数学必修 第一册6.2 指数函数教案配套ppt课件

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第6章 幂函数、指数函数和对数函数
第二课时　指数函数的图象与性质的综合应用
课标要求
1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2.会求指数型函数的定义域、值域、最值，能判断与证明单调性.3能用指数函数解决实际问题.
素养要求
借助指数函数的性质，研究指数型函数的有关问题，培养学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养；通过用指数函数解决实际问题，培养学生的数学建模素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
内容索引
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
提示　当x＝0时，a0＝1恒成立，即指数函数的图象一定过点(0，1).
2.填空　指数函数y＝ax(a>0，a≠1)中，底数a对函数图象的影响： (1)①当a>1时，指数函数的图象是“______”的，且当x>0时，底数a的值越大，函数图象越“____”，说明其函数值增长得越____； ②当00，a≠1)图象相对位置的高低：不论a>1，还是0上升
快
下降
陡
快
大
高
大
低
陡
温馨提醒　复合函数的值域(1)分层：对于函数y＝af(x)，分为y＝au，u＝f(x)内外两层，即外层和内层两个函数；(2)复合：求出内层函数u＝f(x)的值域，即u的范围D，再求外层函数y＝au，u∈D的值域.
3.做一做　思考辨析，判断正误 (1)y＝21－x是R上的增函数.(　　)
×
(2)若某企业生产总值的月平均增长率为p，2022年1月的生产总值为a，按此增长速度，则预计2023年1月的生产总值为(1＋p)12a.(　　)(3)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反.(　　)提示　由复合函数单调性“同增异减”知y＝af(x)与y＝f(x)在a>1时具有相同的单调性. (4)若2x＋1＜1，则x＜－1.(　　)
√
×
√
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一　指数型函数的定义域、值域
(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
(4)定义域为R.∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，又2x>0，∴y>1，故函数的值域为{y|y>1}.
对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数，(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；(2)求值域问题，有以下三种方法：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域.
A.(－3，0] B.(－3，1]C.(－∞，－3)∪(－3，0] D.(－∞，－3)∪(－3，1]
A
题型二　指数函数单调性应用
{x|x≥0}
(2)已知a－5x>ax＋7(a>0，a≠1)，求x的取值范围.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
1.解指数不等式的类型及应注意的问题(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论.(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解.2.函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0∵函数y＝3x在R上为增函数，∴x2－2x－1≤－1，∴0≤x≤2.故原不等式的解集为[0，2].
(2)函数y＝2－x2＋2x的单调递减区间为____________.
解析　令u＝－x2＋2x，则y＝2u.∵u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减，又∵y＝2u在R上递增，∴y＝2－x2＋2x的单调递减区间为[1，＋∞).
题型三　指数函数的实际应用
(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
指数函数在实际问题中的应用(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.
训练3 有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%.现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐. 乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次. 请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(1.25≈2.49，1.15≈1.6，1.325≈4) 解　设树林最初栽植量为a， 甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a. 乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25≈4.98a. y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算).
题型四　指数函数性质的综合应用
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
故f(x)在R上为减函数.
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
解　∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)k－2t2，即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
解　由题意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)讨论f(x)的奇偶性；
解　由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.
φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，∴f(－x)＝g(－x)φ(－x)＝[－g(x)][－φ(x)]＝g(x)φ(x)＝f(x)，
(3)证明：f(x)>0.
∵当x＞0时x3>0，∴当x＞0时，f(x)>0.由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立.故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
课堂小结
1.关注2类易错点(1)求解函数f(x)＝ag(x)(a＞0，a≠1)的单调性问题的注意点指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系.对于形如f(x)＝ag(x)(a>0，a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性(同增异减)，由指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性确定f(x)的单调性.(2)解指数不等式问题的注意点①形如ax＞ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解.②形如ax＞b的不等式，注意将b化成以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.③形如ax＞bx的不等式，可借助图象求解.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数
A
A
B
B
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的，所以f(x)在(－∞，2]上是递增的，在[2，＋∞)上是递减的.故选B.
A.奇函数，且在R上是增函数B.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C.奇函数，且在R上是减函数D.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C
解析　f(x)的定义域为R，关于原点对称.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
(0，2)
7.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是___________.
[2，＋∞)
4
(1)求a，b的值；
解　g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围.
故h(t)max＝1，所以实数k的取值范围是(－∞，1].
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.
即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.
解析　设t＝2x，∵x∈(－∞，1]，∴0(－∞，0]
(0，2]
解析　令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，
故f(x)的值域为(0，2].
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
14.(多选)已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x.若存在x∈[－1，1]，使得不等式mg(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的值可以为(　　)
AB
三、创新拓展
解析　因为g(x)－h(x)＝2x　①，所以g(－x)－h(－x)＝2－x，又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)＋h(x)＝2－x　②，