大小.
训练2 (1)函数y=a2x+1-4(a>0,a≠1)的图象恒过点______________,值域为___________.
题型三 指数函数的图象变换
例5 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=2|x|;(4)y=|2x-1|;(5)y=-2x;(6)y=-2-x.解 如图所示.
(1)y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)y=2|x|的图象是由y=2x的y轴右侧的图象和其关于y轴对称的图象组成的,包括y轴上的(0,1)点.(4)y=|2x-1|的图象是由y=2x的图象向下平移1个单位长度,然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的.(5)y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.(6)y=-2-x的图象与y=2x的图象关于原点对称.
函数图象的变换规律(1)平移变换:将函数y=f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y=f(x-m)的图象(若m<0,就是向左平移|m|个单位长度),将函数y=f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度,得到函数y=f(x)+n的图象(若n<0,就是向下平移|n|个单位长度).(2)对称变换:①函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称,函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称;②函数y=f(|x|)是一个偶函数,其图象关于y轴对称,是将函数y=f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去),然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧,就得到函数y=f(|x|)的图象;③函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,x轴上方的部分不变.
训练3 (1)如图是指数函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.a解析 可先分两类,③④的底数大于1,①②的底数小于1,再由图象③④比较c,d的大小,由图象①②比较a,b的大小.在y轴右侧,当指数函数的底数大于1时,图象上升,且底数越大,图象越靠近y轴,当指数函数的底数大于0且小于1时,图象下降,且底数越小,图象越靠近x轴(即用x=1截图,底大图高),故选B.
(2)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.00D.0解析 从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有00,即b<0(或令x=0得a-b<1即a-b
1.树立1种意识——底数a分类讨论分类讨论意识:分a>1和0<a<1两种情况.2.掌握1个概念——指数函数概念判断一个函数是不是指数函数,关键是看解析式是否符合y=ax(a>0,a≠1)这一结构形式,即ax的系数是1,指数是x且系数为1.3.掌握2种方法比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小,可运用y=ax的单调性.(2)比较形如am与bn的大小,一般找一个“中间值c”.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
2.若函数y=(1-2a)x是R上的增函数,则实数a的取值范围为( )
解析 ∵y=(1-2a)x是R上的增函数,则1-2a>1,∴a<0.
8.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是________.
9.比较下列各组中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73;(2)0.6-1.2,0.6-1.5;(3)2.3-0.28,0.67-3.1.解 (1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,则y=1.7x在R上是增函数.又2.5<3,所以1.72.5<1.73.(2)(单调性法)由于0.6-1.2与0.6-1.5的底数是0.6,故构造函数y=0.6x,则y=0.6x在R上是减函数.因为-1.2>-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5.(3)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,所以2.3-0.28<0.67-3.1.
(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象;
解 函数f(x),g(x)的图象如图所示.
(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?
从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当两个指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.
11.(多选)已知实数a,b满足等式2 021a =2 022b,则下列关系式可能成立的是( )A.0则当2 021a=2 022b时,可能ay=3x+1(x<-1)的图象.得到的函数图象如图实线部分所示.
(2)由图象指出函数的单调区间;
解 由图象知函数的单调递增区间是(-∞,-1],单调递减区间是(-1,+∞).
(3)由图象指出当x取何值时函数有最值,并求出最值.
解 由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.
14.已知f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x2-2x. (1)求f(x)的解析式;
解 ∵f(x)在(-1,1)上为奇函数,∴f(0)=0.当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),∴f(-x)=2x2+2x=-f(x),∴f(x)=-2x2+2x,
(2)求函数f(x)的值域.
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