人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优秀教案

第四章指数函数与对数函数

4.4.1　对数函数的概念

【素养目标】

1．理解对数函数的概念、图象及性质．(数学抽象)

2．了解反函数的概念，掌握互为反函数的特征．(直观想象)

3．能画出具体对数函数的图象，并能根据图象说明对数函数的性质，初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象)

4．会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(逻辑推理)

5．掌握对数函数的单调性，会进行对数大小的比较．(逻辑推理、数学运算)

【学法解读】

在本节学习中，学生应类比指数函数的图象与性质，借助对数函数的图象得出其性质，并把所学知识应用到实际问题中，学生通过对对数函数的学习，逐步提升学生的数学运算、逻辑推理、数学建模等数学素养．

必备知识·探新知

基础知识

知识点对数函数

函数(，且)叫做__________，其中是自变量，定义域是_________.

思考：(1)对数函数的定义域为什么是？

(2)对数函数的解析式有何特征？

提示：(1)，真数为幂值，而，故式子中，.

(2)①，且；②的系数为；③自变量的系数为.

基础自测

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．

B． (且)

C． (且)

D．

[解析]判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“”的形式，A，B，C全错，D正确．

2．(2019·山东临沂高一期末测试)函数的定义域是(　　)

A．　　　　　 B．

C． D．

[解析]要使函数有意义，应满足，∴，故选D．

3．对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为____________.

[解析]　设对数函数为，则，∴，

∴，∴.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　对数函数概念

例1 下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)

①；②；③；④；

⑤；⑥；⑦．

A．个　 B．个　

C．个　 D．个

[分析]　(1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？

[解析]　根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，

∴①不是对数函数；由于②中底数不能保证且，

∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为，，

∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中系数为，

∴⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义．

[归纳提升]　对于对数概念要注意以下两点：

(1)在函数的定义中，且.

(2)在解析式中，的系数必须为，真数必须为，底数必须是大于且不等于的常数．

【对点练习】❶指出下列函数中，哪些是对数函数？

①；②；③；④；⑤．

[解析]①是指数函数；②中的系数为，∴②不是对数函数；③中的真数为，∴③不是对数函数；⑤中的真数是，∴⑤不是对数函数；∴只有④是对数函数．

题型二　对数函数的定义域

例2 求下列函数的定义域：

(1)；(2)；(3).

[分析]　依据使函数有意义的条件列出不等式组解不等式组写出函数的定义域．

[解析]　(1)要使函数有意义，需

，即.

∴，且，故函数的定义域为且．

(2)要使函数有意义，需使，即，

解得，故函数的定义域为．

(3)要使函数有意义，需使，

即，∴，即.

故函数的定义域为．

[归纳提升]　定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．

【对点练习】❷ (1)函数的定义域为(　　)

A．　　　　　 B．

C． D．

(2)函数的定义域为，则函数的定义域为______________.

[解析]　(1)使函数有意义应满足，

即，∴，故选C．

(2)由定义域为知，，

解得，

故定义域为．

题型三　对数函数在实际问题中的应用

例2 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过，若初时含杂质，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据，)

[解析]　设过滤次后杂质含量为，

则，即，则，

令，则

，

所以至少过滤次才能使产品达到市场要求．

[归纳提升]　建立对数函数模型解决应用问题

对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题．

【对点练习】❸某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司年全年投入研发资金万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，求该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份(参考数据：，，)．

[解析]　设经过年后公司的研发资金为，

则，即，所以，

令，所以，

所以到年，公司研发资金开始超过万元．